數形結合，巧解數學幾何題的“殺手锏”

許瑞豐

摘? 要：在圖形與幾何領域，我們都會遇到題目給予的信息較少的幾何題。為了提高學生的解題能力，豐富他們的數學思維，在此背景下，筆者以蘇教版小學數學教材中“長方形和正方形的面積”為例，通過基礎鋪墊、難題巧解、拓展延伸等途徑，促使學生敢于面對難題挑戰，并在解題中獲得“四基”。

關鍵詞：數形結合;幾何題

一次，筆者在復習蘇教版六年級總復習“長方形和正方形的面積”一課后，學生掌握了面積的概念和長方形、正方形的面積計算。但是在鞏固作業環節，他們遇到了一道綜合性的面積計算題目，讀題后大都感覺題目中直接給予的數學信息太少了，不知道長方形的長和寬，卻要求計算原來長方形的面積，因此他們感覺困難重重。這道題目是這樣的：如圖1，長方形被分割成5個正方形，已知每個大正方形的面積比每個小正方形的面積大5平方厘米，原來長方形的面積是（? ?）平方厘米。

一、案例回顧

為了幫助學生能利用少量的數學信息進行有效轉化，筆者在全班交流上設計了基礎鋪墊、難題巧解、舉一反三這三個環節，幫助學生利用數形結合的數學思想方法轉化題目中的有效信息。

1. 環節一：基礎鋪墊，回憶面積計算公式

為了幫助學生喚醒三年級學習過的長方形和正方形的面積以及分數知識，筆者先通過一道簡單的幾何題目導入，不僅幫助學生復習舊知，還增強了學生解決數學問題的信心。

出示題目：如圖2，三個大小相同的長方形拼在一起，組成一個大長方形，把第二個長方形平均分成2份，再把第三個長方形平均分成3份，那么圖中陰影部分的面積是大長方形面積的（? ? ）。

師：同學們，請你先讀一讀題目，想一想怎么解決這道題目。

生1：我先假設每個長方形的面積是1，那么根據題目意思，第二行陰影部分的面積是1/2，第三行陰影部分的面積是2/3，所以陰影部分的面積是1/2+2/3=7/6，大長方形的面積是3，所以陰影部分的面積是大長方形面積的7/6÷3=7/18。

生2：我的計算過程中都是整數，我假設第三行中每個小長方形面積是2，那么每行的長方形面積是6，因為陰影部分的面積是6÷2+6÷3×2=7，整個大長方形的面積是6×3=18，所以陰影部分的面積是大長方形面積的7÷18=7/18。

生3：我是把第三行中每個小長方形的面積看作“1”，那么每行長方形的面積是3，所以第二行中陰影部分長方形的面積是1.5，陰影部分的面積是大長方形面積的（2+1.5）÷9=7/18。

師：剛才大家想出了很多方法，雖然題目要我們計算圖形的面積，但是我們巧妙地運用假設法計算出了各部分圖形面積之間的關系。

在這個教學片段中，教師出示了一道圖文結合的幾何題，看似是要知道長方形和陰影部分的面積是多少，其實我們只要用假設法找到它們之間的數量關系即可，這是一種與以往解題時不一樣的新方法。這種方法不僅彌補了題目信息不足的現狀，還為后續解決難題拓寬了解題思路。

2. 環節二：難題巧解，尋找多種解題思路

數學知識的獲得是循序漸進、螺旋上升的，學生解決復雜的數學題目的能力需要建立在解決基礎的數學題目時所積累的數學活動經驗和思想方法。此時，學生已經具有了用假設法解決圖形面積的相關經驗，筆者在此基礎上引導學生用畫圖、湊數、解方程的方法解決相關問題。

出示題目：如圖3，長方形被分割成5個正方形，已知每個大正方形的面積比每個小正方形的面積大5平方厘米，原來長方形的面積是（? ? ）平方厘米。

師：同學們，我們現在再回過來看這道題目，你能想辦法解決它嗎？

生1：我假設一個小正方形的邊長是“1”，小正方形的面積是“1”，那么兩個大正方形的邊長是“3”，所以一個大正方形的邊長是“1.5”，一個大正方形的面積是“2.25”。因為已知每個大正方形的面積比每個小正方形的面積大5平方厘米，也就是說1.25個小正方形的面積是5平方厘米。那我們就計算出了一個小正方形的面積是5÷1.25=4（平方厘米），一個大長方形的面積是9平方厘米，所以原來長方形的面積是4×3+9×2=30（平方厘米）。

