工程供應鏈環境下帶有價格折扣的兩種材料庫存模型構建與求解

張 海，楊耀紅，王 帥，田 宇

（華北水利水電大學 水利學院，河南 鄭州 450000）

工程供應鏈環境下帶有價格折扣的兩種材料庫存模型構建與求解

張 海，楊耀紅，王 帥，田 宇

（華北水利水電大學 水利學院，河南 鄭州 450000）

以工程供應鏈中庫存成本最小化為優化目標，考慮含有兩種材料的價格折扣模型，構建了庫存優化模型。通過Matlab中的遺傳算法工具箱求解該模型，實現了庫存控制的最優化問題。最后，通過一個數值算例證明了該模型的算法選用的合理性和可行性。

供應鏈；兩種材料；價格折扣；庫存優化；遺傳算法

0 引 言

在工程供應鏈中，工程總成本超過50%～60%來源于物資和設備[1]，也就是說，在供應鏈管理中涉及的各種活動中，采購是最具戰略性的，因為它提供了降低成本并因此增加利潤的機會。工程項目由于規模巨大，物料種類繁多，在采購材料時，供應商往往會提供一些價格折扣，來刺激材料的銷售，增加自身利潤。折扣一般分為兩種：第一，增量折扣計劃，指的是一個特定折扣水平的單位價格只適用于與該水平相對應的數額的情況。第二，全量折扣計劃，按折扣單價收取所有購買金額。

在近幾年的研究中，Amy H.l.Lee[2]等人構造了一個混合整數規劃（MIP）模型，以解決多供應商、多周期和數量折扣的批量問題。為了解決這個問題，提出了一種高效的遺傳算法，目標是最小化總成本，其中成本包括訂貨成本、持有成本、采購成本和運輸成本。Mohammad[3]等人考慮了多個供應商和數量折扣的單項動態批量大小問題，開發了一種基于Fordyce-Webster算法的新啟發式算法，使解決方案得到了更高的準確性。Hesham K.Alfares[4]等人同時考慮需求率，單位持有成本和單位采購成本的變動性。根據所有單位數量折扣，存貨庫存模型以及銷售價格獨立的需求率，存儲時間相關的持有成本和訂單大小相關的采購成本呈現，構建了一個數學模型，并且開發了一種解決方案來確定最優解。Jonathan E.Jackson[5]等人第一次在存在數量折扣的情況下將能力視為決策變量，用拉格朗日技術和容量成本的分段線性近似，產生精確的解決方案，該算法允許在同一公共資源約束下同時混合兩種最常見的數量折扣形式。Mehdi Ghaniabadi[6]等人在存在增量和全部數量折扣的情況下，討論了供應商選擇和積壓的單一產品動態批量問題，提出混合整數線性規劃（MILP）模型。此外，開發遞歸公式及其有效實現，為其提供了增量折扣案例最佳解決方案，以及針對所有單位折扣案件的近似最優解決方案。對于每種情況，使用商業軟件解決MILP模型，并運行從遞歸公式獲得的動態規劃模型（FDP）及其有效實現。

人們在以往的研究中，往往是考慮單一材料的庫存優化，對兩種材料及多種材料的價格折扣和庫存研究較少。本文主要從施工承包商的角度考慮，基于兩種材料的價格折扣模型，考慮訂貨成本、庫存持有成本和購置成本，以此來構建庫存優化模型，以實現庫存總成本最小。

