可視化教學：讓學生數學學習真正發生

孫建華

摘? 要：數學的概念是抽象的，學生的數學思維過程是內隱的。在數學教學中，教師可以借鑒計算機中“可視化”技術，通過圖形、動作、聲音和量表等，讓抽象的問題具象化，讓內隱的思維顯性化。“可視化教學”不僅是一種教學行動與教學策略，更是一種教學理念與教學思想。

關鍵詞：可視化教學;數學學習;真正發生

從認知心理學上看，學生的數學學習是一項內隱的學習活動，學生的思維猶如“黑匣子”是不可見的。如果我們能借鑒計算機科學中的“可視化”技術，讓學生數學思維過程看得見，成為教師、學伴可以觀察、把握、觸摸的對象，那么學生的數學學習將會真正發生。在教學中，將數學的抽象性問題、將學生看不見的思維過程、將不可言說的數學思想方法等清晰地呈現出來，有助于培育學生的數學核心素養。

一、圖形表征：讓抽象問題具象化

數學的問題表述通常是抽象的，是用文字進行描述的。在數學教學中，教師可以引導學生用圖形表征、用圖形示意。這里的圖形概念是廣義上的，既包括幾何圖形，也包括表格、記錄單等。只有借助圖形，才能將抽象的數量問題具象化，讓學生對數學知識的本質獲得直觀、簡潔、清晰的理解。同時，畫圖也能敞亮學生的思維過程，讓學生的思維軌跡變得清晰可循。畫圖是在客觀問題與主觀心智表達之間架設一座橋梁，既能讓隱藏在文字背后的關系、本質、思想、方法顯現出來，又能讓我們看到學生的思維過程。

例如，教學蘇教版小學數學三年級下冊《兩位數乘兩位數》，習題中出現了“連桶稱油”問題：一桶油，原來連桶稱共重30千克，倒出一半的油后，連桶稱共有16千克。原來桶和油各有多少千克？對于這樣的問題，學生在解決問題時往往只是“跟著感覺走”，列出的算式五花八門。他們既說不清數量關系，更不能主動對稱油前后的數量進行對比，思考什么數量發生了變化，什么數量沒有發生變化。基于此，筆者在教學中引導學生畫圖，引導學生從畫出的圖中分析數量關系，從而解決問題。在這個過程中，為了促進學生“圖”“文”之間的心理轉換，筆者鼓勵學生“看”圖“想”事、由圖“說”理，指導學生畫圖、讀圖、用圖。通過圖構（根據題意畫圖）、圖導（根據圖形思考），讓學生直觀感覺到“從原來的桶與油到現在的桶與油的變化，少的就是油的質量”，從而形成解決問題的策略。

法國數學家笛卡兒說：“沒有任何東西會比幾何圖形更能簡單直接地引入腦海，用圖形表達事物是很有幫助的。”在數學教學中，“圖形”是學生思維的腳手架，只有引導學生進行圖構，才能將抽象的代數問題幾何化，將復雜的問題簡易化，才能讓圖形發揮好積極的導向作用，形成學生良好的圖感。如此，學生才能形成用圖形解決數學問題的意識和習慣。

二、出聲思維：讓數學思維可見化

思維可視性策略既包括“可視性的思維”，也包括“出聲性的思維”。我們常說，“語言是思維的外化”，借助語言，可以將自我內隱的思維展現出來。在數學教學中，教師要給學生創造更多的表達時空，鼓勵學生運用“數學的語言”進行表達。一方面，通過語言，教師能夠精準把脈學生的思維動態，了解學生的思維方向、思維水平;另一方面，學生的內隱思維通過有聲化語言得以溝通、碰撞，在對話、溝通、質疑、答辯的過程中得到發展。

例如，教學蘇教版五年級下冊《圓的認識》，筆者設計“找圓心”的微活動，讓學生進行數學探究。有學生認為，可以通過對折，形成兩條直徑，這兩條直徑的交點就是圓的圓心;有學生立即反駁，認為黑板上的圓不能對折，這種方法有局限性。面對學生的質疑，學生之間展開了言語交流，形成了基于學生不同數學思維的復調表達。有學生提出，可以“過圓周上任意點畫一條直線（切線），然后畫這條直線的平行線，但要過對面的圓周上的一點;有學生提出，可以“在圓周上任意畫一條直線（圓的切線），然后過這條直線與圓的交點（切點）作這條直線的垂線”;還有學生提出，“在圓周上選一點，用直尺從這一點開始移動，圓上最長的線段就是圓的直徑”……透過學生真切的言語表達，不難發現，每一種語言言說的背后，都蘊含著學生的思維假設，都蘊含著學生對數學問題解決的策略。通過學生有聲的語言表達，我們能夠觸摸到學生的思維跳動的脈搏。

