從最短距離淺析數學的抽象問題

張少林

【摘要】本文由最短距離問題出發，分析其蘊含的思想、方法，并引出數學抽象方法的概念、原則、分類.

【關鍵詞】最短距離；抽象；基本原則；分類

什么是數學？不同年齡層次的人，對這個問題的回答是不同的，他們的回答，可能僅僅是從某一個側面來進行的，即從學習的過程、表現的情況、數學的應用等這些形式來說明的.就其本質來說.數學實際上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象，只有通過抽象才能得到抽象的東西.數學無論是在內容上還是方法上都呈現出極其高度的抽象性.數學的抽象有四個基本特征：無物質性，層次性，抽象過程要憑借分析或直覺，不僅有概念的抽象還有方法的抽象.用數學方法思考事物時，往往只考慮其量的特征、形的特征.下面以最短距離淺談數學的抽象問題.

一、最短路線問題

在日常生活、工作中，經常會遇到有關行程路線的問題.比如，郵遞員送信，要穿遍所有街道，為了縮短時間，需要選擇一條最短的路線；旅行者希望尋求最佳路線，以求能夠走最近的路而到達目的地；等等.這樣的問題，就是我們所要研究學習的“最短路線問題”.

例如，我們僅從郵遞員投送信件為例來說說一筆畫的原理.

一名郵遞員投送信件的路線如圖所示，他從郵局出發，要走遍各街道，最后回到郵局.問：走什么樣的路線最合理？全程要走多少千米？

分析：選擇最短的路線最合理.那么，什么路線最短呢？一筆畫路線應該是最短的.郵遞員從郵局出發，還要回到郵局，按一筆畫問題，就是從偶點出發，回到偶點.因此，要能一筆把路線畫出來，必須途徑的各點全是偶點.但是圖中有8個奇點，顯然郵遞員走遍所有街道而又不走重復的路是不可能的.要使郵遞員從郵局出發，仍回到郵局，必須把8個奇點都變成偶點，就是要考慮應在哪些街道上重復走，也就是相當于在圖上添哪些線段，能使奇點變成偶點.如果有不同的添法，就還要考慮哪一種添法能使總路程最短.

為使8個奇點變成偶點，我們可以用下圖的4種方法走重復的路線.

圖中的虛線即重復走的路線.

重復走的路線最短，總路程就最短.從上面的計算不難找出最合理的路線了.

那么，一筆畫的原理是什么呢？

對于這個問題，我們要追溯到歐拉研究“七橋問題”上來.歐拉運用了三步抽象：（1）把地圖抽象成“點線圖”；（2）把問題抽象成“一筆畫問題”；（3）把問題轉化為數學方式的敘述.歐拉通過對該問題進行分析研究，最終證實“七橋問題的走法根本不存在”.同時，他發表了“一筆畫定理”，即一個圖形要能一筆畫完成，必須符合兩個條件：（1）圖形必須是封閉連通的；（2）圖形中的奇點（與奇數條邊相連的點）個數為0或2.

歐拉解決這一問題所用的思維方法，就是抽象方法.而上面我們所遇到的最短距離的解決就是充分利用“一筆畫原理”，即從幾何里抽象出來的這一原理.

二、數學抽象的概念

數學是反映現實世界的，它產生于人類的實際需要.數學最初概念原理的建立，是以經驗為基礎的長期發展的結果.

數學抽象是利用抽象的分析方法來獲得數學概念、構造數學模型，建立起數學理論的數學思維活動，它著眼于客觀世界的空間形式和數量關系，以及在結構上與之相關聯的形式和關系.

例如，古代的人類在從對周圍事物的觀察中發現，一頭羊、一棵樹、一塊石、一個人等單個事物具有一個共性，即它們都能與一個手指建立對應，這區別于多個事物組成的群體，從中抽象出數1的概念.在這個過程中，人們撇開羊、樹、石頭和人在形態、重量和其他方面的差異，只考慮它們的數量特點.

又如，在對各種平面圖形的觀察中，人們發現形形色色三角形具有這樣的特征——由三條直線段首尾相接形成的封閉圖形，并以此區別于其他圖形，由此抽象出三角形的概念.在這過程中，人們撇開各邊的長度、具體形狀的差異，只考慮其基本幾何特征：（1）基本因素是三條直線段；（2）組成方式是首尾相接；（3）表現形式是封閉圖形.

三、數學抽象的基本原則

據現代流行的觀點，數學的研究的對象是一種模式，“數學就是對模式的研究”.而這種模式是邏輯建構的結果，是從現實原型或其他模式抽象出來的.因此，模式建構形式化原則被認為是數學抽象的基本原則.這種原則體現在數學對象具有以下特點：理想化、模式化、精確化、自由化、形式化.

（一）理想化

就其那些具有明顯原型的數學對象而言，數學抽象是在純粹理想狀態下，對事物進行必要的簡化和完善的加工處理，撇開事物的具體內容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的、共同的、本質的屬性，抽象出相應的數學概念（對象）.如，幾何中的點是沒有長度、寬度的，線是沒有寬度和厚度的，面是沒有厚度的.它們在現實中不存在，但由于它們具有現實中各種點、線、面的共有屬性，因而，更能深刻、正確、完全地反映客觀原型的本質.

