導數

陸燁

[摘 要]導數是高中數學中的重點知識，導數的應用非常廣泛.利用導數解決切線問題、判斷函數單調性、求函數最值和證明不等式是導數在高中數學中的常見應用.

[關鍵詞]導數；數學問題；切線；單調性；不等式

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674（2017）32002702

導數是研究函數性質的重要工具，導數知識的應用為解決函數問題提供了一種新的方法，這種方法簡單便捷，思路清晰.高考中關于導數的考點往往是高中數學中的重點和難點，需要引起學生的高度注意.

一、利用導數解決切線問題

分析：本題的目標是求切線m的方程，那么就需要一個點的坐標和切線的斜率，或者是兩個點的坐標.根據本題的已知條件，顯然可以得到切線的斜率和一個點的坐標.通過“m與直線x+4y-8=0垂直”這一條件可以得出m的斜率，然后根據所得到的斜率，通過導數的知識，易得切點的坐標，那么問題自然就迎刃而解了.

評注：在解答此類問題時需要掌握常見函數的求導方法.而復合函數的求導相對來說比較復雜，需要特別留意.還有一點，就是在說明函數單調性時，一定要說明單調性成立的區間，否則單調性就不能成立.

三、利用導數求函數最值

高中函數的最值問題是高考中的重要考點.通過導數法求函數最值是最簡捷的方法之一.根據導數在駐點兩側的符號，可以判斷該函數的駐點是極大值還是極小值.求出函數的極值之后再在對應區間判斷是最大值或是最小值.

評注：對于此類最值問題，直接通過導數來求最值是比較好的方法，這種方法思路清晰，簡潔明了，大大提高了解題的準確率.

四、利用導數證明不等式

證明不等式的方法有很多，而通過導數來證明不等式是其中非常重要的一種方法.導數在不等式證明中的應用，一般都是構造一個函數，將不等式問題轉化為函數問題.通過構造的函數，求出函數的最值，應用公式或者恒等關系來解決所要證明的問題.

評注：本題的關鍵在于將不等式問題轉化為函數問題，再通過求函數的導數，得到所求函數的最小值，從而通過函數來證明不等式.本題中所求的極小值一定要判斷是否為最小值點.由于本例中在區間內只有一個極小值點，而且函數是連續函數，所以極小值點就是最小值點.

導數知識的應用范圍不僅僅局限在這些方面.導數知識作為高中數學中的重點和難點，學生學習起來比較吃力，這就需要教師不斷地引導學生，讓學生合理而高效地學習導數知識.

（責任編輯 黃桂堅）