利用反步控制法的帶角度約束制導律研究*

曹有亮

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

最近幾十年新型制導炸彈層出不窮，而新型制導炸彈的現代化程度越來越多地體現在制導方面。

要想提高炸彈的侵徹深度和殺傷效果，就需要炸彈以大落角擊中目標，最好能夠達到垂直攻擊[1]。因此，適用于制導炸彈的帶落角約束的制導律研究成為近年來的一個研究熱點。 一部分學者以變結構理論為基礎，通過滑模面中加入落角約束項來設計帶落角約束制導律，這種制導律能夠很好的滿足設計要求，但是存在控制量抖動問題[2]；還有一部分學者以落地速度傾角作為終端約束，以脫靶量、最小能量消耗為性能指標，給出了一種適用于攻擊地面目標的最優制導律，同時滿足了精度和角度的要求[3]。但是，以上這些的制導律設計中的目標模型都是固定的目標，或者是二維運動的，都不適合模擬未來將會出現的很多地面高速目標的運動。

基于此，本文首先建立一個三維彈目運動模型，然后利用反步控制方法[4]，研究了一種適用于攻擊運動目標的三維帶落角約束制導律。

1 三維彈目運動方程

制導律的研究時，可對彈目動力學特性進行簡化，然后基于彈目三維運動學特性進行設計。因此在建立彈目運動學方程前，可首先做如下假設：①導彈和目標在慣性坐標系中，均可認為是質點；②導彈穩定回路和制導信息獲取過程的動態特性足夠快，與制導回路相比可以忽略；③導彈和目標的攻角很小，可以認為彈道坐標系和彈體坐標是重合的；④導彈和目標的速度是常值，這樣導彈和目標的機動加速度就可以通過彈目的法向加速度來表示[5]。

導彈目標的相對運動如圖1所示。

圖1 導彈和目標的運動關系Fig.1 Kinematic relation between missile and target

圖1中，x,y,z為慣性靜坐標系；xL,yL,zL為視線動坐標系；T代表目標；M代表導彈；qε,qβ分別代表視線的俯仰角和方位角；R為彈目距離；vt，vm分別為目標和導彈的速度；aMr,aMε,aMβ為導彈加速度在視線坐標系3個軸上的分量；aTr,aTε,aTβ為目標加速度在視線坐標系3個軸上的分量。

彈目相對速度矢量在視線坐標系3個軸上的分量為

(1)

根據速度矢量的絕對導數與相對導數(由動靜坐標系中質點的牽連運動引起)之間的關系有

(2)

則

(3)

下面先給出慣性坐標系到視線坐標系的變換矩陣：

(4)

(5)

將式(5)與速度向量相乘，有

(6)

將式(6)代入式(2)，可得

(7)

從式(7)中可以看到，視線的俯仰和偏航通道存在嚴重的交叉耦合。因此就需要研究一種新型制導律來處理這種耦合情形，且不需要太多的觀測信息，同時要結構簡單，易于工程實現。

2 基于反步控制法的帶落角約束制導律研究

在實際的對地攻擊過程中，導彈的速度大小一般是不可知的，只通過法向過載控制導彈的速度方向。導彈和目標相對距離變化率小于0，只要控制視線角速率為0，就能確保命中。因此在制導律的推導過程中以0化視線角速率為目標，可以不考慮式(7)中的第1項[6]。

(8)

對于以上非線性反饋控制系統，運用反步控制方法，選取第1步李亞普諾夫函數V1[8]為

(9)

式中:P>0；tgo為剩余時間;x1為落角誤差，此函數收斂，就可以保證實際落角與期望落角之間的誤差收斂為0。

式(9)對時間求導，且知dtgo/dt=-1，可得

(10)

(11)

式中：q>1。

對于整個系統來說，可以考慮如下的李亞普諾夫函數[9]：

(12)

式中:第1項是保證實際落角與期望落角之間的誤差收斂到零;第2項是保證第1項收斂的條件，同時也保證了俯仰通道視線角速率的收斂;第3項是保證偏航通道視線角速率收斂為0。

對式(13)相對時間求導，可得

(13)

將式(8)代入式(13)，有

(14)

(15)

式中:g>0，整理得導彈加速度指令：

(16)

將式(16)代入式(13)，有

此時，李亞普諾夫函數為負，則系統穩定收斂到平衡狀態[11]。

(17)

式中：制導律aMε的第1項和第2項是來控制導彈俯仰通道的視線穩定；第3項是約束導彈的落地角與期望落地角之間的誤差；aMβ則是控制導彈偏航通道的視線穩定。由推導過程可知，p>0，q>1，k>0，制導律中參數q，k可根據此條件選擇，但是參數也不能選擇的過大，因為制導參數過大會放大制導信息中的誤差。

3 仿真結果及分析

首先通過數字仿真來進行制導參數的拉偏，并對不同制導參數的制導特性進行對比分析，得到合適的制導參數，然后，再對末制導段進行仿真分析，驗證本文制導律效果[12]。

3.1 制導參數對制導效果的影響

下面對落角誤差系數和制導參數進行仿真分析，以得到最優的制導參數。

(1) 落角誤差系數q

落角誤差系數決定了落角誤差約束項的大小，其取值對制導指令的大小有很大影響[14]。選取制導參數k=1，落角誤差系數q分別取值1.1，1.3，1.5，1.7，2.0進行仿真。

