柔性關節機械臂不確定性及靈敏度分析

2018-01-04 05:33:52李園園陳國平孫東陽

振動、測試與診斷 2017年6期

李園園，陳國平，孫東陽，高勇, 王成

(1.濟南大學機械工程學院濟南，250022)(2.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室南京，210016)(3.重慶大學航空航天學院重慶，400044)

柔性關節機械臂不確定性及靈敏度分析

李園園1，陳國平2，孫東陽3，高勇2, 王成1

(1.濟南大學機械工程學院濟南，250022)(2.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室南京，210016)(3.重慶大學航空航天學院重慶，400044)

為了得到整個時間域內參數的不確定性對系統響應的影響，以雙連桿柔性關節機械臂為研究對象，通過比較響應的95%置信區域上下邊界之間以及每組置信區域之間的距離分析了具有隨機不確定性、認知不確定性以及混合不確定性的參數對系統響應的影響。其中，概率論方法和區間方法分別用來處理參數的隨機和認知不確定性，而參數的混合不確定性采用改進的雙層循環蒙特卡羅方法處理。仿真結果表明參數的隨機不確定性包含于混合不確定性分析中，因此考慮參數的混合不確定性能更具體地分析參數的不確定性對系統響應的影響，從而提高系統的可靠性設計。另外，該不確定性分析方法為分析參數在整個時域內對系統響應的靈敏度提供了理論依據。

柔性關節機械臂； 95%置信區域；不確定性；靈敏度

引言

柔性關節機械臂以其速度快、負載/自重比大以及對有人環境或復雜環境的適應性強而得到很快的發展。目前，柔性關節模型基本上都是在Spong[1]模型的基礎上發展起來的。該模型將關節柔性等效為1根線性彈簧，從而得到全局線性反饋的剛柔關節機器人模型。文獻[2-5]對柔性關節機械臂做了進一步的研究，綜合考慮各種因素，提出了比Spong模型更精確的建模方法，建立了全面的柔性關節動力學模型。這些柔性關節模型都是建立在確定性參數基礎上的，即把建模過程中的各種參數都作為確定性數據進行處理。實際上，柔性關節的簡化建模中存在諸多不確定性的因素(如關節等效彈簧剛度、電機轉子轉動慣量等參數的不確定性)，從而使傳統的確定性模型得到的系統響應與試驗結果之間存在很大差距。因此，柔性關節機械臂建模中考慮參數的不確定性，并分析這些不確定性參數對響應的影響很有必要。

通常意義上，不確定性分為隨機不確定性和認知不確定性兩大類[6]。前者是結構或構件的固有特性，可以被量化但是無法避免或人為消除；后者是由認知上的不足引起的，可以通過完善認知過程得到減小甚至消除。傳統的概率論方法[7]已被廣泛應用于處理參數的隨機不確定性，而模糊集理論[8]、區間分析[9]、證據理論[10]和可能性理論[11]等已被應用于研究參數的認知不確定性。有文獻表明，在分析不確定性參數對系統響應的影響時通常有兩種方法：a.求響應均值和標準差，以標準差來評判不確定性參數對系統響應的影響[12-13]；b.由響應的概率分布求置信區域，以置信區域來評判不確定性參數對系統響應的影響[14]。二十多年來，概率論方法已經廣泛應用于結構動力學的不確定性建模中[15-16]，多體系統的不確定性研究也有了一定的發展，主要集中于車輛工程[12, 17-19]、多剛體系統[14]以及柔性多體系統[13, 20]中。然而，這些有關多體系統不確定性的研究基本上都只考慮了參數的隨機不確定性，對于實際工程結構中存在的認知不確定性則鮮少考慮，或只在一些涉及多體系統的可靠性研究中考慮了參數的認知不確定性[21]，甚至提出了區間變量和隨機變量同時存在時系統的可靠性分析方法。Sun等[22]在多體系統的磨損預測中針對參數存在的混合不確定性提出了改進的雙層循環蒙特卡羅法，從整個時域內分析了不確定性參數對磨損性能的影響，提高了系統的可靠性設計。

機械系統設計時進行靈敏度分析，可以快速識別影響系統性能的關鍵參數。當考慮參數的統計分散性時，研究人員提出了不同的系統靈敏度計算方法，如基于均值1階Esscher′s近似的可靠性靈敏度分析[23]。然而不管哪種計算方法，求得的靈敏度都只是特定時刻的結構性能參數對結構設計參數變化的敏感性。而在分析整個時域內參數的不確定性對系統響應的靈敏度時，這些方法存在一定的局限性。

