高等數(shù)學(xué)中極限教學(xué)的幾點思考

袁德有

摘 要：極限思想和方法是解決微積分問題的基本工具，是微積分教學(xué)的重點和難點。文章從認(rèn)識極限方法產(chǎn)生的必然性、理解極限方法的實質(zhì)、了解極限方法在解決實際問題中的作用三個方面進(jìn)行探究，為學(xué)生學(xué)好極限提供了一條有益的途徑。

一、認(rèn)識極限方法產(chǎn)生的必然性

教師開始講解極限知識時，可在學(xué)生原有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上提出一些簡單問題引導(dǎo)學(xué)生思考。例如，關(guān)于矩形的面積A=a·b的問題，教師可用以下方式來教學(xué)：當(dāng)我們規(guī)定邊長是1的正方形的面積是1=1×1時，自然就能推出一邊長是2，另一邊長是3的矩形面積是2×3。由于邊長是有理數(shù)，可以按照一定的比例得出來，所以就有有理數(shù)邊長的矩形面積，應(yīng)該是a×b。如果邊長是無理數(shù)a，b時，怎么辦呢？經(jīng)過思考，學(xué)生會意識到要用邊長是有理數(shù)an、bn這種矩形面積An去逼近A，亦即要用an去逼近a，用bn去逼近b。然后再讓學(xué)生回憶圓的面積、圓錐體積產(chǎn)生的情況，使學(xué)生清楚，碰到這樣一些基本問題時，要解決它們，也應(yīng)當(dāng)運用極限方法。教師講到求解變速直線運動在某時刻的瞬時速度，以及求曲邊梯形面積等問題時，應(yīng)再繼續(xù)闡述極限方法產(chǎn)生的必然性。

二、理解極限方法的實質(zhì)

極限的方法，實質(zhì)上就是一種逼近的方法。例如，圓的面積通過用內(nèi)接正多邊形的面積An，當(dāng)n無限增大時，可用極限知識確定圓的面積；對于變速直線運動在[t0，t0+△t]上的平均速度—，當(dāng)△t→0時，可用極限知識來確定它在時刻t0時的瞬時速度等。從中可清楚地看出，為了確定某一個數(shù)量，由于我們不能一下子求得所期望的這個數(shù)，我們便采用一步步逼近目標(biāo)的辦法，即我們確定的不是這個數(shù)本身，而是它的某些近似值，是一連串愈來愈準(zhǔn)確的近似值。對這一連串的近似值進(jìn)行考察，直到把數(shù)量準(zhǔn)確地確定下來。

假若這一連串?dāng)?shù)x1，x2，x3，…，xn穩(wěn)定在某個常數(shù)a上，最重要的現(xiàn)象是這一連串?dāng)?shù)中的每一個數(shù)xn與a之差的絕對值（|x1-a|，|x2-a|，|x3-a|，…，|xn-a|，…）可以變得任意小，即{xn-a}是無窮小量，所以掌握并處理好無窮小量，便成為學(xué)好極限的關(guān)鍵。

an趨向于a的過程是一個無限接近的過程，亦即|an-a|趨于零的過程是一個無限變小的過程；但就這個過程的每一步，亦即對于每一個給定的n來講，接近或變小的過程都是有限的（特殊情況例外），通過ε的任意性，便從有限過渡到無限。通過這些問題的剖析，可使學(xué)生認(rèn)識到極限是一個描述變量在無限過程中變化趨勢的重要概念，同時也了解了極限方法是人們從有限中認(rèn)識無窮、從近似中認(rèn)識精確、從量變中認(rèn)識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法。

三、了解極限方法在解決實際問題中的作用

運用極限方法，常能抓住主要矛盾，抓住問題本質(zhì)，使要解決的問題簡單化。例如，考察函數(shù)f（x）=ex，我們已知：ex=1+x+—+…+—+0（xn），（x→0），這樣在x=0點附近，我們不僅可以通過多項式Pn（x）=1+x+—+…+—對函數(shù)ex的許多屬性進(jìn)行理論上的分析，而且可根據(jù)給定x=0點附近的每一個x值計算出準(zhǔn)確到任意程度的近似值，這樣，無論是對變量進(jìn)行理論上的分析，還是計算它的數(shù)值，運用極限方法，常可起到簡化處理問題的作用。

再如：證明有極限的數(shù)列是有界的。即存在常數(shù)M>0，使變量xn的絕對值都小于M，這樣一種屬性由關(guān)系式|xn|N時，皆有|xn-a|<1成立。因此，當(dāng)n>N時，|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|，取M=max{|x1|，|x2|，|x3|，…，|xn|，1+|a|}，則對所有的正整數(shù)n ，不等式|xn|

極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的特點，學(xué)生初學(xué)時難度較大，如何使其盡快地掌握極限方法這一重要數(shù)學(xué)工具，值得我們進(jìn)一步思考。

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