“振動(dòng)和波”高考復(fù)習(xí)導(dǎo)航

陶漢斌

[摘 要]振動(dòng)和波在平時(shí)的生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用，是高中物理學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一，但由于振動(dòng)和波的知識比較抽象，學(xué)生理解把握不準(zhǔn)，難以熟練準(zhǔn)確地運(yùn)用相關(guān)知識解決問題。為了有效做好振動(dòng)和波的高考復(fù)習(xí)工作，提升學(xué)生解決振動(dòng)和波問題的能力，文章從三個(gè)方面進(jìn)行簡要分析。

[關(guān)鍵詞]振動(dòng)與波；時(shí)間空間；辯證關(guān)系；動(dòng)態(tài)之美；嚴(yán)謹(jǐn)思維

[中圖分類號] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2017）32003104

振動(dòng)和波具有時(shí)間與空間的對稱美，其圖像包含有豐富的物理信息。在學(xué)習(xí)過程中，要深刻理解振動(dòng)與波的辯證關(guān)系，理解波形圖變遷的動(dòng)態(tài)之美。在解題時(shí)，要建立最基本的振動(dòng)與波動(dòng)的物理模型，從基本物理模型出發(fā)進(jìn)行遷移與變式，注意振動(dòng)與波的周期性與多解問題，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維的學(xué)習(xí)素養(yǎng)，以便在高考中取得佳績。

一、知識思維導(dǎo)圖（如文末圖所示）

二、聚焦振動(dòng)與波動(dòng)的物理模型

在教學(xué)“振動(dòng)和波”時(shí)，教師要幫助學(xué)生建立最基本的振動(dòng)與波動(dòng)的物理模型。與以往學(xué)習(xí)的運(yùn)動(dòng)形式不同，簡諧運(yùn)動(dòng)具有周期性與對稱性，而機(jī)械波具有時(shí)間與空間的動(dòng)態(tài)之美。

1.簡諧運(yùn)動(dòng)模型——對稱性與周期性

簡諧運(yùn)動(dòng)具有時(shí)間與空間的對稱性，學(xué)生可以利用簡諧運(yùn)動(dòng)的周期性與對稱性解題，從而樹立“對稱美”的美學(xué)觀點(diǎn)。

（1）簡諧運(yùn)動(dòng)的對稱性

簡諧運(yùn)動(dòng)的對稱性是指振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的兩個(gè)位置時(shí)，振子的位移、回復(fù)力、加速度、動(dòng)能、勢能、速度、動(dòng)量等均是等大的，其中位移、回復(fù)力、加速度的方向一定相反，速度、動(dòng)量的方向不能確定。運(yùn)動(dòng)時(shí)間也具有對稱性，即在關(guān)于平衡位置對稱的兩段位移上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等。用好對稱性觀點(diǎn)，對解決有關(guān)問題有幫助。

（2）簡諧運(yùn)動(dòng)的周期性

簡諧運(yùn)動(dòng)具有周期性，在解題時(shí)特別要注意由于周期性而導(dǎo)致題目的多解問題。一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期的大小由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與外界因素?zé)o關(guān)，理解了這一點(diǎn)，在解決相關(guān)問題時(shí)就不易出錯(cuò)。如單擺的振動(dòng)周期公式為T=2πLg，每振動(dòng)一個(gè)周期物體經(jīng)過的路程一定為4A（A為振幅）；每振動(dòng)半個(gè)周期物體經(jīng)過的路程一定為2A（A為振幅）。

【例2】 一彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng)，周期為T，則下列說法中正確的是（ ）。

A.若t時(shí)刻和（t+Δt）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數(shù)倍

B.若t時(shí)刻和（t+Δt）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)速度的大小相等、方向相反，則Δt一定等于T/2的整數(shù)倍

C.若Δt=T，則在t時(shí)刻和（t+Δt）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度一定相等

D.若Δt=T/2，則在t時(shí)刻和（t+Δt）時(shí)刻彈簧的長度一定相等

析與解：若t時(shí)刻和（t+Δt）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等、方向相同，表明兩時(shí)刻振子只是在同一位置，其速度方向還可能相反，則Δt不一定是T的整數(shù)倍，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。若t時(shí)刻和（t+Δt）時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)速度的大小相等、方向相反，這時(shí)振子可能處于平衡位置兩側(cè)的兩個(gè)對稱的位置上，也可能是兩次處于同一位置上，這都不能保證Δt一定是T2的整數(shù)倍，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。振子每經(jīng)過一個(gè)周期，必然回到原來的位置，其對應(yīng)的加速度一定相等，故選項(xiàng)C正確。經(jīng)過半個(gè)周期，彈簧的長度變化大小相等、方向相反，即一個(gè)對應(yīng)彈簧被壓縮，另一個(gè)對應(yīng)彈簧被拉伸，這兩種情況下彈簧的長度不相等，可見選項(xiàng)D錯(cuò)誤。綜上所述，本題的正確答案為C。

