我用新自然數觀點證明費馬方程

陸國勤

【摘要】本文是從方程最基本的要素——系數、指數、函數加以觀點創新來求得費馬方程Xn+yn=Zn（n>2），若要X，Y，Z同為正整數，則只有Xn+0=Zn，則Y=0，故X，Y，Z無同自然數解.

我的新自然數觀點——即對應變數，本文簡稱“變數”，那什么是對應變數？即已知自然數的高指數等式與未知數高指數方程有相同的系數鏈、相同的冪指數一一對應的自然數與自然數的關系被叫作對應變數，這是什么意思呢？即把一個高指數等式分成三個部分，如，33+4×32+13=26與X3+4×X2+13=Y6，第一部分是所有的系數組成一個整體，叫作系數鏈，它的系數鏈為3-4-13-1，第二部分是冪指數，第三部分是它的自然數函數.用“#”表示變數關系，即x#3，Y#2.變數關系是已知等式的自然數與未知自然數方程的數與數之間關系，已知等式把它叫“對應變數等式”，未知數的方程把它叫作“對應變數方程”，對應變數分有理變數與無理變數兩種，相同的系數鏈，相同的冪指數的對應變數是有理變數關系，相同的系數鏈，不同的冪指數的對應變數為無理變數關系，無理變數并非就是無理數，無理數的冪指數一定是分數，無理變數是不同方程的對應變數的冪指數不同，但它們的冪指數是自然數而非分數.

變數關系的首要條件是系數鏈相同，系數鏈不同則變數關系不成立，當函數是分數與小數時，則對應變數關系不成立，這是因為分數使它對應的系數鏈被改變如，53+3=26 [1]，X3+3=Y6 [2]，若X，Y是分數值，則[2]的系數鏈被改變，如，X=52，則[2]為53+3×8=8×Y6，其系鏈為1-24-8，它與[1]對應的系數鏈完全不同，故其對應變數關系就不成立.若函數是無理數，其對應變數關系同樣不成立，因為無理數的本質是無限小數，所以它同樣會改變系數鏈而使變數關系消失.那么對于一個未知數函數又怎樣區分無理數與無理變數呢？如，53+3=26 （1），X4+3=Y6 （2），則只需把無理變數向有理變數轉化成X433+3=Y6，若自然數X不能使分數指數消失，則該函數是無理數，若自然數X能使分數指數消失，則（2）與（1）的無理變數關系成立.以上說的是從函數的角度出發來判定變數關系是否成立，判定變數關系是否成立，還要先從指數出發，從指數出發又有幾種情形.

首先，一次函數無變數關系，如，3a+23=53 （1），3K+X3=Y3 （2），由于方程（2）中的K是獨立的一次函數，而一次函數本身可以是任意高指數方程，如，K=p4+e，那么（2）的系數鏈及指數都被改變，所以它與（1）的變數關系不成立.

二次函數是不確定的變數關系，如，32+24=52 [1]，a2+b4=c2 [2]，由于方程[2]中含獨立的二次函數，二次函數有可能使高指數函數消元而產生一次函數解，如[2]中c=a+K代入得b4=2aK+K2，則a為獨立的一次函數，a有無限個自然數解.它與[1]的變數關系就消失，故a與3是不確定的變數關系.所以含獨立的二次函數的高次冪方程與已知等式是不定性變數關系，表示為a～3，b～2，c～5.

而確定變數關系形成的高指數方程的所有函數最小指數為3.把最小指數為3的方程叫作高指數方程，>3的指數叫高指數.高指數方程的高指數即使部分消元也不可能產生獨立的一次函數，如，33+3K32+p×3=e3+f3 （1），a3+3Ka2+pa=b3+C3 （2）.設b=a+t，則（2）為3Ka2+pa=C3+3a2×t+3t2×a+t3，若要a能產生一次函數，則只有K=t，而K，p是系數鏈，所以K，p，t都是已知數，則C3=fa+g，同樣f，g必定是已知數，故a只有唯一的一元恒等式解，所以高指數方程都不可能產生獨立的一次函數，故當最小指數是3的高指數方程，就一定能與已知高指數等式建立變數關系.

若已知等式含獨立的二次函數，而它對應的無理變數關系仍然成立，如，a2+b2=C2 [1]，X4+Y4=Z4 [2]，這組方程是無理變數關系，雖然[1]是二次函數與[2]不定性變數關系，即a～X2，但是反過來[1]變成a4+b4=C4，則對應變數為a#X成立.

