分離變量法教學內容優化及本征值問題引入方式研究

姜向前 孟慶鑫 張 宇

(哈爾濱工業大學物理系 黑龍江 哈爾濱 150001)

分離變量法教學內容優化及本征值問題引入方式研究

姜向前 孟慶鑫 張 宇

(哈爾濱工業大學物理系 黑龍江 哈爾濱 150001)

現有數學物理方法教學體系中，分離變量法在前，本征值問題在后.而分離變量過程中，又涉及到本征值問題.這樣的安排導致學生在學習分離變量法過程中，不能很好地理解本征值問題是分離變量法的基礎，不利于學生嚴密邏輯思維能力的培養．針對這個問題我們開展了分離變量法教學內容優化的研究，提出一種更有利于學生嚴密邏輯思維能力培養的分離變量法教學方案．將本征值問題提前，將其置于定解問題之后、分離變量法之前．進而，為避免直接引入Sturm-Liouville方程而導致的突兀性問題，給出了分離變量法教學順序調整后的Sturm-Liouville方程的引出方案．

分離變量法 本征值問題 教學內容優化

數學物理方法是物理系的主干課程之一，是一門利用數學語言描述并解決自然科學及工程技術中所遇到的一些問題、建立定解問題、求解定解問題的專業基礎課．課程的教學目的是通過課程的學習進一步提高學生的數學素養和應用數學知識解決復雜物理問題的能力，為理論物理課程的學習打下牢固的基礎．但現有的教材內容體系存在一些問題，不利于學生嚴密思維能力的培養．我們知道，求解定解問題的一個基本方法是分離變量法，而決定能否進行分離變量的基礎是本征值問題．現有幾乎所有教材都是將本征值問題置于分離變量法之后．分離變量過程中涉及本征值問題，但由于本征值問題教學內容在后，導致學生并不能體會到本征值問題存在與否才是決定能否進行分離變量的關鍵．

關于本征值問題大部分教材都是按照梁昆淼先生的數學物理方法的內容體系講解的．首先是建立定解問題，然后是利用分離變量法求解定解問題，分離變量法之后引入本征值問題[1]．華中師范大學汪德新教授的數學物理方法與梁昆淼先生的教材順序一致將本征值問題放到了分離變量法之后[2]．北京大學吳崇試教授的數學物理方法將本征值問題放在了分離變量法總結這一部分即柱函數之后[3]，相對于梁昆淼先生的教材更加靠后．武漢大學姚端正教授對數學物理方法的教學內容進行了較大調整，將本征值問題放到了全書的最后一章[4]．南京大學的邵惠民教授的數學物理方法將本征值問題提到分離變量法之前，甚至在Fourier與Laplace變換之前．雖然本征值問題提前到分離變量法之前，但引出方式與其他教材仍相同，都是直接給出Sturm-Liouville方程，進而給出本征值問題的定義[5]．為了避免學生在學習分離變量法過程中一直帶有什么是本征值問題的疑問，我們嘗試對分離變量法的教學內容進行優化．將本征值問題提至分離變量法之前，并嘗試解決Sturm-Liouville方程直接引入的突兀性問題．

將S-L本征值問題提到分離變量法之前，對本征值問題的概念、性質及其應用進行透徹的闡明，使學生在進入分離變量法之前對本征值問題已有深入的了解，并使學生能夠對本征函數法展開的理解更加清晰、流暢．為了解決教學順序調整后過于復雜的Sturm-Liouville方程直接引入不利于學生接受的問題，采取由一般的線性齊次偏微分方程導出Sturm-Liouville方程的方式[6]．

對于一般的二階線性齊次偏微分方程

Ltu+Lxu=0

(1)

其中Lt與Lx是二階線性偏微分算子

(2)

(3)

其中ai(t)和bi(x)(i=0,1,2)是已知函數．設u(x,t)=T(t)X(x)，將其代入方程(1)得

X(x)LtT(t)+T(t)LxX(x)=0

(4)