鑒于此，筆者針對柔性關節機械臂的簡化建模中存在的參數不確定性，通過求響應的95%置信區域，在整個時域內分析了參數分別為隨機不確定性、認知不確定性以及混合不確定性時對系統響應的影響，并在此基礎上分析了具有不確定性的參數在整個時域內對系統響應的靈敏度。

1 柔性機械臂動力學建模

雙連桿柔性關節機械臂簡化模型如圖1所示，其中關節柔性按照Spong模型等效為1根扭簧，連桿等效為剛性桿。柔性關節的電機轉子受到驅動力矩的作用而運動，通過扭簧帶動機械臂旋轉。模型的相關參數如下：Ki為i關節的等效扭簧剛度；Jmi為i電機轉子的轉動慣量；Ji為連桿i轉動慣量；Li為連桿i長度；di為關節i到連桿i質心的距離；mi為連桿i質量；θi為連桿i轉動角度；φmi,φi分別為i電機經過減速器前后的轉動角度，且φmi=Niφi；Ni為i關節減速比；g為重力加速度；τi為i連桿外部力矩；τmi為i關節驅動力矩(i=1,2)。

圖1 雙連桿柔性關節機械臂模型圖Fig.1 Model diagram of double link flexible joint manipulator

該系統的總動能由4部分構成：連桿1動能；連桿2動能；電機轉子1動能；電機轉子2動能。總動能的具體表達式為

(1)

該系統的總勢能由關節等效扭簧的彈性勢能和連桿的重力勢能構成，總勢能的具體表達式為

m1gd1sinθ1+m2g[L1sinθ1+d2sin(θ1+θ2)]

(2)

將總動能和總勢能代入Lagrange方程，同時考慮到電機轉子的質量和轉動慣量與連桿的質量和轉動慣量相比小很多，整理可得柔性關節機械臂動力學方程為

(3)

其中：連桿1和連桿2的外部力矩τi假設均為0；2個關節的驅動力矩τmi分別為0.1×(1-t)和0.05×(1-t)，t為機械臂運動時間；M11為等效到連桿1轉角上的總轉動慣量；M12，M21為連桿1轉角與連桿2轉角耦合的轉動慣量；Q1，Q2為離心慣性力和科式慣性力；G1,G2為重力產生的外部扭矩。

參數的具體表達式為

上述各參數的確定性數值如表1所示。

表1機械臂確定性參數性能

Tab.1Performanceofdeterministicparameterofmanipulator

符號數值Ki/(N·m)·rad-110Jmi/(kg·m2)10-7Ji/(kg·m2)0．0014Li/m0．3di/m0．15mi/kg0．1838Ni160

運用四階龍格庫塔法求解方程(3),得到連桿1和連桿2的轉角θ1,θ2、減速后電機轉子的轉動角度φ1,φ2分別隨時間的變化如圖2所示。

圖2 連桿及電機轉子轉角的確定性解Fig.2 Definite solution of rotor angle of connecting rod and motor

上述解是在各參數精確確定時求得的，而在實際工程結構中，由于加工精度問題、試驗條件限制和復雜環境的影響，這些輸入參數都存在不確定性。因此，有必要分析參數的不確定性對系統動力學響應的影響。

2 不確定性分析

2.1 隨機不確定性分析

有一部分不確定性參數可以通過試驗找出其概率分布，這種參數的不確定性稱為隨機不確定性。筆者選用傳統概率方法來處理隨機不確定性，主要步驟如下。

1) 選擇處理隨機不確定性的抽樣數量N。為了準確描述系統響應的分布，一般要求抽樣數量N比較大。

2) 從每一個隨機不確定性分布中選擇一個樣本。

3) 采用完整的抽樣序列計算系統響應。

4) 判斷隨機不確定性的N個樣本點是否已經完成計算系統響應，如果否，回到步驟3；如果是，繼續步驟5。

5) 計算響應的均值和方差。

6) 求置信區域邊界，其中置信區域的計算有兩種方法： a.通過均值μ和標準差σ，以[μ-2σ,μ+2σ]作為置信區域；b.直接由響應求概率分布，再以置信度從2.5%到97.5%的響應區域為95%置信區域。

