中考數(shù)學(xué)中分類討論思想例析

甘宗全

[摘 要]分類討論思想是中考數(shù)學(xué)常常涉及的內(nèi)容.研究分類討論思想能有助于提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]分類討論思想；中考；數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2017）32003001

中考常常會(huì)考查分類討論問(wèn)題，需要學(xué)生將所有可能存在的方面考慮清楚，針對(duì)各個(gè)不同方面進(jìn)行問(wèn)題處理.中考涉及分類討論問(wèn)題，主要包括方程組問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題和兩車相距問(wèn)題.解決這些問(wèn)題需要將存在的情況詳細(xì)列舉出來(lái)，全面分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的處理.我針對(duì)以下幾方面進(jìn)行例題分析，以便讓學(xué)生可以做到舉一反三，充分掌握分類討論思想.

一、方程組問(wèn)題的分類討論

方程組問(wèn)題主要包括不等式和一元二次方程，要求學(xué)生熟練掌握方程組分類討論思想，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的有序解決.

1.不等式分類討論

不等式分類討論問(wèn)題，主要考查學(xué)生對(duì)方程參數(shù)大小的確定，讓學(xué)生針對(duì)可能存在的情況去分析、解決問(wèn)題.例如，|ax+5|>3，求x的取值范圍.很多學(xué)生都會(huì)列方程去解不等式，得出x>-2/a和x<-8/a.此時(shí)，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)：“大家在解答不等式時(shí)，不等式左右分別除以正數(shù)和負(fù)數(shù)，方程組符號(hào)會(huì)怎樣發(fā)生變化呢？”學(xué)生回答道：“除以正數(shù)符號(hào)不變，除以負(fù)數(shù)符號(hào)改變.”接著，我會(huì)問(wèn)學(xué)生：“題目中是否給了a的范圍，它的取值可能為哪幾種情況呢？”在這個(gè)時(shí)候，學(xué)生立刻意識(shí)到自己考慮問(wèn)題的不全面性，紛紛回答道：“a的取值范圍為a>0、a<0和a=0這三種情況，需要針對(duì)這三種情況進(jìn)行分類討論.”這時(shí)，我讓學(xué)生應(yīng)用分類討論思想去解決這個(gè)問(wèn)題.很多學(xué)生充分考慮各種可能存在的情況，得出ax+5>3、ax+5<-3.接著得出x>-2/a、x<-2/a、x<-8/a和x>-8/a，把a(bǔ)=0、a<0、a>0這三種情況代入其中，從而得到最終的答案.

2.一元二次方程分類討論

一元二次方程分類討論，通過(guò)一些隱含條件來(lái)限定參數(shù)的范圍，針對(duì)不同情況進(jìn)行分類討論.例如，一元二次方程（a-1）x|a-3|+x2-3=0，求a的值.這時(shí)我會(huì)問(wèn)學(xué)生：“這道題目怎么去應(yīng)用分類討論思想呢？”學(xué)生在看完問(wèn)題后回答道：“該方程為一元二次方程，需要有x2這個(gè)項(xiàng)，需要討論a-3是否等于2.”接著，我會(huì)讓學(xué)生按照自我分析的思想去解答.此時(shí)，學(xué)生參照a-3=2和a-3≠2進(jìn)行討論，得出a=5時(shí)，方程組為5x2-3=0，Δt>0，所以方程組有解，a=5方程成立.接著，將|a-3|=1和|a-3|=0進(jìn)行分類討論，最終得到a所有可能取得的值.

二、三角函數(shù)問(wèn)題的分類討論

三角形的分類討論，主要集中在對(duì)三角形內(nèi)角和為180°、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形和兩邊和大于第三邊和兩邊差小于第三邊這六種情況.需要學(xué)生將這些問(wèn)題綜合在一起，得出最終的答案.例如，x2-9x+18=0的兩個(gè)根為等腰三角形的兩個(gè)邊，求三角形的周長(zhǎng).我在對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行分類討論時(shí)，首先會(huì)讓學(xué)生把方程組的解列舉出來(lái).此時(shí)，學(xué)生通過(guò)解方程得到x=3和x=6.我會(huì)問(wèn)學(xué)生：“三角形的周長(zhǎng)為多少呢？”很多學(xué)生回答道：“12和15.”很少一部分學(xué)生回答道：“只能是15.”我在這個(gè)時(shí)候會(huì)讓回答“15”的學(xué)生來(lái)分析原因，該生此時(shí)說(shuō)道：“當(dāng)?shù)妊切稳齻€(gè)邊為3、3、6時(shí)，此時(shí)不滿足兩邊和大于第三邊的原則，所以周長(zhǎng)不能為12.”我在這個(gè)時(shí)候?qū)W(xué)生總結(jié)道：“大家在解答問(wèn)題時(shí)，一定要結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)和定理，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論思想，最終得出正確的答案.”

三、相遇問(wèn)題的分類討論

在中考應(yīng)用題考試中，常常會(huì)以兩車相距問(wèn)題來(lái)考查追及問(wèn)題、相遇問(wèn)題和相遇次數(shù)問(wèn)題.因此，要求學(xué)生在解決兩車相距問(wèn)題時(shí)，充分進(jìn)行分類討論，把實(shí)際問(wèn)題考慮全面.例如，A、B兩地相距450千米，甲、乙兩車從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車速度為120千米/小時(shí)，乙車為80千米/小時(shí)，經(jīng)過(guò)t小時(shí)兩車相距50千米，問(wèn)t的取值為多少小時(shí)？，我會(huì)問(wèn)學(xué)生：“兩車相距50千米是怎樣的情況呢？”學(xué)生思考后回答道：“一共兩種情況，一種為兩車還未相遇，距離為50千米；一種為兩車相遇后，彼此分開后距離達(dá)到50千米.”這時(shí)，我讓學(xué)生按照這兩種思路去解答問(wèn)題.學(xué)生可以得出“120×t+80×t=400”“120×t+80×t=500”這兩個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，得出t=2小時(shí)和t=2.5小時(shí).接著，我會(huì)問(wèn)學(xué)生：“大家在思考這類問(wèn)題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)怎樣的問(wèn)題呢？”很多學(xué)生回答道：“只會(huì)單一考慮兩車相遇前距離為50千米，而沒(méi)有考慮到兩車相遇后，彼此分離再次達(dá)到50千米這種情況.”我總結(jié)道：“大家在解決兩車相距問(wèn)題時(shí)，一定要考慮全面兩車之間的位置問(wèn)題，把可能存在的問(wèn)題詳細(xì)列舉出來(lái)，便于得出最全面的答案.”

中考數(shù)學(xué)中，分類討論思想是需要學(xué)生靈活掌握的，能夠全面把可能存在的情況考慮全面，最終得到最正確的答案.因此，要求學(xué)生合理劃分分類討論問(wèn)題的類型，把方程組問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題、兩車相距問(wèn)題的解題要素考慮全面，針對(duì)不同類型采用恰當(dāng)?shù)慕忸}方式，充分提高學(xué)生的解題能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）