2.機(jī)械波問題——時(shí)間與空間之美

波動(dòng)問題具有復(fù)雜性，具體表現(xiàn)為它的周期性與多解性，在學(xué)習(xí)機(jī)械波時(shí)一定要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)會全面分析問題。

（1）波動(dòng)問題的周期性

波在傳播過程中需要時(shí)間，也需要一定的介質(zhì)空間。波動(dòng)過程具有時(shí)間和空間的周期性。在傳播振動(dòng)的過程中，介質(zhì)中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對平衡位置的位移隨時(shí)間做周期性變化，這體現(xiàn)了時(shí)間的周期性；另一方面，每一時(shí)刻，介質(zhì)中沿波傳播方向上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的空間分布具有空間周期性。如相距波長整數(shù)倍的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，它們在任意時(shí)刻的位移、速度及相關(guān)量均相同，而相距半波長奇數(shù)倍的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，它們在任意時(shí)刻的位移、速度及相關(guān)量均完全相反。

（2）波動(dòng)問題的多解性

機(jī)械波傳播時(shí)具有雙向性，可以向左傳播，也可向右傳播，這是機(jī)械波的雙向性。雙向性與周期性是波的兩個(gè)基本特征。波的這兩個(gè)特征決定了波動(dòng)問題通常具有多解性。為了準(zhǔn)確表達(dá)波的多解性，通常先寫出一般通式，再結(jié)合某些限制條件，得出所需要的特解，這樣可有效防止漏解。

【例4】 如圖4所示，繩中有一列正弦橫波，沿x軸傳播，a、b是繩上兩點(diǎn)，它們在x軸上的距離小于一個(gè)波長，當(dāng)a點(diǎn)振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，b點(diǎn)恰好經(jīng)過平衡位置向上運(yùn)動(dòng)。試在圖上a、b之間畫出波形圖。

析與解：波源起振后，產(chǎn)生的波可以在介質(zhì)中向四周傳播。若題中沒有特別注明傳播方向，則求解時(shí)必須討論其傳播方向，因而導(dǎo)致相關(guān)波動(dòng)問題的多解。本題沒有注明波的傳播方向，所以需要討論波向+x軸方向和-x軸方向傳播的兩種情況。由于a、b間距離小于一個(gè)波長。因此a、b間不足一個(gè)波長，其圖像如圖5所示，①為波向+x軸方向傳播時(shí)的波形；②是波沿-x軸方向傳播時(shí)的波形。

3.解讀振動(dòng)與波的辯證關(guān)系

振動(dòng)與波動(dòng)現(xiàn)象既有緊密的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別，掌握它們的個(gè)性與共性的辯證關(guān)系，對正確把握和理解這兩種運(yùn)動(dòng)形式以及迅速解答振動(dòng)與波動(dòng)的綜合題有重要意義。

（1）機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波的聯(lián)系與區(qū)別

①從產(chǎn)生條件看，振動(dòng)是波動(dòng)的成因，波動(dòng)是振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播，有波動(dòng)必有振動(dòng)，但是有振動(dòng)未必有波動(dòng)，所以產(chǎn)生機(jī)械波的條件是：振動(dòng)和介質(zhì)。

②從運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象看，振動(dòng)是單個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)；波動(dòng)是介質(zhì)中大量質(zhì)點(diǎn)依次振動(dòng)而形成的，波動(dòng)中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是在各自的平衡位置附近做振動(dòng)，但是，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)有先后，而且質(zhì)點(diǎn)并不隨波的傳播而遷移。

③從運(yùn)動(dòng)性質(zhì)看，振動(dòng)是非勻速周期性運(yùn)動(dòng)，其位移、速度、加速度隨時(shí)間做周期性變化；而波的傳播是勻速運(yùn)動(dòng)，波速只與傳播振動(dòng)的介質(zhì)有關(guān)，與振動(dòng)本身無關(guān)，波傳播的距離與時(shí)間關(guān)系為s=vt，但對波上的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)來說，它的運(yùn)動(dòng)只是振動(dòng)，其振動(dòng)周期等于振源的周期。

（2）振動(dòng)圖像與波動(dòng)圖像的區(qū)別與聯(lián)系

振動(dòng)圖像與波動(dòng)圖像都是正弦或余弦曲線，但是其物理意義卻不相同。

①物理意義。振動(dòng)圖像表示振動(dòng)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻離開平衡位置的位移，振動(dòng)圖像隨時(shí)間的延長而延伸，但原有的圖像不變。波動(dòng)圖像表示介質(zhì)中在波的傳播方向上一系列質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻離開平衡位置的位移，隨著時(shí)間的推移，波的圖像是在更多的質(zhì)點(diǎn)參與下延伸，且原有圖像要隨之變化。

