聚焦思維支點，形成“數學式”解題策略

王靈勇 姜瀅

摘? 要：低年級的數學教材看似簡單，只是加加減減，但是處處都體現了數學的思想。作為低年級的教師，在教學中要注重滲透數學的思想方法，并把思想方法融入解題的技巧中，讓學生在做中鞏固，想中深化。本文結合教學案例、數學思想方法闡述了“數學式”解題技巧在低段學生學習中的運用。

關鍵詞：數學式;思想方法;解題技巧

一、不同教學，不同效果

我們先一起來看一道例題：

2個物體比輕重較簡單，但是如果要進行3個以上的比較，學生就覺得比較困難。第一次接觸3個物體比輕重時，學生的錯誤率相當高，學生并不能完全理解題意。筆者采用了3種學法對學生進行了不同的學法指導，產生了3種不同的教學結果。

【純天然型】

教師不講解題的方法，只為學生讀題，然后請學生獨立完成。校對后正確率為25%。

【純理論型】

教師不僅對于題意進行了一定的講解，同時教會學生如何進行解題的方法——純理論。通過第一個蹺蹺板比較得出兔子比貓重，通過第二個蹺蹺板比較得出熊比兔子重。因為兔子比貓重、熊比兔子重，所以，熊最重，兔子最輕。學法指導完之后，再讓學生做類似的題目，校對后正確率上升為85.3%。

【檢驗期】

這種學法比純天然型的學法在正確率上有所提升。能夠肯定在一定程度上比純天然型的好，但是還有14.7%的學生并沒有做對，在這正確的85.3%的學生中，能做到舉一反三嗎？筆者把此題改為4樣物體比輕重。再對正確率進行測試，正確率明顯下降為21.9%。

是什么影響了學生的判斷呢？筆者對學生行了一次談話。有學生說：“老師，比的東西太多了，我們到后來不知道怎么比了。”也有的學生說：“老師，我比了前面的忘記后面的，后來越比越亂。”筆者正在一籌莫展的時候，有一位學生的方法給了我提示。他在用畫的方式給每一個動物做記號。第3種學法在我腦中一閃而過。

【畫比結合型】

一年級的學生很喜歡做記號。于是，筆者用畫比結合型向學生推廣這種方法。①比第一個蹺蹺板，在重的動物邊上畫↓，在輕的動物邊上畫↑。例題上兔子畫↓，貓畫↑。②比第二個蹺蹺板，同樣在重的動物邊上畫↓，在輕的動物邊上畫↑。例題上應該狗的邊上畫↓，兔子的邊上畫↑。③如果還有蹺蹺板以此類推。④看每一個動物邊上的尖頭，如果“↑↓”同時存在，說明它在比較的過程中有輕的時候也有重的時候，說明它是中間介質，那么淘汰。哪一個物體上只有“↑”就是最輕的，只有“↓”就是最重的。

用畫比結合型的學法第一次的正確率為92.7%，再進行適當的指導后，正確率達到了100%。

【檢驗期】

那么這種方法會不會出現第二種方法這樣不能舉一反三呢？我同樣加大了難度，由3個物體比輕重變為4個物體比輕重，這時的正確率為97.5%。再進行練習正確率基本上都在97%以上。

3次教學，3次不同的教法，學生的掌握情況卻天差地別。第3種方法，教師利用數形結合的數學思想方法，轉化成為一種簡化的解題技巧，學生非常樂意接受并愿意把這種方法變成自己的方法。教師把數學思想方法滲透于學生每天要面對的解題技巧中，學生長久地運用這種“數學式”解題技巧，把思想方法內化為自己的方法。既提高了思維含量，又讓正確率提升。

二、不同方法，相同目的

如果能把數學思想方法轉化成為“數學式”的解題技巧，對于學生而言是一件幸福的事。作為教師必須知道小學數學中到底運用了哪些數學思想方法。比如

（一）集合的思想方法

集合思想作為一種數學思想方法，在小學數學中有著廣泛的運用。在小學數學中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。