所以確定變數關系第一條件是系數鏈必須相同.第二條件是所有對應方程的函數的最小指數是3，而對應等式的最小指數為2.第三條件是函數不能是分數，也不能是無理數，如果是無理變數就向有理變數轉化，轉化時必然產生分數指數，如果函數使分數指數消失，表示無理變數關系成立；若函數無法使分數指數消失，表明函數是無理數，其對應變數關系不成立.

那么對應變數有什么特殊的規律呢？首先要談談對應變數的運算規律，不等的兩個數也就是實際線段a#b，將它們同乘或同除同一個數是不會改變線段的比例尺，也就是不會改變它們數的一一對應性，若同加或同減同一個數，則線段的比例尺就失去意義，也就是它們數的對應性消失，所以對應變數只有同比運算，而無加減運算.當高指數方程的某一未知數X是1的對應變數時，那么其他未知數與X的指數相同時所產生的對應變數關系同方程時，則這組對應變數就必定相等，這是對應變數的一個基本原理，也是本文是核心之處.其證明為：如，33+t13=a4 （1），Y3+tX3=Z4 （2），則有1#X，同比運算后為3#3X，又3#Y，得3X#Y，即同比運算后的3X只有在方程（2）中與3一一對應，而3是與方程（2）中的Y一一對應，故3X與Y是同一個方程的同一個位置的同一個數，即3X=Y，這就是變數原理，或用代數設Y=3X+P，而3X與3是對應變數，則P=0，故3X=Y.若Y的指數與X的指數不同，就會通過極數來遵守變數原理，那什么是極數呢？

一個高指數方程，如，X3+Y4=Z5若有自然數解，則AX3+AY4=AZ5必定成立，A為任意自然數，則（Xe）3+（Yf）4=（Zg）5必然有無數個自然數解，e，f，g為自然數，所以它們是矩陣同解方程，若e=Xn，則（Xe）（3+n）+（Yf）4=（Zg）5同樣一定有無數個超大自然數解，同理，必然有（Xeh）（3+n）+（YJ）4=（ZP）5的無數個超級自然數解的方程，（設Xeh=u）.反過來說，若u（3+n）+（YJ）4=（ZP）5無自然數解，則X3+Y4=Z5也只能無自然數解，所以X3+Y4=Z5與u（3+n）+（YJ）4=（ZP）5必定要同時成立，這兩個方程在相同的系數鏈1-1-1的作用下，并且它們都是高指數方程，產生了對應變數關系，只不過它們是自然數的無理變數關系，把無理變數向有理變數關系為X33+n（3+n）+Y4=Z5 {1}，u（3+n）+（YJ）4=（ZP）5 {2}，在有理變數的作用下X的指數是一個分數指數，它的分數指數33+n可以無限擴張，而X3+Y4=Z5的X是某一自然數而無法無限擴張，那么X33+n必定產生無理數解，而無理數無對應變數解，這同{2}與{1}是對應變數關系互相矛盾，故若要兩個自然數方程同時成立，則X=1必定是其中一個解，也只有X=1才能解決這一矛盾，因為1的指數不論分數指數還是自然數指數，將X=1代入方程{1}為13+a4=b5可以為已知等式，那么未知方程X3+Y4=Z5就與這個已知等式建立對應變數關系為133+n（3+n）+a4=b5 {3}，X33+n（3+n）+Y4=Z5 {4}，則可用變數原理求得X的對應變數解方程為X3+（Xa）4=（Xb）5.所以這個已知等式中的1是一個非常特殊的數，1的任何指數都是自然數1，那么這個1的高指數就是一個極數，用[1]表示1的極數，[1]=1，那了極數[1]的對應變數X同樣也只能是極數，表示為極數[Ⅹ]，即極數[X]的任何分數指數或者自然數指數都是自然數解，即[X]=X33+n都是自然數值，則極數[X]=e=f=g=….它有無限個不定性自然數解，并且[X]的指數是任意的，它總是與其他函數的指數相同，它必定遵守變數原理.所以1+a4=b5與方程X3+Y4=Z5的本質是極數的對應變數關系，這就產生了高指數方程的對應變數的一個最重要的條件，即對應變數關系若要成立必須要有極數，即X是1的對應變數為[X]#[1]，所以變數原理是極數的條件下才能成立.總之，一個高指數方程若要所有函數都是自然數解，它必定與1的高數的已知等式是對應變數關系.所以用變數原理求得X3+Y4=Z5與13+α4=b5的對應變數的真正意義的解是極數的對應變數解，為[X]#[1]，得a[X]#a，b[X]#b，又Y#a，Z#b，得a[X]#Y，b[X]#Z，又因為a[X]與Y，b[X]與Z同方程，用變數原理得a[X]=Y，b[X]=Z代入原方程得[X]3+{a[X]}4={b[X]}5，而[X]=e=f=g=…代入得原方程為e3+（af）4=（bg）5是原方程的所有對應變數解，這個解的特點是各函數都是已知等式函數的同比，即X=1e，Y=af，Z=bg，而1+a4=b5的矩陣方程為A+Aa4=Ab5得A+（af）4=（bg）5與對應變數解是同一方程，所以高指數的對應變數解又屬于矩陣同解方程，同理u（n+3）+（YJ）4=（ZP）5與1+a4=b5的對應變數解屬于矩陣同解方程.它的對應變數解為e（n+3）+（fa）4=（gb）5.