②圖像中的信息。由振動(dòng)圖像可確定的物理量：振幅、周期；可確定質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的位移、速度、加速度的方向。波動(dòng)圖像可確定的物理量：振幅、波長；可確定該時(shí)刻各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度的方向。

③振動(dòng)方向的判定。振動(dòng)圖像中質(zhì)點(diǎn)的速度方向與圖像的起伏方向一致，要看在該時(shí)刻后的位置在哪里就往哪里運(yùn)動(dòng)。波動(dòng)圖像中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度方向可用“上下坡”法則判定：設(shè)想一個(gè)人沿波的傳播方向前進(jìn)，波形升高的方向叫“上坡”，波形下降的地方叫“下坡”，上坡處的質(zhì)點(diǎn)向下振動(dòng)，下坡處的質(zhì)點(diǎn)向上振動(dòng)，記為“正向看，上坡下，下坡上”。

【例5】 一簡諧橫波在x軸上傳播，在某時(shí)刻的波形如圖6所示。已知此時(shí)質(zhì)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)方向向下，則（ ）。

A.此波朝x軸負(fù)方向傳播

B.質(zhì)點(diǎn)D此時(shí)向下運(yùn)動(dòng)

C.質(zhì)點(diǎn)B將比質(zhì)點(diǎn)C先回到平衡位置

D.質(zhì)點(diǎn)E的振幅為零

析與解：本題主要考查對波的傳播方向與波上某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的推理判斷，以及對波形圖的想象能力。由質(zhì)點(diǎn)F向下振動(dòng)可知，此列波從右向左傳播，質(zhì)點(diǎn)只會在平衡位置附近上下做簡諧振動(dòng)，不會隨著波向前傳播，同一列波上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振幅都是相等的。由此可以判斷，質(zhì)點(diǎn)D向下運(yùn)動(dòng)；此時(shí)質(zhì)點(diǎn)B向上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)C向下運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)C比B先回到平衡位置。在此列波上，所有振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振幅都是相等的。故選項(xiàng)A、B正確。

三、振動(dòng)和波高考風(fēng)向標(biāo)

振動(dòng)和波是每年高考的必考內(nèi)容，其中命題熱點(diǎn)是簡諧運(yùn)動(dòng)以及波的圖像。一道試題往往考查多個(gè)概念和規(guī)律。特別是通過波的圖像綜合考查對波的理解能力、推理能力和空間想象能力。

近幾年，高考對振動(dòng)和波的考查情況都非常相似，分析這些試題的特征，對高考復(fù)習(xí)有戰(zhàn)略性的指導(dǎo)作用。具體考查內(nèi)容有：①波的形成和波形圖的變遷；②波的傳播方向和質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的關(guān)系；③簡諧運(yùn)動(dòng)的周期及相關(guān)決定因素；④簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像；⑤單擺的振動(dòng)周期；⑥簡諧運(yùn)動(dòng)問題的綜合分析；⑦受迫振動(dòng)與共振的利用和防止；⑧多普勒效應(yīng)。

【例9】 （2017年天津卷）手持較長軟繩端點(diǎn)O，以周期T在豎直方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)繩上的其他質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)形成簡諧波，沿繩水平傳播，示意圖如圖10所示。繩上有另一質(zhì)點(diǎn)P，且O、P的平衡位置間距為L。當(dāng)t=0時(shí)，O位于最高點(diǎn)，P的位移恰好為零，速度方向豎直向上，下列判斷正確的是（ ）。

A.該簡諧波是縱波

B.該簡諧波的最大波長為2L

C.t=T8時(shí)，P在平衡位置上方

D.t=3T8時(shí)，P的速度方向豎直向上

析與解：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與傳播方向垂直，該簡諧波是橫波，A錯(cuò)誤；該簡諧波的最大波長為4L，B錯(cuò)誤；0～T8時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)P從平衡位置向上運(yùn)動(dòng)，C正確；T4～T2時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)P從最高點(diǎn)向平衡位置運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤。本題的正確答案為C。

析與解：（1）由圖可得周期T=2s，則波長λ=vT=2m，兩列波從波源傳播到點(diǎn)A（8，-2）的路程差Δr=r1-r2=10m-8m=2m。兩列波的振動(dòng)步調(diào)相反，從波源傳播到點(diǎn)B（4，1）的路程差為0，引起該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相互減弱，從波源傳播到點(diǎn)C（0，0.5）的路程差為1m=λ2

×1，該處質(zhì)點(diǎn)為振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)。

綜上可知，振動(dòng)與波動(dòng)問題是歷年高考的必考點(diǎn)，由于這部分內(nèi)容非常抽象，其中存在振動(dòng)和波動(dòng)兩種不同的運(yùn)動(dòng)形式，圖像法形象、直觀，但是其中包含豐富的物理信息，周期性與多解性造成學(xué)生在解題時(shí)往往不能正確完整地解決此類問題。

（責(zé)任編輯 易志毅）