如用韋恩圖直觀地向學生滲透集合概念。利用“數”以及“圖形”間的關系向學生滲透集合之間的關系，如非零自然數集合里面包含了質數集合、合數集合和1;三角形集合里面包含了等腰三角形集合和普通三角形集合等。

（二）極限的思想方法

極限的思想方法是反應事物轉化的重要環節，也是從量變中認識質變的一種重要數學思想方法，了解它有重要意義。

小學數學教材中有許多處注意了極限思想的滲透。比如數與代數領域：教學“負數”“正數”“整數”“分數”“小數”“質數”“合數”等這些概念時，教師可通過列舉法讓學生體會到負數、正數、整數、分數、小數是永遠數不完的，個數有無限多個，讓學生初步感悟“無限”思想;在循環小數這一部分內容中，1 ÷ 7 = 0.142857142857…是一循環小數，它的循環節是永遠寫不完的，是無限的;在學習圓的面積時，通過把圓分割成長方形的過程讓學生體會到分得越多拼成的圖形越接近長方形，體會到極限的思想。

（三）化歸的思想方法

化歸思想是指將有待解決或未解決的問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，以求得解決。在小學的數學教材中有著廣泛的運用，比如化新為舊、化難為易、化繁為簡、化曲為直等。

比如：小數乘法化歸為整數乘法的方法進行計算;學習周長概念把圓面的周長轉化成線段的長;在梯形、三角形、圓形等平面圖形面積推導的過程中就用到了轉化成長方形面積的計算公式;學習組合圖形面積，學生明確組合圖形面積計算的基本思路是轉化為基本圖形的面積，然后運用加減原理計算;教學“有趣的測量”一課時，運用“曹沖稱象”的故事，將轉化思想滲透其中。

小學數學除滲透了上述各數學思想方法外，還滲透了歸納的思想方法、符號化的思想方法、統計的思想方法、數形結合的思想方法、轉化的思想方法、假設的思想方法、比較的思想方法、分類的思想方法、類比的思想方法等。

了解了小學數學中的思想方法，對解題技巧的指導起著決定性的作用。

三、低段學生心理特征分析

數學式的解題技巧是以數學思想方法為基石，依據學生的心理特點而設計的簡單、生動的解題技巧。教師要設計出這樣的解題技巧，除了要對數學思想方法全面了解外，對于學生的心理特點更是需要全面掌握。

現在我們一起來看一看低年級學生心理的具體表現（見表1）：

根據學生在學習數學過程中的具體表現決定了“數學式”的解題技巧必須要注意以下幾點：

（一）審題技能

由于學生的感知目的性較弱，審題技能成為學生解題技巧運用的前提和基礎。一年級的學生想當然地認為怎么做就怎么做，結果整題全錯。有些較簡單的題目，只是稍做改動，對于一年級的學生就變成難題。這主要是學生年齡特點決定他在感知事物時常常不對事物做精細的分析，容易忽略某些細節。因此，教師首先要培養學生的審題能力。教會學生最簡單的審題技能。我們可以用一讀二找三想四讀五解六查的方法，讓學生嘗試審題。

一讀。通讀。大致了解題意。

二找。找關鍵字或注意點。

三想。想一想，題目要我干什么？在平時我有見過這樣的題目嗎？一樣嗎？我是怎么做的？

四讀。精讀。進一步明確題意。

五解。解題。

六查。完成后檢查。

這個方法看似比較麻煩，一年級的學生不易掌握。但是只要每次做題時都進行反復強調，學生慢慢地就會習慣用這樣的方法進行審題。一旦學生進行了審題，就能正確地運用解題技巧。

（二）簡潔化

由于學生的注意力以無意注意為主，有意注意還不完善。長時間的做題會造成注意力分散，降低學習興趣。所以這就決定了解題的技巧必須要簡潔化。比如在教學《比輕重》時教師所采用的畫比結合型的“數學式”解題的方法，不僅簡單，而且也很有趣。再如在教學《100以內進位加法》時，我發現學生特別容易忘記進位。于是我給他們的解題法寶是：

