帶落角約束有限時間收斂滑模制導律*

李鵬程

(中國天繪衛星中心，北京 102102)

0 引言

為提高反坦克導彈的攻擊效能，傳統直瞄攻擊已不能滿足現代作戰需求，需要對目標采取大落角攻擊。因此，在進行導引律設計時，不僅希望有高命中精度，而且需要導彈以期望的攻擊角度命中目標，以增強戰斗部毀傷效果。

自從Kim和Grider首次在機動彈頭再入制導的研究中引入落角約束問題[1]以來，一些學者針對不同的應用背景，根據不同的理論方法提出了許多具有終端角度約束的導引律，基本上可歸納為最優導引律、變結構導引律以及其他類型的導引律[1-8]。基于最優理論設計的導引律不受性能指標和終端約束的限制，理想情況下具有最佳制導性能，但其依賴于各種假設與簡化，應用于現實問題時魯棒性較差[1-4]。帶落角約束的偏置比例導引律形式比較簡單，易于實現，但是對導航信息偏差的敏感性較低，導致制導精度不高[5-6]。由于滑模變結構控制系統具有強魯棒性，加之控制算法比較簡單，近年來，變結構控制理論逐步應用于制導律設計[7-10]。

盡管帶攻擊角度約束制導律被廣泛研究，但是這些制導律中的彈目視線角速收斂至0所需時間趨向于無窮大。而在實際情況下，解決制導問題的時間是有限的。對于控制系統，有限時間控制設計是確保系統在限制的時間內達到要求的狀態。近年來，關于非線性系統有限時間穩定問題得到了許多結論[11-15]。因此設計帶落角約束有限時間導引律是十分必要的。

根據滑模變結構控制理論和有限時間收斂穩定理論，本文改進設計了有限時間收斂滑模制導律，能夠在碰撞之前滿足命中精度和攻擊角度的雙重要求。并綜合采用雙曲正切函數法和變開關系數法削弱變結構控制中產生的抖振現象，有效地提高了導引律的命中精度。

1 問題數學描述

1.1 彈目相對運動模型

在建立交戰模型之前做如下假設：

(1) 導彈和目標視作在平面內運動的質點，且忽略地球自轉的影響；

(2) 導彈和目標以常值速率運動，且導彈的速率遠大于目標的速率；

(3) 導彈的自動駕駛儀的動態特性可視為一階慣性環節；

(4) 假設目標只在俯仰平面內做水平運動。

對于縱向攻擊平面，導彈與目標的相對運動關系示意圖如圖1所示。

圖1 導彈與目標相對運動關系Fig.1 Relative motion between missile and target

圖1中，r為彈目相對距離；q為彈目視線角，vm,vt分別為導彈、目標的運動速度；θm,θt分別為導彈彈道傾角與目標航跡角；am,at分別為導彈、目標運動的法向加速度；ηm,ηt分別為導彈、目標的速度矢量與彈目視線之間的夾角。規定水平基準線逆時針旋轉到彈目視線上時q為正，反之為負。根據圖中1所示的幾何關系，可以得到以下彈目相對運動方程組:

(1)

(2)

ηt=θt-q,

(3)

ηm=θm-q,

(4)

θt=at/vt,

(5)

θm=am/vm.

(6)

聯合式(1)～(6)可得

(7)

1.2 落角約束問題

vtsin(θt-qd)-vmsin(θd-qd)=0,

(8)

qd-θd<π/2.

(9)

式(9)表示導彈快要命中目標時目標在視場范圍內。對于給定的θm和θt，存在唯一的qd滿足上面2式。針對反坦克導彈所打擊目標的特性，坦克與裝甲車輛基本在水平面保持勻速運動，即θt=0，則qd,θd變為非時變量，且qd≈θd，認為此時期望落角就是期望視線角。

取狀態變量

x1=q(t)-qd,

(10)

(11)

當狀態變量x1趨近于0時，則滿足了彈體以期望落角與目標接近的任務；當狀態變量x2趨近于0時，則滿足了導彈擊中目標的要求。

式(10)和式(11)分別對狀態變量關于時間求導數，并結合式(7)可得以下狀態方程:

(12)

式(12)中狀態x1與x2有關聯，只要系統狀態變量x1,x2在有限時間內漸進穩定到0，導彈就能命中目標。

2 帶落角約束導引律設計

定義Ac為導彈制導指令，此處把導彈自動駕駛儀視為理想環節無時延，則

Am=Ac.

(13)

此時系統狀態方程可寫為

(14)

選取滑模面切換函數為

(15)

s第1項使彈目視線角速率趨向于0;第2項保證滿足期望落角的要求。

結合文獻[7]的趨近律形式，為保證到達條件和良好的動態特性，本文采用的滑模面趨近律為

(16)

式中：k2,ε分別為趨近律系數和開關函數項系數，k2>0,ε>0。

對式(15)微分得

(17)

將式(14),(16)帶入式(17)，整理可得

εsgns+cosηtat].