7) 將均值和置信區域邊界畫圖顯示，以分析隨機不確定性參數對系統響應的影響。

2.2 認知不確定性分析

對于認知不確定性問題，通常采用非概率方法來處理，比如模糊集理論、區間分析、證據理論及可能性理論等。筆者選用區間分析方法來處理認知不確定性，其步驟1～4與傳統概率方法相似，只是抽樣時是對認知不確定性參數進行抽樣，考慮到計算效率，筆者選用拉丁超立方抽樣；步驟5按照系統響應求邊界；步驟6將響應邊界畫圖顯示，以分析認知不確定性參數對系統響應的影響。

2.3 混合不確定性分析

當隨機不確定性和認知不確定性參數同時存在時，概率邊界法、2階概率論方法和Demspster-Shafer證據理論常用來處理這種混合不確定性，而對于輸出為時間響應的系統來說，上述方法存在局限性。筆者采用文獻[23]提出的改進的雙層循環蒙特卡羅法進行混合不確定性分析，具體步驟如下。

1) 選擇處理認知和隨機不確定性的樣本點數量M和N。其中，為了能比較準確的描述系統響應分布，一般要求抽樣數量N比較大，而M的抽樣數量相對比較少。

2) 從參數的認知不確定性區間中選擇一個樣本。

3) 在給定步驟2中樣本點的條件下，再依據隨機不確定性參數的均值和方差選擇一組含N個樣本點的樣本。

4) 采用完整的抽樣序列計算系統響應。

5) 判斷具有隨機不確定性參數的N個樣本點是否已經完成計算系統響應。如果否，回到步驟3；如果是，則繼續步驟6。

6) 基于隨機不確定性計算得到的N個系統響應，求各時刻系統響應的95%置信區間。所有時刻置信區間的上下邊界即為服從認知不確定性參數在取某一值時服從隨機不確定性參數的95%置信區域上下邊界。

7) 判斷具有認知不確定性參數的M個樣本點是否已經完成計算系統響應。如果否，回到步驟2；如果是，則繼續步驟8。

8) 將M對服從隨機不確定性參數的響應95%置信區域上下邊界畫在同一張圖上，以顯示具有一定置信度的系統響應的全體。找出置信區域中的最大上邊界和最小下邊界，則由最大上邊界和最小下邊界圍成的區域即為考慮具有隨機和認知不確定性參數的響應95%置信區域，同時也顯示了參數的混合不確定性對系統響應的影響。

3 柔性關節機械臂不確定性和靈敏度分析

假設該雙連桿柔性關節機械臂在微重力條件工作，電機轉子的轉動慣量Jm和柔性關節的等效扭簧剛度K存在不確定性。筆者針對參數具有隨機不確定性、認知不確定性以及混合不確定性3種情況，對該雙連桿柔性關節機械臂的連桿轉角和減速后電機轉子轉角進行不確定性分析。對于參數為隨機不確定性的情況，認為參數Jm和K都服從正態分布；對于參數為認知不確定性的情況，認為參數Jm和K都為區間數；而混合不確定性則是上述兩種情況的組合。3種不確定性情況下的參數性能如表2、表3所示。

表2隨機和認知不確定性參數性能

Tab.2Performanceofrandomandcognitiveuncertaintyparameterofmanipulator

參數隨機不確定性認知不確定性K1K2N(10，12)N(10，12)[8，12][8，12]Jm1N(1×10-7，(1×10-8)2)[0．8×10-7，1．2×10-7]Jm2N(1×10-7，(1×10-8)2)[0．8×10-7，1．2×10-7]

表3混合不確定性參數性能

Tab.3Performanceofhybriduncertaintyparameterofmanipulator

參數混合不確定性1混合不確定性2K1K2N(10，12)N(10，12)[8，12][8，12]Jm1[0．8×10-7，1．2×10-7]N(1×10-7，(1×10-8)2)Jm2[0．8×10-7，1．2×10-7]N(1×10-7，(1×10-8)2)

3.1 參數為隨機不確定性

當參數Jm和K都滿足隨機不確定性時，相應的參數屬性如表2所示。采用傳統的蒙特卡羅抽樣技術分別對其抽樣500次。根據2.1節列出的分析隨機不確定性參數對系統響應的影響步驟，Jm和K分別作為隨機不確定性參數時連桿轉角和減速后電機轉子轉角的均值、標準值及兩種方法的置信區域邊界如圖3、圖4所示。其中：Theta1，Theta2表示連桿的轉動角度θi；Phi1，Phi2表示減速后電機轉子轉角φi。