36+8=44

1

1. 從個位加起

2. 6+8=14，個位寫4把進上去的1寫到3的下面。

再把1+3=4，答案就是44。

這樣的解題技巧不僅不會讓學生忘記進位，而且把整個計算的思考過程全部呈現，不僅有利于學生檢查自己的作業，同時也有利于教師檢查學生的掌握情況。學生很喜歡這種特別的方法，計算的正確率自己也就上升了。

（三）淺顯化

學生的記憶特點決定了解題的技巧必須要具有淺顯化的特點。學生一看，教師一指導，他就能理解為什么這樣做。對于低年級的學生而言，如果要學生靠抄、背才能掌握的或根本不理解的技巧再好也沒用。比如《比輕重》中的純理論型的解題方法指導，雖然學生也能理解，但是這種理解之后學生不能馬上轉化成自己的東西，而且不夠淺顯，不能讓學生一看就明白，理解。所以，這樣的解題技巧不會被學生接受與理解。

（四）目的化

由于低年級學生的目的性差，情境性強。所以，教師在進行解題的技巧指導時，解題的方法要直指題目的本質，對于本質外的東西盡量避免。比如：大小不同圓的圓周與其半徑的推算。舍棄了圓的大小及半徑的長度，抽象概括出一切圓的周長與半徑之比都是一個常數。再比如在教學一個數比另一個數多多少時，需要讓學生第一時間掌握是哪兩樣事物進行比較，而其他的東西變得并不那么重要。

（五）形象化

學生的思維需要具體形象事物的幫助，所以對較抽象的數學概念或題型較難理解和掌握。因此，教師在設計題型技巧的時候一定要形象，借助形象的方法來幫助學生理解抽象的題型。比如：小紅有2件上衣、3條褲子，如果一件上衣與一條褲子為一套，小紅一共可以搭配成幾套？只是說說思路不夠明顯，但是如果能畫一畫，那么學生馬上就可以算出有幾套。

四、巧妙指導 輕松解題

不是所有的思想方法都能把它轉化成為低年級學生的解題技巧。我們還需要根據學生的實際情況來進行分析與評價。只有學生愿意采用樂意接受，才能成為一種好的數學式的解題方法。筆者把低段學生較常見、學生也比較喜歡用的一些數學式的解題方法與大家一起分享。

（一）圖形結合法

華羅庚說過“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直覺，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”數形結合思想方法常體現在：以形助數、以數助形、數形互助等幾個方面。

數形結合的方法是數學中最常用的一種方法，特別到了高等數學的學習中，它是最有用的方法之一。到了小學這種方法的運用自然沒有高等數學那么深奧，但是這種方法依然是低年級運用的最多的方法之一。

（1）形到數。比如：一年級在教學10的認識時，教材從10個小動物，抽象出10個小圓點，再抽象到10根小棒，最后認識10。借助于學生的形（當然這里的形是指比較具體的事物）來數量化10的概念。再比如我還聽過朱樂平老師上的《求一個數的幾分之幾是多少》，他的教學設計是從一個正方形導入的。讓學生先找這個正方形的1/2、1/4是怎么表示的。再導入如果這個正方形表示60，那么這個正方形的1/2是多少。從形到數的教學讓學生輕松地學會了思考方法。（2）數至形。比如王瓊花老師曾上過一堂《連除的應用題》，他就是用正方形的分割來幫助學生理解連除的含義。在教學9+7的時候可采用畫圓點，用圓點的移動理解湊十法的好處。

在讓學生掌握數形結合這種方法的時候，往往是光從形或光從數的角度很難解決問題，或是從形或從數的角度能更好理解時，我們就會考慮用數形結合的方法來解決問題。

（二）有序思考法（做記號）

在教學低年級特別是一年級的內容時我們會發現特別考驗學生數的本領，比如統計，數一數有幾個小動物等等。如何來解決這樣的問題呢？有序思考就變得很重要。按照一定的順序，進行統計。低年級的有思考一般分為2種。