(18)

cosηtat≤f,

(19)

式中:f為整個制導過程中的最大值。

則式(18)可進一步簡化為

(20)

為方便描述，記導引律式(20)為VSG1。

3 有限時間收斂特性分析

3.1 有限時間收斂有關概念

針對非線性系統

(21)

式中:函數f：U0×R→Rn為在U0×R上連續的，f(0，t)= 0，U0為原點x=0的開鄰域。

(22)

當t≥T(x0)時，有V(x)=0，最后得到

3.2 導引律有限時間收斂特性分析

下面分析系統的收斂特性，其中系統狀態的運動可以分為2個階段：趨近狀態和滑模狀態。

對于趨近狀態，選取Lyapunov函數為V1=s2≥0，對其求導數有

(23)

由引理1可知，系統狀態可在有限時間內收斂至滑模面，收斂時間滿足

(24)

當到達滑模面后，系統狀態會繼續運動，直到其收斂至0。所以狀態會滿足

(25)

(26)

(27)

由引理1可知，收斂時間滿足

(28)

因此，制導系統總體收斂時間可表示為

Tf≤T1+T2≤

(29)

由式(24)可知，ε越大收斂到滑動模態的速度越快；由式(28)可得，k1越大在滑動模態上視線角速率收斂至0和視線角收斂至期望值的收斂速度越快。

4 考慮導彈自動駕駛儀特性的導引律設計

導引律VSG1是在將導彈自動駕駛儀視為理想環節下設計而出的，但在實際應用過程中，導彈自動駕駛儀的延遲特性通常會使制導精度變差，特別是對于機動目標。因此，設計導引律時充分考慮自動駕駛儀特性具有一定的實際意義。本文中，將導彈自動駕駛儀特性近似為一階慣性環節，表達式為

(30)

式中：τ為導彈自動駕駛儀時間常數;ac為導彈制導指令;am為通過彈上慣導系統測量的導彈當前加速度。

定義狀態變量x3=am，合并式(14)和式(30)可得考慮自動駕駛儀特性的系統狀態方程

(31)

4.1 目標不機動情況下導引律設計

當目標不機動時at=0，式(31)簡化為

(32)

引入新變量z1,z2：

(33)

式中：虛擬控制量u1的表達式為

(34)

對z1求導可得

(35)

對z2求導可得

(36)

設計導引律ac:

(37)

式中:λ>0。將式(37)代入式(36)中得

(38)

構造Lyapunov函數

(39)

對V2求導，并結合式(35)和式(38)得

(40)

因此V2漸近收斂于0。對比式(34)與式(20)不難發現，虛擬控制量u1等價于變結構項ε取0時的導引律，z1即滑動模態面s，λ決定了制導系統趨近滑模面的收斂速度，這樣通過保證滑模面的收斂來保證視線角速率收斂至0和攻擊角度收斂至期望的角度，從而確保制導精度和制導性能。

4.2 目標機動情況下導引律設計

對于目標機動的情況，本文引入新變量z3,z4:

(41)

式中：虛擬控制量u2的表達式為

(42)

式中:ε=f+α≥f，而α>0。對z3求導可得

(43)

對z4求導可得

(44)

設計導引律ac:

(45)

將式(45)代入式(44)中得

(46)

構造Lyapunov函數

(47)

對V3求導，并結合式(43)和式(46)得

(48)

因此V3漸近收斂于0。對比式(42)和式(20)可看出，虛擬控制量u2近似等價于導引律VSG1，而z3即為滑動模態面s，參數λ決定了制導系統趨近滑模面的收斂速度，該導引律保證了當前導彈法向加速度am收斂于導引律VSG1的表達形式，滑模面收斂至0附近的領域，從而確保制導精度和制導性能。

對比目標分別處于非機動與機動狀態情況下的導引律(37)和(45)，可以發現式(45)比式(37)多一個變結構項，即當ε=0時，式(45)變為式(37)。因此，目標非機動情況下導引律是目標機動情況下導引律的一種特殊情況。為方便描述，記導引律(45)為VSG2。

5 抖振削弱

在理論角度，由于滑動模態可以按照需要設計，而且系統的滑模運動與控制對象的參數變化和系統干擾無關，因此滑模變結構控制系統的魯棒性要比一般常規的連續系統強。但在實際制導控制系統中，由于滑模變結構控制在本質上不連續開關特性，將會引起系統的抖動。其產生的主要原因有開關在時間和空間上的滯后，以及系統慣性的影響。抖振現象會影響控制系統的穩定性，導致導彈命中精度的降低。抖振是變結構控制系統的嚴重缺陷，也是阻礙變結構控制應用的主要障礙。在變結構制導律研究中，目前常用飽和函數法、變開關系數法或者雙曲正切函數法等削弱抖振現象的產生。

