小學奧數與中學方程

王佳瑩

【摘要】本文主要以“雞兔同籠”問題為例展開討論小學奧數中的方法和思想與中學方程中的方法和思想之間的內在聯系.首先，給出小學奧數中的雞兔同籠問題的求解過程，其中根據不同年級段的學生給出的求解方法不同；其次，給出雞兔同籠問題在初中階段用方程求解的過程；最后，根據比較不同階段的解題方法來討論小學奧數與中學方程之間的內在聯系.

【關鍵詞】小學奧數；中學方程；方法；思想

一、奧數的概念

小學奧數是近幾年較為熱點的問題，由于各地區小學升初中考試通過單純的校內知識已經不能夠將學生分出層次，所以各學校都會選取奧數知識作為一個考核的標準.所以，奧數在學習或考試中占有越來越多的比重；同時，也更多地引起了學生和家長的重視.

那究竟什么是奧數？奧數中又有哪些我們在教材上學習不到的知識呢？所謂奧數即是對奧林匹克數學的簡稱，它相對于我們在學校中學習的數學知識較為特殊，對于發散學生的思維和開發學生的大腦有一定的幫助；在奧數中涉及的主要內容有以下幾個部分：速算巧算，應用題，幾何部分和數字規律部分，在以上幾個部分當中所涉及的習題當中有百分之八十的習題都要用到初中及以上的知識，其中在應用題部分則直接聯系到初中的方程知識；例如，雞兔同籠問題是小學奧數中最為典型的應用題，它直接涉及的便是中學的方程知識，本文將以“雞兔同籠”問題為例展開討論小學奧數的思想和方法與中學方程的思想和方法的直接或間接的關系.

二、雞兔同籠的問題分析

例 雞兔同籠，共有頭10只，共有腳32只，問：籠中雞兔各有多少只？

分析 對于一道雞兔同籠的問題，不同的年級應該給出不同的方法；在小學二三年級階段，學生還不具有抽象的思維能力，所以針對二三年級的學生來說，我們主要的講授方法是以圖形的方式進行，因為畫圖不僅能夠調動學生學習的積極性，而且更能夠被學生接受；下面給出解題過程.

三、雞兔同籠問題的三種解法

步驟：引課，帶大家走進生活中，在生活中或者電視節目當中，都有見過雞和兔子，要學生明白雞有一只頭兩只腳，兔子有一只頭四只腳的事實.

（假設上述10個圓圈代表籠中的10只頭）

無論是雞還是兔子都應該至少有兩只腳，所以應該在每個圓圈上面畫出兩條“豎線”代表兩只“腳”；

接下來，應該引導學生，如果每只頭上有兩只腳，那么我們共畫了10×2=20只腳，讓學生自己發現，腳的只數與題中不符，比題中少了32-20=12只；引導學生考慮多出來的腳怎么辦，是雞的腳還是兔子的腳，通過分析發現少算的腳為兔子的腳，所以應該繼續向圓圈中添“腳”（豎線），并且根據常識要保證每次添兩只；

這一過程中我們發現，余下的12只腳，再繼續添的時候，只夠添了6個圓圈，12÷（4-2）=6只，那么上圖中，畫了4個豎線的圖形便代表兔子，其余的便是雞10-6=4只.這樣，雞兔同籠的問題對于二三年級的學生來說便迎刃而解了.

而對于四五年級的學生，這一階段的學生的智力水平以及對數字的敏感度都達到了一定的水平，也具有了一定的邏輯思維能力，所以我們可以脫離圖形進行講解，下面給出解題過程：

方法一：假設籠中全部都是雞，那么籠中應該有腳2×10=20只，但所得的腳數與題中有偏差，求出偏差為32-20=12只，接下來找出偏差所在，發現偏差為給兔子少算了腳，每只兔子少算了4-2=2只，看12腳是幾只兔子少算的腳12÷2=6只，所以籠中兔子6只，雞為10-6=4只.

方法二：同樣可以假設籠中全是兔子，解題過程同上.

在對四五年級的學生的講解過程中，不僅向學生滲透的做假設的思想方法，同時一題多解也鍛煉了學生從不同角度思考問題的能力，這為學生后繼的學習奠定了一定的基礎.

方程思想是數學思想中一種最基本的思想，也是最重要的解題方法，是中學數學中的重要解題技巧，那么到底解決“雞兔同籠”的問題時，小學奧數的方法思想與中學數學的方法思想有哪些相同之處，或者它們之間的聯系是什么呢？

其實我們不難看出，在上述的奧數解法過程中，我們多次用到了假設法，而在方程中其實也同樣是在應用假設法，與之不同的是，方程需要引入變量x，y，再根據題中變量之間的關系，進而聯系實際，我們便可列出關于雞兔同籠的二元一次方程組：

解 設籠中雞有x只，兔子有y只.

x+y=10，2x+4y=32， 解得x=4，y=6，

所以，本題最終求解為雞有4只，兔子有6只.

觀察上面的解題過程，我們不難發現，其實小學奧數的解題過程就是中學方程求解的逆過程，其中不同的是，小學奧數需要更加直觀的圖形和語言來幫助解題，中學方程則不然.所以，小學奧數也可以說是為初中階段的學習做一個有益的鋪墊或者是埋下一個伏筆.

四、結 語

不可否認，奧數對于提升學生各方面的能力有著重要的影響；但是，要掌握好這個度，就要求教師與家長的配合，不能要求學生過度地學習奧數，這不僅不能夠提升學生的學習能力，而且容易讓學生產生逆反心理；所以，在奧數的學習上提倡寓教于樂，不要讓奧數成為學生的負擔.