（1）數的有序思考。比如：10可以分成（ ? ?）和（ ? ?），這時就需要學生運用從大到小或從小到大的順序來排數字，最后組合而成。1和9;2和8;3和7;4和6;5和5。（2）形的有序思考。這種情況一般出現在統計類的題目中。這種有序方法是要學生掌握從左往右或是從右往左數，如何一個都不少地數出來呢？我采用過2種方法，一種是同一種類型的圖形都寫相同的數字，比如說，圓全部都寫1，正方形全部都寫2。但是這種方法實驗表明學生還是會出錯，因為有些孩子數到后來寫還在寫1，嘴里已忘記是幾了。所以后來我就采用了寫數字，數1 個寫1個。比如圓一共5個，那么他給圓寫上的數就是從1-5。這樣學生就不會錯了。還有比如4個圓點放在數位順序表上，它能組成幾個數？這類題型也是按一定的順序先全部十位，再依次放一個到個位上，就形成了數字。

（三）類比聯想法

類比聯想思想方法，是由一種事物想到另一種事物，即由此及彼的思想方法。類比聯想的特點，通過形象的彼此聯結而達到對事物的認識，它并不破壞原來的形象，而是把幾種表象形象聯結起來形成象鏈的形象思維方法，新穎性和創造性是它的根本特征。比如大家都知道一年級的人民幣單元對于孩子來說存在較大的困難，原因在于孩子們沒有生活的經驗，同時又要遇到進率的轉化與計算，可謂是難點重重。不過我在教學轉化的時候卻讓我遇到了很特別的解題方法。4元5角=（? ? ）角。他是這樣解的。元相當于十位，角相當于個位。現在都要把它化成角就是45角。這題的解法與寫數的方法相同。這是個很有特色也很有個性的創造，雖然這種方法有待考量，但是這個解題方法做題正確率是出奇的高，幾乎沒有人會錯。

當遇到兩樣事物他們的本質相同又非常相似的時候，我們可以考慮用類比聯想法把這兩樣事物聯系起來進行思考，在比較中找到突破口完成解題過程。

（四）一一對應

這種思維方法在低年級主要有兩種。（1）圖形的對應。常常有這樣的題：有5個圓，請你再畫圓比他多2個。這邊教學一般有兩種方法，一種是讓學生數好上面有幾個再算一算，然后畫上去。另一種是一一對應的畫，每一個圓對一個，多2個再在外面畫2個。事實表明用一一對應的方法使學生解題的出錯率比較低，而且也符合題目的本意。（2）數的對應。12-3=14-5=16-7=___，這類題目不僅與對應有關還滲透了函數的思想，往往與后序的學習有關。一般在遇到兩樣事物進行對應比較的時候，我們會想到采用一一對應的方法來思考一些問題。

（五）逆向思維

人們在處理、解決問題時，常常按照習慣的思維來進行思考，運用習慣的化歸方式去轉化解決問題。當從正面思考難以解決時，人們就轉向反面思考。值得注意的是，逆向思維的方法是建立在正向思維的基礎上，它離不開常規思維的悖逆。

正面問題 ?正難則反

我們在教學中逆向思維的練習是比較多的。比如（ ? ?）+6=12可以這樣思考12-6=？或是一個數先加上4，再減去2，再乘上3，最后得數是21，原來這個數是多少？這些題目都可以用逆向思維來解決問題。

當某一些題目用順向思維去解決時發現很難進行下去時，可以考慮用逆向思維法來思考一下。

（六）割補法

割補法在平面幾何圖形的學習中是比較常見的一種推導方法，也是一種思考方法。比如，在面積和體積教學中，都有著廣泛的應用。平行四邊形通過割補可轉化為長方形（或正方形），梯形通過割補可轉化為平行四邊形，圓通過割補可轉化為近似長方形等。在低年級最多的是數格子，把多出來的割下來補到空的地方去。

以上這幾種方法的嘗試，我發現低年級的學生比較容易接受與喜歡。當然還會有更多的數學思想方法我們可以把它變成適合低年級學生的解題方法。希望通過我們的努力能讓我們的學生學得更輕松，快樂！教師教得更輕松，自在！