那么無理變數呢？如，19×1n+23=33 （1），19X6+Y6=Z6 （2），則極數[X]#1，得2[X]#2，3[X]#3，又2#Y2，3#Z2得2[X]#Y2，3[X]#Z2，而[X]=g=h=…用變數原理得2g=Y2，3h=Z2，又因為g，h為自然數，則Y，Z的自然數為Y=2e，Z=3f，所以無理變數關系產生同樣是（1）的同比對應變數解.又因為（2）的對應等式為19×16+a6=b6（3），而16=極數[1]，則用變數原理可求得（3）與（1）是同一等式，而（3）與（2）是矩陣同解等式，則（1）與（2）同樣是矩陣同解方程，所以當對應等式是高指數等式時，則其對應的無理變數方程是極數同元解，被改變指數的函數與極數同元與已知等式都要同元，則（2）為X=2m=Y=3p=Z無解，也就是（2）與（1）無對應變數解.若Z的指數是3，則只有X=2n=Y是同元解時，（2）才可以產生自然數解.

若無理變數的對應等式的指數是平方與高指數混合式，如，1+23=32 {1），X3+Y3=Z3 {2），則同樣用變數原理可求得{2）為X3+（2e）3=（3f）3，又因為{2）的對應等式為13+a3=b3 {3），由于等式{1）與{3）都含極數[1]，極數[1]使它們互為對應變數，使得{1）對于{3）的無理變數關系都要成立，而23是高指數，則2#a成立，那么3#b32同樣成立，所以同樣用變數原理求得{3）與{1）是同一等式，同前面一樣{2）與{1）的矩陣同解方程成立，則{2）產生的對應的極數同元解為33n+（2e）3=（33n）2.若{1）是完全平方式卻又完全不同，如，1+a2=b2 {4），X3+Y3=Z3 {2），同樣用變數原理求得{2）的對應變數解為X3+（ae）3=（bf）3，但是它的對應等式是{3），由于{4）都是平方指數，而{3）與{4）都含極數[1]，則使得{4）對于{3）的變數關系都要成立，但{4）都是平方指數，故{3）與{4）不是對應的同一等式，而{3）是{2）的對應變數等式，則{2）對于{4）就沒有產生矩陣同解方程，就不會產生極數同元解而只有對應的同比解.若{1）是1+a=b2，則a為一次函數無對應變數解，a與[1]就會相加成同一個數就改變了原系數鏈，故一次函數的無理變數關系同樣不成立.

再來看費馬方程Xn+Yn=Zn（n>2）（A），這是一個高指方程，它必然與極數[1]的已知等式形成對應變數關系，而[1]的對應等式一共只有兩個，一個為1+23=32，由于這個等式有高指數，產生極數同元解，則（A）的X與Y與Z必定有同元，則方程不成立且與題意不符.另一個為1+a2=b2，[則a=0，b=1]它與方程（A）形成的無理變數關系向有理變數轉化時產生了同比解，則（A）為X4+（0e）4=（1f）4，則Y=0，故X，Y，Z無同自然數解.

那么X4+Y4+Z4=P4（B）卻被發現有同自然數解呢？哈佛大學發現：15 365 6394+2 682 4404+18 796 7604=20 615 6734是自然數等式，它與費馬方程相反，用變數證明為1+e2+f2=g2 （1），X4+Y4+Z4=P4 （2），當它們向有理變數關系時，用變數原理求得同比解為：X4+（eT）4+（fH）4=（gR）4，而Y=2×20×67 061=eT，Z=2×20×469 919=fH，P=3×6 871 891=gR，把e=f=2，g=3代入（1）為1+22+22=32，符合原方程的解.

所以，對應變數的同比解正是線性代數.