一題多思走出題海

王進

課程改革已進行了十多年，現階段的數學教學都能重視知識的形成過程，關注數學知識的思想和方法，但由于教學評價的指揮棒仍然是分數至上，很多數學教學還是陷入題海戰，很多復習課成了習題課，學生成為刷題機器，如何以有限的習題分析達到“以點代面”的效果，讓教師跳進題海，讓學生能上岸？筆者通過幾道典型的習題的分析，嘗試“低起點、多角度、多層次”分析題例，將數學問題、數學習題效果最大化，從而達到“事半功倍”的效果.

一、同一題目多個策略

例1 把一個兩位數A的十位數字和個位數字交換得到一個新數B，計算A+B.對所有的兩位數A，A+B有什么規律？請解答.

解題的策略 （1）不完全歸納法（合情推理）：通過舉例.例如，12與21，37與73，44與44等，至少三個，通過觀察并猜想.

（2）完全歸納法：枚舉法、窮舉法.由于符合以上情況的數據不算特別多，可以將所有符合以上的情況一一枚舉出來.

（3）代數推理論證方法：設A=10a+b，B=10b+a，A+B=（10a+b）+（10b+a）=11（a+b）.

點評 本題原型來自北師大初中數學教材課后習題，是一道代數推理題，但解題的方法不唯一，針對不同階段、不同基礎的學生可以有不同的處理方式.

（1）方法對比：

不完全歸納法：本種方法對學生的知識能力要求較低.以一定數量的事實做基礎，進行分析研究，找出規律.通過觀察、猜想，培養學生發現規律、總結規律的能力.但由于不完全歸納法是以有限數量的事實作為基礎而得出的一般性結論.這樣得出的結論不具有一般性，甚至有時可能不正確.所以，該方法適合學生學習新知識時使用.

完全歸納法：對要解決問題的所有可能情況，一個不漏地進行檢驗，從中找出符合要求的答案，因此，枚舉法是通過犧牲時間來換取答案的全面性.

代數推理論證方法：本種方法對學生要求高一些，主要通過數據處理和邏輯推理來使問題獲解或獲證.

（2）對比的價值：通過以上方法的分析和對比，能讓教師對知識的體系、結構有更深層的理解，讓學生也能感受知識的發生、發展過程，培養學生的數學符號感，進而感受到用“字母表示數”的重要性和必要性.

二、同一條件多個層次

【提出問題】正多邊形與圓有什么關系？

例2 正多邊形與圓的關系之一是教材里的正多邊形內接于圓.現已知正三角形（圖1）、正十二邊形（圖2）均內接于半徑為r的圓.

【層次一】（1）求出圓內接正三角形的邊長、邊心距和中心角的大小；

【層次二】（2）當邊數一倍又一倍地增加時，正多邊形的周長與圓周長逐步接近，請用正十二邊形的邊長代替外接圓周長，計算圓周率的近似值（近似到小數點后兩位）；

【層次三】（3）正多邊形與圓的關系之二是如圖3所示的圓內切于正多邊形，根據圖3，提出一個一般性問題并得出一個結論，證明你的結論正確與否.

參考答案 （1）邊長為3r，邊心距為12r，中心角為120°.

（2）不妨設圓的半徑為1，則正十二邊形一邊為122+1-322=2-3=6-22，

從而π≈3（6-2）≈3.11.

（3）可以考慮幾個元素（從數值方面考慮：內切圓半徑、內切圓面積、內切圓面積與正多邊形面積關系等；也可以考慮圖形性質方面：內切圓的存在性、內接圓與外接圓圓心重合且都是正多邊形的中心等）.

點評 該題也是以教材習題為原型，進而拓展和延伸，最后讓學生提出一個數學問題并解決.是一道綜合性強，考查學生發現問題、研究問題的能力的題.

（1）第一問（第一層次）是在理解邊心距、中心角等數學基本概念的前提下進行簡單的運算，知識難度屬于較易題.

（2）第二問（第二層次）是在理解基本概念的基礎上，研究圓與內接正十二邊形的關系，本問也提供了一種研究圓與其內接正多邊形關系的方式（從定性到定量）：以內接正多邊形周長代替圓周長，觀察計算π與實際值的關系，從而發現正多邊形邊數較多時其周長接近于對應圓.

（3）第三問（第三層次）是在前面研究問題的前提下，提出一個一般性的問題，并參考前面的解決方式來分析問題.本問提出數學問題—形成解題思路—得到數學結論，是一個較高要求的問題.

三、同一問題多個素材

【提出問題】“圓”和“拋物線”作為初中階段研究的兩種弧線，“圓弧（劣弧）是特殊的拋物線嗎？”

【研究策略】研究思路可以用同一個實際背景，同樣的數據，以兩種不同的曲線來計算同一實物長度，對比結果差異.

素材一 （廣東佛山2005年中考試題）一座拱形橋，橋下的水面寬度AB是20米，拱高CD是4米.若水面上升3米至EF，則水面寬度EF為多少？

點評 （1）從數學研究問題的方式來研究：數學解題與數學發現一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然后再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的.類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法.

（2）圓與拋物線作為初中階段的兩種重要的曲線.以上提供了兩個素材讓學生學會辨析，拋物線是二次函數圖像，所以結合二次函數圖像相關知識解決.圓弧是圓的一部分，所以應該依據圓的相關知識：垂徑定理、勾股定理等.

數學每個階段的知識點是有限的，學生每個階段的學習時間也是有限的，但是數學習題的數量卻是無限的，不能讓每個階段的數學復習課變成習題課，讓學生變成刷題機器，應該學會“精選題、多歸納、勤思考”，讓數學復習變得高效而輕松.