任意區(qū)間上Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)插值的誤差估計(jì)及證明

張曉勇

【摘要】基于Chebyshev正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間[0，1]上的Lagrange插值進(jìn)行誤差估計(jì)并給予證明.在此基礎(chǔ)上，又對(duì)任意區(qū)間上的Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)插值的誤差進(jìn)行估計(jì).最后，通過實(shí)例指出：Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)插值能有效避免Runge現(xiàn)象的原因.

【關(guān)鍵詞】Chebyshev多項(xiàng)式；零點(diǎn)插值；區(qū)間變換；誤差估計(jì)

【基金項(xiàng)目】2016年河南省安陽學(xué)院項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱：基于容量網(wǎng)絡(luò)的城市PM2.5點(diǎn)源擴(kuò)散模式研究（201613504033）.

函數(shù)逼近在純數(shù)學(xué)、工程與物理學(xué)等諸多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，而正交多項(xiàng)式作為函數(shù)逼近的重要工具之一，為求解f（x）∈C[a，b]的最佳平方逼近多項(xiàng)式提供了一整套理論與方法[1].常用的正交多項(xiàng)式主要有Legendre多項(xiàng)式、第一類Chebyshev多項(xiàng)式、第二類Chebyshev多項(xiàng)式、Laguerre多項(xiàng)式與Hermite多項(xiàng)式等[2].在Lagrange多項(xiàng)式插值逼近中，利用第一類Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)可有效避免Runge現(xiàn)象的出現(xiàn)，但是，由于Chebyshev多項(xiàng)式自身的特征，導(dǎo)致這種方法局限于區(qū)間[0，1]，本研究將這種方法在任意區(qū)間[a，b]進(jìn)行推廣，并對(duì)其截?cái)嗾`差進(jìn)行估計(jì)與證明.

一、Chebyshev正交多項(xiàng)式

（一）正交多項(xiàng)式的定義

從圖中，可以看出：利用切比雪夫零點(diǎn)插值可以有效避免龍格現(xiàn)象，保證了拉格朗日插值多項(xiàng)式LC10（x）在整個(gè)區(qū)間上有效收斂于f（x）.事實(shí)上，這里出現(xiàn)龍格現(xiàn)象的原因在于隨著自變量x的絕對(duì)值不斷增大，高次插值的振幅越來越大，而f（x）越來越靠近x軸從而導(dǎo)致出現(xiàn)龍格現(xiàn)象.但是，LC10（x）的插值節(jié)點(diǎn)在自變量x變化區(qū)間的端點(diǎn)處分布較為密集，故能有效避免龍格現(xiàn)象的出現(xiàn).

三、總 結(jié)

本研究主要介紹在任意區(qū)間上Chebyshev零點(diǎn)插值的誤差估計(jì)及證明，并對(duì)Chebyshev零點(diǎn)插值有效避免龍格現(xiàn)象的原因進(jìn)行了深入分析.這一研究提供了插值逼近一種新思路：即在函數(shù)值誤差較大或變化劇烈的區(qū)間內(nèi)要增加插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)會(huì)取得較好的插值效果，同時(shí)也能有效避免龍格現(xiàn)象的出現(xiàn).

【參考文獻(xiàn)】

[1]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].第5版.北京：清華大學(xué)出版社，2008：63-68.

[2]謝庭藩.多項(xiàng)式逼近函數(shù)的幾個(gè)問題[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1984（1）：23-26.

[3]張建國，鄒杰濤.有關(guān)多項(xiàng)式逼近的兩個(gè)性質(zhì)[J].華北工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（6）：419-422.

[4]許小勇，周鳳英.第三類和第四類Chebyshev小波積分算子矩陣及其在數(shù)值積分中的應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2016（1）：91-103.