（二）模式化

通過數學抽象形成的數學概念或理論具有比數學原型更為普遍的意義，他們所反映的已不是一個特殊的事物或現象的量性特征，而是一類事物在量的方面的共同特性.從而，數學的研究對象事實上是一種模式.

如，Ax+By+C=0是二元一次方程的模式.它是由許多具體的二元一次方程抽象出其共性和本質的特點而形成的數學對象，是二元一次方程這個概念的精確描述.

（三）精確化

由于把數學對象置于理想化狀態，且借助純粹數學語言來描述，因此，可以對數學概念、結果等做精確的描述.例如，瞬時速度、加速度、積分的概念都是通過極限來描述，才達到精確且嚴密的地步.

（四）自由化

人們不僅可以直接通過現實原型去抽象并構造出具有明顯直觀意義的數學模型，而且可以通過思維的“自由想象”構造出可能與任何現實世界的事物沒有直接關聯甚至有悖常理的數學模式.這通常是建立在已有數學模式上的再抽象.endprint

（五）形式化

模式的研究完全脫離現實原型處于“純粹形式”的狀態下來研究.正像計算機下棋一樣，它只按規則運作，根本不管“車”“馬”“炮”分別表示什么實際意義.

如，理想元素的引入.當人們已習慣把幾何中的理想化的點、線、面、體當成普遍的研究對象后，經過再次抽象，可引入非常普通的理想點——“無窮遠點”的概念，把這個平面上原來不存在的點附加給平面，就可以得出這樣的結果：平面上任意兩條直線必交于一點，當它們不平行時，交于普通的點；當它們平行時，就交于理想點.顯然，無窮遠點是為了把平面上兩條直線相交與平行的情形統一起來而進行的抽象，它更不直觀.

四、數學抽象的分類

（一）弱抽象與強抽象

弱抽象是指由原型[被抽象的對象，可以是現實原型或已有的數學模式（型），特別是概念等]中選取某些特征或側面，從中抽取共性，得到比原型更為普遍，更為一般的新模式，并使前者成為后者的特例.

例如，由現實原型的特征出發去構造相應的數學模型，事實上就是一個弱抽象的過程.此外，常見的是從已有的概念出發，減弱其中某一屬性的限制，就得到比原來更為廣泛的概念.這是通過縮小原概念來建立新概念的抽象方法.

又如，在解析幾何中，人們從平移變換、轉軸變換中分別去除一部分特殊屬性，抽象出其共性——正交性，得出正交變換的概念，使得平移與轉軸都是正交變換的一個特例.

強抽象是指通過引入新特征來強化原型的數學抽象，使獲得的新模型是原型的特例.例如，從函數的一般性定義出發，引入連續性的新概念，然后把具有連續性特征的函數定義為“連續函數”.那么連續函數這一新概念就是原型——“函數”的一個特例.

由此可知，弱抽象與強抽象是緊密關聯的，其思維方向正好相反.恰當地利用弱抽象，可以將有的概念和理論推廣成為更一般的概念和理論；利用強抽象，可以加強對數學對象的研究的深度.

（二）理想化抽象

理想化抽象指根據數學研究的需要，人為地構造出一些理想化的對象的思維過程.所謂理想化的對象其實是對現實對象的一種更高層次的抽象.

比如，在幾何中，點、線、面、無窮遠點、無窮遠線，都是理想化抽象的結果，現實生活中，一般是不去講點、線、面和射影幾何中的無窮遠點、無窮遠線這些基本概念的.

又如，在代數中，虛數、復數同樣也是理想化抽象產生的.對于虛數，數學家在進行計算的過程中，發現一類數，如，在開平方的時候，無法進行時怎么辦？無法解釋，與原先的理論產生一定的沖突，這時候，數學家就引進了一個虛數單位，進一步產生了虛數的概念，進而產生了復數的概念.

（三）等價抽象

從一類對象（具體的或抽象的個體）中抽象出其中的某種共同屬性的抽象方法.

如，設A是一個非空集合，A×A={（x，y）|x，y∈A}，若B是A×A的子集，則稱A上的一個關系；而A上滿足如下條件的關系B稱為一種等價關系：

1.對稱性：若（x，y）∈B，則（y，x）∈B；

2.傳遞性：若（x，y）∈B且（y，z）∈B，則（x，z）∈B；

3.自反性：對所有x∈B都有（x，x）∈B.

我們現在根據等價關系B把所考察的一類對象（數學中的一個集A）分割成若干個子集（稱為等價子集）使得每一個子集中任何兩個元素都互相等價，而不屬于同一個等價子集的元素之間不等價.然后，把每個等價子集看成一個新元素，這些新元素全體應構成一個新的集合A.那么，集合A就是按等價關系從A中生成出來的新的研究對象.這樣一個生成過程實質上是一種抽象，就稱為等價抽象或等置抽象.由于A的每個元素是A的一個等價子集，所以A是比A具有更高抽象程度的集合.

【參考文獻】

[1]顧泠沅.數學思想方法[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2004.

[2]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2013.endprint