1 基本假設與模型建立

1.1 模型假設

（1）本模型只考慮施工承包商，并涉及工程項目中所需材料的兩種產品，且這兩種產品相互獨立，沒有關聯性。

（2）假定工程項目不允許缺貨，不存在缺貨成本，且每次訂貨不能超過最大庫存容量。

（3）材料供應商自行生產產品，且其單位產品的成本不變。

（4）模型采取連續庫存檢查補貨策略，即Q,（）R 策略。一旦庫存水平低于再訂貨點，馬上發出訂貨量為Q訂單。

（5）假定供應商提供的產品價格是出廠價（不包含運輸費用），由供應商承擔運輸成本。

（6）訂貨提前期為零。

1.2 模型符號

為了描述本文的數學模型和方法，考慮以下符號：

Q為庫存的最大容納量；ψm為訂購m材料的每次訂貨成本；ψn為訂購n材料的每次訂貨成本；Qm為材料m每次的訂貨批量；Qn為材料n每次的訂貨批量；M為材料m的訂貨次數；N為材料n的訂貨次數；αm為材料m的價格折扣率；αn為材料n的價格折扣率；Pm為材料m無價格折扣時供應商給承包商的單位產品價格；Pn為材料n無價格折扣時供應商給承包商的單位產品價格；hm為材料m的單位持有成本；hn為材料n的單位持有成本；Sm為材料m的安全庫存，即低于該庫存立即訂貨；Sn為材料n的安全庫存，即低于該庫存立即訂貨。

其中：下標m和n分別指工程上的兩種材料，訂貨批量Qm、Qn，訂貨次數M、N為決策變量。

1.3 工程供應鏈中庫存模型成本分析

在供應鏈中，每一個供應商為了獲得一個更大的購買量而降低產品的價格，這樣既能實現自己產品的銷售、增加利潤，還能給施工承包方帶來便利。在實際情況中，供應商會針對不同的訂貨量提供不同的優惠價格。假設在模型中，兩種材料的價格折扣率分別是αm和αn，αm和αn都是分段函數。m材料的數量折扣函數為：

其中：Qmi＜Qm（i+1）,0.5＜αm＜1, αm1＞αm2＞…αmi＞αmγ。

n材料的數量折扣函數為：

其中，Qni＜Qn（i+1）,0.5＜αn＜1, αn1＞αn2＞…αni＞αnγ。

1.3.1 訂貨成本

施工承包商在一個周期內的訂貨成本與訂貨數量無關，只與訂貨批次有關，其訂貨成本等于每次訂貨成本與訂貨次數之積：

1.3.2 購置成本

施工承包商的購置成本是指在購買所需材料時需要付出的成本，由訂貨數量和單位產品的購買價格決定，等于訂貨數量與材料的單位購買價格之積。在工程項目的實際情況中，供應商往往會根據承包商的訂貨策略進行價格上的優惠，在模型中，供應商提供關于訂貨量的價格折扣，其購置成本為：

1.3.3 庫存持有成本

施工承包商的庫存持有成本是指在庫存中持有這兩種材料所產生的存貯費用，其中包括倉庫的保管費、材料的保護措施費、材料占用資金的利息等。施工承包商采取連續性檢查庫存策略，當庫存量降到庫存訂貨點時開始訂貨，每次訂貨量為Qm和Qn兩種材料的和，施工承包商的庫存持有成本等于材料的單位持有成本與平均庫存量之積：

1.4 工程供應鏈的庫存成本

由式（3）、式（4）、式（5） 可以確定工程供應鏈的庫存成本為：

模型的決策變量為Qm、Qn、M、N。

目標函數為：

約束條件為：

其中約束條件：式（8）表示兩種材料的訂貨批量不允許超過最大倉庫容納能力。式（9） 和式（10）表示兩種材料的訂貨量大于0。

2 模型求解

與傳統算法相比較，遺傳算法搜索能力比較強，而且具有極強的魯棒性。考慮到遺傳算法在優化方面具有強大的功能，且實數編碼的遺傳算法對于求解非線性庫存優化問題效果較好，因此選擇遺傳算法對庫存優化模型進行求解可以取得較理想的結果。