出聲思維，將學生思維可視化，學生在話語中相互傾聽、相互碰撞。由此構筑了相互傾聽、應答的“潤澤的教室”。當然，有時學生思維表達存在一定漏洞、盲區。如果教師能依循學生話語，理性跟進、捕捉學生思維動態，就能導引學生思維向縱深發展。

三、動作展示：讓研究路徑顯性化

對于小學生而言，如果我們在教學中將抽象、靜態的數學問題設計成學生有形、動態的直觀動作，就能讓學生思維得到展示。在數學教學中，教師要引導學生“做數學”，在觀察、操作、實驗、演示等具身性活動中，讓學生數學研究路徑顯性化。教師通過學生肢體、動作表達，能夠揣摩到學生思維路徑、方向。可以這樣說，學生動作展示是學生數學思維表達的有效載體。

例如，教學蘇教版三年級上冊的《長方形和正方形的周長》，其中有一類問題是“拼圖形求周長”，對于這一類問題，學生總是容易發生錯誤。其根本原因在于學生不清楚少了幾條邊，這些少了的邊哪里去了，為什么會少這些邊，等等。基于此，筆者在教學中，引導學生進行動作展示，讓學生將長方形剪下來，讓這些圖形動起來。在動的過程中，讓學生感受、體驗、發現、思考問題。首先，讓學生有序地拼一拼。有學生將兩個完全相同的長方形的長邊拼在一起;有學生將兩個完全相同的長方形的寬邊拼在一起。其次，讓學生用筆描一描。在描的過程中，學生能深刻地體驗到，長邊拼合在一起就少了兩條長邊，寬邊拼合在一起就少了兩條寬邊。再次，讓學生用筆算一算。通過拼合、描紅的操作展示，學生形成了這樣的算法：拼合圖形周長=原來一個長方形周長×2-拼掉的長或寬。在這“一拼”“一描”“一算”的動作展示中，盡顯學生深刻的數學思維，學生的數學研究路徑也得以展示。

當代具身認知理論強調身體的感覺和運動系統對思維方式的塑造作用。學生的數學思維往往是伴隨著具體的數學活動而展開的。正是在動手做、動手操作、演示等的探究活動中，我們才可能可視化地觀察到學生的思維路徑、方向、狀態。事實上，直觀的操作有助于學生思維的形成，同時思維的形成又能反哺學生直觀的操作。從這個意義上說，動作與思維是相輔相成、相互促進的關系。可視化教學就是要形成學生“做思共生”的學習狀態。

四、反思評價，讓結構知識量表化

人的大腦對“量表”非常敏感，其直觀性、結構性、嚴密性和概括性能夠有效地提升思維加工的效能，使得這些數學知識、概念更易于被理解、被評價、被遷移。因此，當學生學完了某一個數學知識點后，教師要引導學生對所學的數學知識、概念、關系進行提煉，建構可視化的數學模型，形成量表化的數學知識、數學概念的關系網。這樣，有助于增強學生對數學概念的運用能力。

以《因數和倍數》（蘇教版小學數學五年級下冊）單元教學為例，本單元是小學階段研究數論的一個單元。許多抽象的概念存在著錯綜復雜的關系，同時概念的深刻內涵和廣闊外延，常常需要教師引領學生不斷進行反思評價。通過反思評價，讓數學概念串聯成“串”，結構成“網”，集約成“體”。比如，對于兩個數互質，在學生學完概念后，我們引導學生進行反思概括，形成了三種不同的表達：其一，兩個數只有公因數1;其二，兩個數的最大公因數是1;其三，兩個數沒有公有的質因數。對于“互質數”的情況分類，筆者用一個量表，將之分為五種情況，并且在每一種情況里面都嵌入例子。第一種情況：1和任何自然數互質;第二種情況：兩個連續的自然數互質;第三種情況：兩個連續的奇數互質;第四種情況：兩個不相同的素數互質;第五種情況：2的n次方和任何一個奇數互質。由于有了精準化的概念內涵界定和精細化的概念外延分類，學生對“互質數學”的概念有了深刻的把握。在運用短除法求幾個數的最大公因數和最小公倍數、在判定一個分數是否是最簡分數時，就能左右逢源、游刃有余。

古希臘智者學派的代表人物普羅塔戈拉說：“頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一把需要被點燃的火把。”可視化策略，是學生有效開展數學探究的方式。數學學習，從點狀概念開始，逐步向線型、網狀、系統狀的思維量表過渡，有助于培育學生問題分析、推理等能力。

從可視化的視角進行數學教學，就是要充分發揮圖形、動作、語言、圖標等外在的形象化表征在教學中的作用，將數學的抽象問題、學生的思維過程動態地展現出來，從而幫助學生更好地理解、記憶和應用數學知識，引領學生的思維向縱深發展。可視化教學不僅僅是一種教學行動與教學策略，更是一種教學理念與教學思想。