5.1 飽和函數法

飽和函數法是將不連續的符號函數連續化，其表達式為

(49)

式中：δ>0，稱為邊界層厚度，也稱消顫因子。

當δ較小時，擁有較高的魯棒性。但在現實問題中存在較大時間滯后，需要δ較大，存在一定的矛盾。

5.2 雙曲正切函數法

雙曲正切曲線y=tanhx有關于原點對稱，原點處曲線斜率為1，并以y=±1為漸近線，如圖2所示。

圖2 雙曲正切函數y=tanh x的曲線軌跡Fig.2 Curve of hyperbolic tangent function y=tanh x

由圖2可以看出，通過改變雙曲正切函數曲線在原點處的曲線斜率，雙曲正切函數曲線可以很好地逼近符號函數。因此通過引入式(50)來削弱變結構導引律中所存在的抖振問題。

(50)

式中：ξ>0，調整ξ的取值，可以改變雙曲正切函數在原點處的斜率。

5.3 變開關系數法

導引律VSG2中，若ε的值較小，則狀態變量趨近于滑模面的速度慢，可以有效地減小抖振。但ε取值過小，則到達切換面的時間會過長，系統不再是滑動模態控制系統。

綜合削弱抖振現象和控制到達切換面的時間2個方面的考慮，本文設計的ε將隨著接近切換面而減小。ε的表達式為

ε=ar+b,

(51)

式中:a,b>0。

當r趨向于0時，可以確定b的取值，其作用保證制導系統處在滑模控制下。同時需要滿足前面ε=f+α，其中cosηtat≤f，則b取為f；而后根據r值最大時的r0和ε的上限確定a的取值，確保系統以較快速度趨近滑模面的同時盡量減少抖振幅度。

以往的研究多采用上面介紹的方法中的一種來削弱抖振，取得一定的成果，但仍存在改進的空間。本文在研究中嘗試同時使用雙曲正切函數法和變開關系數法。用雙曲正切函數替代符號函數，同時變開關項系數ε用表達式(51)代替。綜合式(45),(50),(51)，改進后的導引律表達式為

(52)

記導引律(52)為VSG3。

6 仿真與結果分析

制導過程中，導彈的在坐標系中的初始位置是xm 0=0,ym 0=0，初始彈道傾角θm=0，導彈速度vm=160 m/s；目標的初始位置是xt 0=2 000 m,yt 0=0；期望落角為75°；制導參數取值：τ=0.1,k1=3,k2=2,λ=10,a=0.1,b=20,ξ=0.1。

為考察本文所改進設計導引律的制導性能，在仿真過程中，除文中提到的導引律VSG1和VSG3，還引進了偏置比例導引律(BPNG)作為比較。仿真結果如圖3～7和表1所示。

表1 考慮自動駕駛儀延遲特性仿真結果Table 1 Simulation result with autopilot dynamics

圖3 滑模面變化規律Fig.3 Variations of sliding surface

圖4 彈道曲線Fig.4 Curve of ballistic

圖5 導彈速度曲線Fig.5 Curve of missile’s velocity

圖6 彈道傾角曲線Fig.6 Curve of ballistic angle

圖7 導引律VSG3下導彈與目標相對運動軌跡Fig.7 Relative motion track of missile and target using VSG3 guidance law

從圖3可以看出，滑動模態面具有逐漸向0收斂的趨勢，在VSG1下比在VSG3下要早一些發散，是因為VSG1沒有對自動駕駛儀延遲特性進行補償。由表1、圖4及圖6可以看出，偏置比例導引(BPNG)的命中精度不夠高，未能擊中目標，并且未能達到75°的期望落角；而VSG1和VSG3能夠滿足對于落角的要求，只是VSG1的落角誤差相比較與VSG3稍微大一些。從圖7可以看出，無論是在攻擊機動目標還是非機動目標的情況下，該導引律均能很好地命中目標。

從以上數學仿真分析可以看出，本文改進設計的有限時間收斂導引律能夠在大落角約束條件下命中目標，而偏置比例導引不能夠滿足大落角的要求。同時，在考慮了自動駕駛儀延遲特性所設計出的導引律VSG3比一般有限時間收斂導引律具有更好的魯棒性。

7 結束語

本文深入研究了具有落角約束條件下反坦克導彈制導律的問題。通過應用非線性控制系統有限時間穩定理論和滑模變結構控制理論，并且考慮了導彈自動駕駛儀延遲特性，從而改進設計了有限時間收斂滑模制導律。該導引律保證彈目視線角速率在有限時間收斂至0，在最終時刻前滿足期望的落角約束，并且能有效補償自動駕駛儀延遲的影響。同時，在導引律設計中綜合采用雙曲正切函數法和變開關系數法，進一步削弱控制過程中產生的抖振現象。仿真結果表明了本文所改進設計導引律的有效性。

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