在Matlab中，調用遺傳算法工具箱中的函數對目標函數進行編程求解，得出庫存最小成本。

3 案例與分析

某建設項目合同工期為40個月，施工承包商向材料供應商訂購m和n兩種材料，并且，材料供應商根據訂購批量提供數量折扣，如下所示：

其中：Qm和Qn單位為噸。

工程項目實例中其他參數如表1所示。

表1 算例相關參數表

其中：庫存最大容納量為MaxQ=640噸。

在本案例中，種群規模設為200，變異概率為0.35，交叉概率為0.5。遺傳算法一般用于求解函數的近似最優解，而不是最優解，并且遺傳算法的收斂性取決于其最初值，所以需要多次運行Matlab程序。多次運行主程序得到圖1。

從遺傳算法優化成本迭代曲線可以看出遺傳迭代數達到10次左右，最優解和種群平均值開始趨于穩定。

兩種材料的庫存狀況變化如圖2所示。

兩種材料的庫存狀況在設定周期內呈波動性變化，符合工程實際。

通過Matlab求解可以求得最優解如下：

根據優化算法的結果，我們可以確定庫存成本的最小值為659 488元，供應鏈的最優訂貨策略為：施工承包商訂購m材料的訂貨次數為2，訂購n材料的訂貨次數為4，m材料的最優訂貨批量為49噸，n材料的最優訂貨批量為318噸。通過比較，可以發現兩種材料放在一個庫里考慮，比分別放在兩個庫里成本優化了很多，結果也更合理化。

圖1 遺傳算法優化成本迭代曲線

圖2 貨物m和n的庫存狀況變化

4 結束語

本文從施工承包商的角度考慮，對工程供應鏈中訂購兩種材料進行建模和分析，最后選取一個工程案例進行優化計算，得到了該工程項目供應鏈的最小庫存成本以及最優訂貨策略，驗證了構建的優化模型的可行性和適用性。在本文中，該模型只是針對兩種相互獨立的材料來考慮的，接下來可以討論兩種材料在相關性情況下庫存的變化。

[1]李民，高俊.工程供應鏈管理研究綜述[J].工業技術經濟，2012(5):28-37.

[2]Lee A H I,Kang H Y,Lai C M,et al.An integrated model for lot sizing with supplier selection and quantity discounts[J].Applied Mathematical Modelling,2013,37(7):4733-4746.

[3]Mazdeh M M,Emadikhiav M,Parsa I.A heuristic to solve the dynamic lot sizing problem with supplier selection and quantity discounts[J].Computers&Industrial Engineering,2015,85:33-43.

[4]Alfares H K,Ghaithan A M.Inventory and pricing model with price-dependent demand,time-varying holding cost,and quantity discounts[J].Computers&Industrial Engineering,2016,94:170-177.

[5]Jackson J E,Munson C L.Shared resource capacity expansion decisions for multiple products with quantity discounts[J].European Journal of Operational Research,2016,253(3):602-613.

[6]Ghaniabadi M,Mazinani A.Dynamic lot sizing with multiple suppliers,backlogging and quantity discounts[J].Computers&Industrial Engineering,2017,110:67-74.

Construction and Solution of Two Kinds of Material Inventory Models with Price Discount in Engineering Supply Chain Environment

ZHANG Hai,YANG Yaohong,WANG Shuai,TIAN Yu

(School of Water Conservancy,North China University of Water Resources and Electric Power,Zhengzhou 450000,China)

In this paper,we minimize the inventory cost in the engineering supply chain as the optimization target,consider the price discount model with two kinds of materials,and build the inventory optimization model.We solved the model through the genetic algorithm toolbox in matlab,and realized the optimization problem of inventory control.Finally,we prove the rationality and feasibility of the algorithm selection by a numerical example.

supply chain;two kinds of materials;price discount;inventory optimization;Genetic algorithm

F253

A

1002-3100(2017)12-0021-04

2017-10-16

張 海（1992-），男，河北邢臺人，華北水利水電大學水利學院水利工程專業碩士研究生，研究方向：供應鏈管理；楊耀紅（1969-），男，河南漯河人，華北水利水電大學水利學院，教授，博士，研究方向：工程管理、供應鏈管理。