如何對高中數學立體幾何問題有效解析

孫俊凡

【內容摘要】立體幾何作為高中數學的重要組成部分，同時也是學習的難點，占據高考數學的較高分值，通常考查題目中多個數學板塊之間的內在聯系。因此作為高中生，想要取得立體幾何學習的高效性就要重視運用解題技巧和方法，在實踐中不斷總結經驗，從而做好數學立體幾何問題的有效解析。本文結合案例來對立體幾何問題進行有效解析，意在激發學生的發散思維，提升解題有效性和正確性。

【關鍵詞】高中數學?有效解析

一、建立空間觀念，激發想象力

對于高中數學立體幾何的學習來講，空間想象力是必須具備的能力，從認識和了解平面圖形到立體幾何圖形學習是質的飛躍，從直觀到空間，這中間的過程需要憑借學生對立體三維空間的想象能力來完成。教師在教學準備中會自制空間幾何模型，并且結合到相關的數學題目來具體講解反復讓學生觀察，這對于判斷線、面、角之間關系會更加明確化、形象化。總的來講，由于每個學生自身認知水平和能力的差異性，在學習立體幾何有關的問題中也會選擇最適合的解題方法，從而在探索中建立相應的空間觀念，激發空間想象力，為解決立體幾何題目打下堅實的基礎。

為有效增強學生的空間立體感，在具體訓練中可以選擇構建簡單的模型幫助想象和聯想。比如首先對長方體和正方體有所了解，并對線和面之間的關系讓學生進行探究，其次延伸到面與面，最后結合具體的立體幾何圖形進行拓展延伸，從而有效解題。此外，學生根據題目來描繪立體幾何圖形的能力要加以培養，保證學生在面臨幾何問題能夠找到突破口，輔助自身想象的支撐點，為切實解決問題創造相應的便利條件。

二、運用函數思想來有效解題

函數思想貫穿于整個高中數學階段，具體是依靠定量和變量之間的復雜變化關系來對數學問題加以分析、解決。在立體幾何問題中，分析其中的數量關系，借助函數思想建立和構造函數關系，并且對抽象的空間關系加以具體化和直觀化，最終實現成功解決題目。這對于學生的思維能力具有一定要求，必須具備嚴謹縝密的邏輯思維能力，全面分析幾何問題中的內在關系，尤其要重視對函數關系的建構，以抽絲剝繭的層次漸進方法分離出本質。

在高中數學教材立體幾何例題中，就運用到了以函數思想來解決問題的案例：如圖1所示，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上的一點，若∠BAC=α，同時PA=PB=2r，求異面直線PB和AC之間的距離。

在題目解析過程中，首先就要對圖形中各個線與面的關系加以分析，從而通過給出的圖形對異面直線PB和AC的關系就是將直線PB上任何一點到直線AC之間距離的最小值求出，并對題目中的定量和變量建立目標函數關系。首先設定直線PB上任意一點為M，并使得MD和AC垂直于D，同時MH和AB垂直于H，假如MH設為x，同時MH垂直于平面圓O，同時AC和HD垂直。我們可以得出以下等式MD2=x2+[（2r-x）sinα]2=（sin2a+1）x2-4rxsin2α+ 4r2sin2α=（sin2α+1）[x-2rsin2α/（1 +sin2α）]2 + 4r2sin2/（1+sin2α）。

只有當x=2rsin2α/（1+sin2α）時，MD值最小，可以得出異面直線PB和直線AC的距離，這種題目是有著統一的解答類型，主要是對兩條異面直線的距離進行轉化，向異面直線上兩點之間的距離變換，對其最小值進行求解。利用函數的性質關系作為解析方法，因此函數思想常常被運用于立體幾何中。

三、發散思維，綜合運用多種解題方法

由于立體幾何的學習和多種數學模塊有聯系，因此學生解題思路要打開，從多個角度看給出的題干，不能呈現固定化思維模式。比如將函數、向量、數列等多項知識體系融為一體解決立體幾何問題。例如在求解最值問題上，如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為3，其中點E存在于棱AA1上，并且已知線段A1E的長度為l，點F是截面A1BD上一個不斷移動的點，求解線段AF與EF之間的最小值是多少。思考這一問題，首先通過分析題目我們能夠得出要想求解線與線之間的關系就要轉化為線與面，點與面的關系。

首先在正方體ABCD-A1B1C1D1內畫出虛擬平面CD1B1，明顯從圖中看出平面A1BD//平面CB1D1，兩者是相互平行的關系，因此可以試著連線AC1，產生與平面B1D1C之間的交點設為G，再連接平面BDA1與EG，產生的交點設為F，此時由于GE與A1C1所在的平面平行，因此兩天直線存在平行關系，因此能夠求出線段AF和FE之間的最小值為GE，并且GE=2A1C1/3=22。從最值問題的求解中，體現出綜合解題方法的思想，尤其是學生在學習過程中要積極發散思維，綜合運用多種解題技巧找到題目的突破口，更好地完成對立體幾何題目的求解，從而促進學生學習效率。

結語

綜上所述，立體幾何是高中數學的重要模塊，在實踐解題過程中最常用的就是空間圖形解題和函數思想、向量思想解題，從我們對上述的案例解析中發現，高中生一定要具備一定的空間想象能力，找出線與線、線和面之間的具體關系，從而對高中數學立體幾何問題進行有效解析。

（作者單位：山東省淄博市博山區實驗中學）