生2：我是用畫圖的方法解決的，我把小正方形移到大正方形里，我發現大正方形里多出5個相同的小小正方形，因為每個大正方形的面積比每個小正方形的面積大5平方厘米，所以每個小小正方形的面積是1平方厘米，每個小正方形的面積是4平方厘米，每個大正方形的面積是9平方厘米，所以原來長方形的面積是30平方厘米。

生3：我是用湊數的方法來解決的，因為2個大正方形的面積等于3個小正方形的面積，每個大正方形的面積比每個小正方形的面積大5平方厘米，我先假設大正方形的面積是6平方厘米，小正方形的面積是1平方厘米，不符合……假設大正方形的面積是9平方厘米，小正方形的面積是6平方厘米，這時2×9=3×6，所以成立了。

生4：我是用方程來解決的，設小正方形的邊長是x，那么大正方形的邊長是1.5x，所以（1.5x）2-x2=5，所以x2=8，原來長方形的面積是3x2+2×（1.5x）2=30（平方厘米）。

在這個教學的核心片段中，學生依靠前面的知識鋪墊和直觀的圖形，思維瞬間被打開，他們從不同角度解決這個數學問題，發散了他們的數學思維，引導他們學會多角度的思考和解決問題，提高他們的解題技巧和正確率。

3. 環節三：拓展提升，學會分類解決問題

學生解決數學開放題，不僅促進學生鞏固學到新知識，還引導他們全面地看待數學問題，學會融會貫通地解決數學問題。為了進一步幫助學生研究這道題目，筆者出示題目時只保留文字，這就給這道題目留下了更大的解決空間。

師：同學們，我們繼續來研究這道題目，如果題目變成：把長方形分成5個正方形，每個大正方形面積比每個小正方形大5平方厘米，原來長方形面積是多少？動腦筋想一想，你覺得有哪幾種可能。（頓時安靜，學生陷入深思）

生：我覺得這道題目要分類討論，5個正方形就有三種可能：一大四小;二大三小;三大二小;而且在排列上也有兩種可能：排成一行或者上下兩行。

師：思考得真全面，現在請大家先獨立解決，再在小組中交流你們的做法。

生：如果4個小正方形排成一行，設小正方形的邊長為a，大正方形的邊長為4a，列方程（4a）2-a2=5，a2=1/3，所以原來長方形的面積是四個小正方形的面積加上一個大正方形的面積等于20/3平方厘米……

《義務教育小學數學新課標》中強調“不同的人在數學上有不同的發展”，因此為了滿足學有余力的學生，讓他們能“跳一跳”摘到更多的數學果子，于是筆者設計了最后一道具有挑戰性的開放題，為他們提供挑戰自我的機會，熟練掌握更多的解題技巧，提高自我的解題能力。

二、教學反思

通過這一道題引出的一組題目的教學，我們看到學生的學習狀態由原來的恐懼、害怕到最后的敢于挑戰，這實在是令我們老師開心的事。由此，筆者也想到我們在教學中要先設計具有挑戰性的學習任務，把零散的知識塊狀化，再根據學生的現場學習反饋做出合理的調整，最終設計出適合該年齡段學生學習的練習。

1. 學生學習要遵循他們的客觀規律

每個學生獲得數學知識的過程都帶著自己獨有的記憶和烙印，教師為了幫助更多學生能快速有效地獲得教材中必須掌握的數學知識時，首先應當遵循學生的數學學習和認知規律，在生理和心理都成熟的時候教給他們適合且需要的時候教學;其次是教師在教學前要先有孕伏，在教學時深入透徹，在教學后要拓展延伸，幫助學生全方位地了解這些知識，努力做到教學無死角。就如本節課中由學生遇到的難題引發的一節數學課，看似教師在這節課上只講了一道數學題，其實教師從最初的回憶面積公式、方法鋪墊到思考難題，一直到最后的知識方法拓展，充分考慮了學生的學習水平，努力讓全班學生都有收獲。

2. 練習題不僅要“雙基”，更要“四基”

無論是數學教學還是數學練習題，教師在備課時都要充分考慮題目的思維含量和難度，確保學生在思考和解題不僅能獲得必備的基本知識和基本技能，還能收獲基本活動經驗和基本數學思想方法。就如本節課中的這道數學題，當學生經歷解題和討論過程后，他們就能掌握這類題目的做法，還需要提煉出解決這種問題可以用假設法、畫圖、列方程、分類討論等策略，感悟解題中數形結合帶給我們的便捷。

總之，當我們在教學題目給予數學信息較少的幾何題時，不妨教給學生用數形結合的方法把題目中的信息進行轉化，尋找到條件與問題之間的突破口。