裂項相消法求數列的前n項和

崔禹

數列是高中數學一個非常重要的內容，數列求和是數列題目中的常見題型，公式法、錯位相減法、裂項相消法等是數列求和的通用解法，其中裂項相消法是數列求和中的非常重要的方法.裂項相消法主要是把數列中的每一項分裂為兩項或多項的形式，在后續的運算中相互抵消，從而實現數列求和.很多裂項相消的題目，數列通項會以分式的形式給出.在解題的過程中，需要根據具體的題目類型進行裂項，注意系數與計算最終的剩余項.

一、分子、分母都是常數或者普通等差數列的分式類型

這類問題最基本的裂項相消法求數列和，最簡單、最易理解，也是高中數學中最常出現的.

通過例3的解決，我們注意到裂項求和過程中，未必是相鄰兩項的前后分拆項相互抵消，有可能是隔項相互抵消，一定注意到最后剩余的項，一般而言，前面剩余幾項，后面就會剩余幾項.

綜上所述，在分式數列裂項相消求和過程中，一是注意分解項時要乘系數，二是最后求和過程中一定注意剩余的項.

二、分子、分母為根式形式，可用分母有理化形式進行裂項

裂項相消未必只解決非常簡單的多項式分式裂項，對于一部分根式形式的數列分式也可以使用.

例4 已知數列{an}的通項公式為an=1n+n+1，求數列{an}的前n項和.

分析 本題目分母是兩個根式，而這兩個根式實際上是數列n的連續兩項，所以可以用分母有理化的形式把an拆開裂項，從而實現抵消后求和.

本題目是觀察分子和分母之間的關聯，主要在于分拆分母，構造分子，得到系數.

在裂項求和的過程中，注意裂項的合理化，如果裂項不合理，會增加很多計算量甚至出錯.

【參考文獻】

[1]楊芳，王德剛.求數列通項公式的幾種常見類型及其處理方法[J].中國校外教育（理論），2008（9）：127.

[2]司其君，李海燕.高考數列的熱點題型[J].數理化學習（高三），2012（8）：38.

[3]呂長法.數列求和的常用方法[J].試題與研究，2014（20）：5.

[4]蘇遂桃.由高考題看構造輔助數列求通項公式[J].中學生數理化（學研版），2015（8）：141.