線面平行判定定理的證明

楊明娟

(肥西縣第三中學(xué) 安徽合肥 231200)

空間幾何一直是高中生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。線面平行是直線與平面的重要位置關(guān)系，在空間幾何中占有極其重要的地位。然而，筆者發(fā)現(xiàn)線面平行的判定定理書本未做證明，我們?cè)诮虒W(xué)中如果能夠?qū)ζ溥M(jìn)行證明，不僅能夠呈現(xiàn)知識(shí)體系的嚴(yán)密性，而且對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)方法的掌握，都是大有裨益的。下面就以直線與平面平行判定定理的證明為例，淺談在類似的定理以及推論證明過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的能力，提高學(xué)生的素質(zhì)。

一、直線與平面平行判定定理的證明

直線與平面平行判定定理：如果平面α外一條直線a與平面α內(nèi)一條直線b平行，則a∥α。

證明： 間接法(即反證法)

方法一：∵a∥b,則a、b可確定平面β,∴α∩β=b,假設(shè)a與α交于點(diǎn)P,∴P∈a,P∈α,∵a?β,∴p∈β,即P∈(α∩β),∴P∈b,即a與b有交點(diǎn)。而a∥b，所以假設(shè)不成立，即可得a∥α。

方法二：設(shè)a∩α=P，過P在α內(nèi)作b∥c，∵a∥b，∴a∥c,又P∈c,P∈α，∴a、c相交，與a∥c矛盾，∴假設(shè)不成立，原命題正確。

2.直接法

方法一：a∥b，在α內(nèi)任取一點(diǎn)A?b，過點(diǎn)A在α內(nèi)作直線c∥b，∵b∥a，∴a∥c，∴直線a與c無交點(diǎn)。由點(diǎn)A在平面α內(nèi)的任意性可得，平面α內(nèi)所有點(diǎn)與a無交點(diǎn)。

方法二：如右圖，過b上任一點(diǎn)A作直線d,即b∩d=A。在d上取異于A的點(diǎn)B,在α內(nèi)過B作c∥b，∴c∥a。由點(diǎn)B的任意性可得α內(nèi)與b平行的所有直線c均與a無交點(diǎn)，又∵b與a無交點(diǎn)，∴α內(nèi)所有點(diǎn)與a無交點(diǎn)，∴a∥α。

二、定理證明過程對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)

課本之所以省略直線與平面判定定理的證明，可能是從知識(shí)的生成方面考慮的。該定理在理解上比較簡(jiǎn)單，容易形成感性認(rèn)識(shí)。而在從感性認(rèn)識(shí)上升到嚴(yán)密的邏輯推理的過程中，學(xué)生在邏輯思維能力的培養(yǎng)上、數(shù)學(xué)思想方法的掌握上都有所提高。

1.邏輯思維能力的培養(yǎng)方面

從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，一般來講思維的深度是加大的。定理的證明過程即是知識(shí)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)化過程。如何通過一步步嚴(yán)密的推理對(duì)定理進(jìn)行證明，這需要學(xué)生們進(jìn)行積極的思考，在思考過程中，學(xué)生的邏輯思維能力得到培養(yǎng)和鍛煉。

2.數(shù)學(xué)思想方法的掌握方面

在定理證明過程中，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生從多角度思考，運(yùn)用多種方式進(jìn)行推理。這對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方式是大有裨益的。數(shù)學(xué)思想方法在一次次訓(xùn)練中逐步熟悉、逐漸掌握。

應(yīng)當(dāng)說，課本省略部分定理和推論的證明，恰如國(guó)畫中的留白，這留白是教師發(fā)揮才智的陣地，也是學(xué)生鍛煉能力的場(chǎng)所。我們既要充分利用教材上給出的文字，也不能舍棄教材中的留白，用心解讀教材，用自己的聰明才智教好學(xué)生。