方程兩邊同除T(t)X(x)得

(5)

LxX(x)+λX(x)=0

(6)

LtT(t)-λT(t)=0

(7)

令X(x)=y(x)，由方程(3)和方程(6)得

b0(x)y″(x)+b1(x)y′(x)+

b2(x)y(x)+λy(x)=0

(8)

選取適當的函數ρ(x)使得

[ρ(x)b0(x)]′=ρ(x)b1(x)

(9)

整理得

(10)

由方程(10)可得

(11)

將方程(8)兩邊同乘ρ(x)得

ρ(x)b0(x)y″(x)+[ρ(x)b0(x)]′y′(x)+

b2(x)ρ(x)y(x)+λρ(x)y(x)=0

(12)

令

k(x)=ρ(x)b0(x) -q(x)=ρ(x)b2(x)

則方程(12)可寫為

(13)

方程(13)稱為Sturm-Liouville方程，其中λ是與變量x無關的常數，而k(x),q(x)和ρ(x)通常都假定是實變函數．為了保證解的存在又設q(x)和ρ(x)在有限區間[a,b]上是連續的，而k(x)在(a,b)上滿足連續可微．至此，我們完成了由一般二階線性齊次偏微分方程引出Sturm-Liouville方程，避免了直接給出Sturm-Liouville方程的突兀性問題．Sturm-Liouville方程附以第一、二或三類齊次邊界條件或自然邊界條件則構成Sturm-Liouville本征值問題．進而，給出本征值問題的共同性質即所有本征值是非負的，對應與不同本征值的本征函數是正交的，而且所有的本征函數構成一個完備正交系．

本文針對數學物理方法中分離變量法的教學內容邏輯性進行了研究，提出了一種更有利于學生嚴密邏輯思維能力培養的教學方案．鑒于分離變量過程貫穿整個數學物理方程始終，而本征值問題又是分離變量能否進行的關鍵，因此將本征值問題提至分離變量法之前，解決了原教學體系中學生不能很好體會到本征值問題是分離變量法的關鍵的問題．通過將本征值問題提前使分離變量法的內容邏輯性更強，更易學生接受和掌握．針對本征值問題提前而帶來的復雜數學公式直接給出的突兀性問題，由一般的二階線性齊次偏微分方程出發給出了本征值問題的引出方案．通過本征值問題與分離變量法教學順序的調整，將使學生在進入分離變量法學習之前已對本征值問題有深入的了解，使學生對后續內容不同坐標系下的分離變量、本征函數法展開有更深入的理解．

1 梁昆淼. 數學物理方法.北京：高等教育出版社,2009

2 汪德新. 數學物理方法.北京：科學出版社,2006

3 吳崇試. 數學物理方法.北京：北京大學出版社,2005

4 姚端正. 數學物理方法.北京：科學出版社,2010

5 邵惠民. 數學物理方法.北京：科學出版社,2010

6 嚴鎮軍. 數學物理方法.合肥：中國科學技術大學出版社,2006

TheOptimizingofTeachingContentfortheSeparationVariablesMethodandResearchontheIntroductionModeoftheEigenvalueIssue

Jiang Xiangqian Meng Qingxin Zhang Yu

(Department of Physics, Harbin Institute of Technology, Harbin,Heilongjiang 150001)

The method of separation of variables in the first eigenvalue problem last in present teaching system of mathematical physical methods, which leads to the students are not well understand that the foundation of the method of separation of variables is eigenvalue problem,and is not conducive to develop the strict logical thinking ability. We carry out the study of optimization of teaching contents,and present a more favorable solution to develop student’s logical thinking ability. We introduce the eigenvalue problem before the method separation of variables, and present the introducing scheme of Sturm-Liouville equation to avoiding the abrupt appearance of Sturm-Liouville equation.

method of separation of variables;eigenvalue problem;teaching contend optimizing

2017-05-04)