圖3 考慮電機轉子轉動慣量的隨機不確定性時連桿和電機轉子轉角的均值、標準值及兩種方法的置信區域邊界Fig.3 Mean value, standard value and confidence region boundary from two methods for the rotor angle of connecting rod and motor rotor considering the random uncertainty of rotor's rotation inertia

圖4 考慮關節等效扭簧剛度的隨機不確定性時連桿和電機轉子轉角的均值、標準值及兩種方法的置信區域邊界Fig.4 Mean value, standard value and confidence region boundary from two methods for the rotor angle of connecting rod and motor rotor considering the random uncertainty of joint equivalent torsion spring stiffness

對比圖3(a)和圖4可以發現，圖3(a)中響應的95%置信區域比圖4要寬，即在0～2s內的任意時刻由關節等效扭簧剛度的不確定性引起的電機轉子和連桿轉角的改變量比電機轉子轉動慣量的不確定性要小，說明電機轉子轉動慣量的隨機不確定性對連桿轉角和電機轉子轉角的影響比關節等效扭簧剛度的不確定性影響要大。所以，在實際工程中可以不考慮關節等效扭簧剛度的不確定性影響，而應該盡量建立更精確的電機轉子模型，以減小其不確定性對響應結果的影響。同時，上述現象也說明了在系統響應的95%置信區域內電機轉子的轉動慣量在整個時間域內對連桿和電機轉子轉角的靈敏度較大。另外，由圖3(b)的局部放大圖可以看出，響應的均值曲線和標準值曲線幾乎重合，這說明在后續的計算中，參數在均值狀態下的響應輸出可以作為系統輸出的標準值。由μ-2σ和μ+2σ構成的置信區域邊界(兩倍標準差邊界)以及由系統響應的概率分布求得的95%置信區域邊界幾乎重合，表明在量化不確定性參數對系統響應的影響時這兩種方法是等效的。

3.2 參數為認知不確定性

參數Jm和K的認知不確定性參數屬性如表2所示，當給定參數的區間時，得到的響應也應該是一個區間。這里采用拉丁超立方抽樣方法分別抽樣400次，并將樣本點依次代入動力學方程，求出響應的最大值和最小值。此時，連桿轉角和減速后電機轉子轉角的標準值及響應邊界如圖5、圖6所示。

圖5 考慮電機轉子轉動慣量的認知不確定性時連桿和電機轉子轉角的標準值及邊界Fig.5 Standard value and boundary of the rotor angle of connecting rod and motor rotor considering the cognitive uncertainty of rotor's rotation inertia

圖6 考慮關節等效扭簧剛度的認知不確定性時連桿和電機轉子轉角的標準值及邊界Fig.6 Standard value and boundary of the rotor angle of connecting rod and motor rotor considering the cognitive uncertainty of joint equivalent torsion spring stiffness

對比圖5與圖6可以看出，當參數具有認知不確定性特性時，圖5中的響應區域比圖6要寬，表明關節等效扭簧剛度K的認知不確定性在任意時刻對連桿轉角和電機轉子轉角的影響比電機轉子轉動慣量Jm要小，或者說電機轉子的轉動慣量在整個時間域內對響應的靈敏度要大。此結論與考慮參數具有隨機不確定性特性時相同，這說明無論存在哪種不確定性，參數對系統響應的敏感程度是確定的。

3.3 參數為混合不確定性

參數Jm和K的混合不確定性分析分兩種情況進行討論，如表3所示。當混合不確定性1存在時，參數K具有隨機不確定性，參數Jm具有認知不確定性；而當混合不確定性2存在時，參數K和Jm則分別具有認知不確定性和隨機不確定性。針對上述兩種情況，采用改進的雙層循環蒙特卡羅技術進行混合不確定性分析，計算步驟如2.3節所示。在計算模擬過程中，將具有認知不確定性的參數放在外層循環中，而將具有隨機不確定性的參數放于內層循環。采用拉丁超立方抽樣方法對具有隨機不確定性的參數抽取500個樣本點，對具有認知不確定性的參數抽取10個樣本點。參數具有混合不確定性時連桿轉角和減速后電機轉子轉角的95%置信區域邊界以及混合邊界的局部放大圖如圖7、圖8所示。

圖7 混合不確定性1條件下連桿和電機轉子轉角的95%置信區域邊界及混合邊界Fig.7 95% confidence region boundary and mixed boundary of the rotor angle of connecting rod and motor rotor under mixed uncertainty 1