圖2 俯仰通道彈道曲線Fig.2 Trajectory curve of pitch channel

圖3 俯仰通道法向加速度Fig.3 Normal acceleration of pitch channel

從圖2、圖3的仿真結果可以看出，當落角誤差系數較大時，導彈末制導段的初始段要求的法向過載較大，這樣造成加速度指令曲線彎曲程度大，不夠平滑。隨著落角誤差系數的較小，導彈末制導段的初始段要求的法向過載逐漸變小，加速度指令曲線越來越平滑。所以，在保證落角約束能力和視線穩定要求的同時，需要對落角誤差系數q的取值進行折衷，在下面的仿真中取值q=1.1。

(2) 制導參數k

制導參數k對制導律中的視線約束項有較大影響，同時對落角誤差項也有一定的影響。選取制導參數q=1.1，落角誤差系數k分別取值0.5，1.0，1.5，2.0，2.5進行仿真。

從圖4和圖5的仿真結果可以看出，制導參數k的取值過大時，導彈末制導段的初始段要求的法向過載較大，加速度曲線不夠平滑，雖然此時能夠保證落角約束能力和脫靶量，但同時也會放大導航誤差和系統噪聲。制導參數k的取值過小時，彈道末端需要的法向過載較大，同時落角約束能力也受到限制。所以，需要對制導參數k的取值進行折衷，在下面的仿真中取值k=1。

圖4 俯仰通道彈道曲線Fig.4 Trajectory curve of pitch channel

圖5 俯仰通道法向加速度Fig.5 Normal acceleration og pitch channel

3.2 三自由度彈道仿真和結果分析

為了驗證本文所研究的制導律的有效性，更清楚的說明基于反步控制法的落角約束制導律的性能優劣，在同一條件下引入如下帶落角約束的最優制導律[15]進行仿真比較。

(18)

選取地面移動目標為攻擊目標，對導彈末制導段進行仿真驗證。仿真初始條件設為：導彈坐標為(6，12，6)km，目標的坐標為(12，0，12)km，導彈速度vM=600 m/s，目標速度vT=20 m/s，導彈最大機動能力為aMmax=10g。

對于本文所得的制導律，令參數q=1.1，k=1，期望落角qεf=89°，qβf=0°。令式(17)為制導律A，式(18)為制導律B，仿真結果如圖6～13所示。圖6為縮放圖，坐標x，y，z的單位均為m。

對于側向機動目標，目標側向機動加速度aT=0.3g,如圖6～9所示。

圖6 攻擊側向機動目標的三維彈目運動軌跡Fig.6 Three-dimensional missile and target movement trajectory when attacking side-direction maneuvering target

圖7 俯仰通道加速度指令Fig.7 Acceleration instruction of pitch channel

圖8 偏航通道加速度指令Fig.8 Acceleration instruction of jaw channel

圖9 落地角變化曲線Fig.9 Changing curve of landing angle

對于蛇形機動目標，目標側向機動加速度aT=-0.5gsin(0.2 πt),如圖10～13所示。圖10為縮放圖，坐標x，y，z的單位均為m。

圖10 攻擊蛇形機動目標的三維運動軌跡Fig.10 Three-dimensional movement trajectory when attacking snake maneuvering taget

圖11 俯仰通道加速度指令Fig.11 Acceleration instruction of pitch channel

圖12 偏航通道加速度指令Fig.12 Acceleration instruction of jaw channel

圖13 落地角變化曲線Fig.13 Changing curve of landing angle

仿真結果表明，本文所設計的帶落角約束制導律和制導律B在目標機動的情況下能準確的命中目標。從脫靶量方面看，在2種目標機動情況下，制導律A的脫靶量分別是0.19 m和0.17 m，制導律B的脫靶量分別是0.34 m和1.44 m，雖均滿足要求，但是本文所設計的制導律明顯對目標機動的魯棒性更強。兩種制導律基本上都能在制導末端使得落地角收斂到約束值附近，彈道也能夠接近垂直擊頂。從加速度指令曲線上看，制導律A的指令輸出曲線平滑，略好于制導律B。

此外，也對固定目標和運動目標進行了仿真，本文所設計制導律的脫靶量和期望落角均都能很好的滿足要求。

4 結束語

導彈以期望落角命中目標，制導律中則必須有2個控制量，一個控制落角誤差，一個控制脫靶量。然而，2個控制量之間又存在矛盾，所以要協調好2個量之間的關系。常用的方法是最優控制理論，通過在性能指標中加入落角約束條件和視線穩定條件，然后求解逆里卡提(Riccati)微分方程得到最優控制律。本文使用反步控制法和李亞普諾夫原理，對落角誤差和脫靶量分成兩步控制，求解出了新型帶落角約束的三維制導律，滿足了大落角約束制導律的設計要求，并且在對攻擊機動目標的方面要略優于落角約束最優制導律，同時結構簡單，易于工程實現。

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