圖8 混合不確定性2條件下連桿和電機轉子轉角的95%置信區域邊界及混合邊界Fig.8 95% confidence region boundary and mixed boundary of the rotor angle of connecting rod and motor rotor under mixed uncertainty 2

由圖7可以看出，在混合不確定性1的條件下，響應的95%置信區域上下邊界并沒有像文獻[23]那樣出現明顯的分層，而是幾乎重合或交錯出現(Theta1，Theta2和Phi2的置信區域上下邊界幾乎重合，Phi1的置信區域上下邊界交錯出現)，這說明參數K的隨機不確定性對系統響應的影響比較小，從而使響應的置信區域比較窄。當交錯出現時，每組置信區域上下邊界之間就存在一定的距離，此時參數的隨機不確定性對系統響應的影響相對比較大，因此，關節等效扭簧剛度K的隨機不確定性對Phi1的影響比對其他3個響應輸出的影響要大。由圖7還可以看出，每組置信區域之間存在一定的距離且距離不盡相同，這是由參數Jm的認知不確定性對輸出響應的影響較大引起的，距離越大，Jm的影響也就越大；因此，電機轉子轉動慣量Jm的認知不確定性對Phi2以及Theta1和Theta2的影響比對Phi1的影響要大。

由圖8可以看出，在混合不確定性2的條件下，響應的95%置信區域上下邊界出現了明顯的上下分層，上下邊界之間的距離變大，置信區域變寬，說明了參數Jm的隨機不確定性對響應的影響比較大。但是轉角Phi2，Theta1和Theta2的每組置信區域上(下)邊界幾乎重合，而轉角Phi1的每組置信區域上(下)邊界之間有一定的距離，分別對應每組置信區域之間的距離較小和較大的情況。這些現象說明參數K的認知不確定性對Theta1，Theta2以及Phi2的影響比對Phi1的影響要小，而參數Jm的隨機不確定性對Theta1，Theta2以及Phi2的影響比對Phi1要大。

總之，通過對參數Jm和K的混合不確定性分析發現，無論電機轉子轉動慣量Jm存在隨機不確定性還是認知不確定性，在整個時域內其對連桿2的轉角Phi2以及兩個電機轉子的轉角Theta1和Theta2的靈敏度都比較大，對連桿1的轉角Phi1的靈敏度相對較小。而關節等效扭簧剛度K無論存在隨機不確定性還是認知不確定性，在整個時域內其對連桿2的轉角Phi2以及兩個電機轉子的轉角Theta1和Theta2的靈敏度都比較小，對連桿1的轉角Phi1的靈敏度卻相對較大。

另外，由混合不確定性上下邊界可以看出，同時考慮參數的隨機和認知不確定性得到的置信區域邊界比只考慮參數的隨機不確定性時得到的邊界要寬。因此，在對非線性機械系統進行分析時同時考慮這兩種不確定性的影響，將使系統工作時更加安全。

4 結束語

針對參數存在隨機不確定性、認知不確定性以及混合不確定性3種情況，對雙連桿柔性關節機械臂系統進行了不確定性分析，研究了具有不同不確定性特性的參數在整個時間域內對系統響應的靈敏度。使用2倍標準差邊界及95%的置信區域邊界分析了隨機不確定性參數對系統響應的影響，發現這兩種分析方法是等價的。當參數存在隨機不確定性或認知不確定性時，關節等效扭簧剛度K在任意時刻對連桿和電機轉子轉角的影響比電機轉子轉動慣量Jm都要小，或者說電機轉子轉動慣量Jm對響應的靈敏度較大，因此在設計時應建立精確的電機轉子模型。當隨機不確定性和認知不確定性同時存在于系統參數中時，電機轉子轉動慣量Jm對連桿2的轉角Phi2以及兩個電機轉子的轉角Theta1和Theta2的影響(靈敏度)比對連桿1的轉角Phi1的影響(靈敏度)要大，而關節等效扭簧剛度K對Phi2，Theta1和Theta2的影響(靈敏度)比對Phi1的影響(靈敏度)要小。由此可見，考慮參數的混合不確定性能更具體地分析在整個時域內參數對不同輸出響應的影響，因此在對機械系統進行整個時域內的靈敏度分析時，為使系統工作時更加安全，應盡量考慮參數的混合不確定性。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.011

國家自然科學基金資助項目(51475210);山東省高等學校科技計劃資助項目(J17KA027)

2015-11-09；

2016-01-14

TH113； TB114