基于改進m序列的壓縮采樣觀測矩陣設(shè)計

崔興梅， 吳 鍵, 徐云鵬

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院 南京，210094)

基于改進m序列的壓縮采樣觀測矩陣設(shè)計

崔興梅， 吳 鍵, 徐云鵬

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院 南京，210094)

為了降低對嵌入式系統(tǒng)數(shù)據(jù)采集的硬件要求，提出了一種適用于模擬信號采集系統(tǒng)的壓縮采樣方法，為壓縮感知觀測矩陣提供了一種低功耗硬件實現(xiàn)方法。介紹了觀測矩陣設(shè)計的相關(guān)要求，并提出了帶壓縮采樣矩陣的高斯隨機觀測矩陣及基于改進的m序列的壓縮采樣矩陣硬件實現(xiàn)方法。考慮系統(tǒng)功耗及外圍電路復(fù)雜度問題，提出利用MSP430微處理器完成壓縮采樣系統(tǒng)設(shè)計，并利用滾珠絲杠動態(tài)測試中的振動信號完成對系統(tǒng)的驗證。實驗結(jié)果表明，該系統(tǒng)能以低于亞乃奎斯特采樣頻率的采樣率對振動信號進行壓縮采樣，能較為精確地重構(gòu)出原始信號。

觀測矩陣；改進型m序列；滾珠絲杠振動信號；MSP430G2微處理器；壓縮采樣

引 言

在許多嵌入式信號處理系統(tǒng)中，如何使用稀缺的物理資源來獲得滿意的性能是一個根本性的挑戰(zhàn)。例如，分布式現(xiàn)場傳感器需要有效地進行自主的數(shù)據(jù)采集和無線傳輸，但是在這個過程中會受到許多物理條件的限制，如覆蓋范圍、檢測靈敏度及系統(tǒng)的魯棒性等，這就需要對實際應(yīng)用中的硬件系統(tǒng)降低要求。解決該問題的一個有效方法是減少采集和處理一些不必要的或者多余的數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的傳感技術(shù)采集的數(shù)據(jù)總量遠遠超過所需的數(shù)據(jù)量，在大多數(shù)情況下，往往只有小部分數(shù)據(jù)是實際有用的，其余的都不會對處理結(jié)果造成影響，可以被丟棄。因此，文獻[1-2]提出了壓縮感知(compressed sensing, 簡稱CS)理論。

壓縮感知的基礎(chǔ)理論研究主要包括稀疏變換基的選擇、觀測矩陣的設(shè)計與實現(xiàn)及信號重構(gòu)算法研究等[1]。其中，壓縮感知的觀測過程是對稀疏信號的線性非自適應(yīng)性測量，這是一個高維稀疏向量降維的過程，也是一個計算完備的信號稀疏系數(shù)向量的過程。如今，壓縮感知理論沒有在更廣闊領(lǐng)域得到應(yīng)用，主要原因就在于壓縮感知的觀測過程難以在硬件電路中得到實現(xiàn)，從而難以應(yīng)用于實際工程之中。

在將壓縮感知理論應(yīng)用于模擬信號采集的研究中，文獻[3-4]提出了一種應(yīng)用模擬信息轉(zhuǎn)換器( analog-to-information conversion, 簡稱AIC)實現(xiàn)壓縮采樣的方法，該轉(zhuǎn)換器使用積分器或低通濾波器完成對信號的調(diào)制，即壓縮采樣，在后續(xù)處理中實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的重構(gòu)。文獻[5-6]針對模擬信息轉(zhuǎn)換器做出了研究，提出了改進的模擬信息轉(zhuǎn)換器硬件實現(xiàn)方案。由于模擬信息轉(zhuǎn)換器在對信號調(diào)制(壓縮采樣)時，所需積分支路由所需信息采樣點數(shù)決定，因此需要大量的積分器或低通濾波器電路，在硬件上難以實現(xiàn)。

筆者首先介紹了觀測矩陣需要滿足的有限等距約束(restricted isometry property, 簡稱RIP)準(zhǔn)則，設(shè)計了用于硬件微處理器實現(xiàn)的觀測矩陣方案，并對其觀測性能參數(shù)做出了分析與計算；其次，設(shè)計了利用改進的m序列產(chǎn)生隨機采樣序列的方法，并利用數(shù)字電路和微處理器實現(xiàn)對一般的連續(xù)模擬信號的壓縮采樣；最后，利用滾珠絲杠動態(tài)測試中的振動信號完成對系統(tǒng)的實驗驗證。

1 觀測矩陣設(shè)計及性能仿真驗證

設(shè)計觀測矩陣時，一般需要滿足RIP準(zhǔn)則和不相干性準(zhǔn)則等[7]。同時，由于本研究主要針對待測振動信號進行壓縮采樣，還需要滿足時間性要求。

1.1 矩陣的不相干性

矩陣的不相干性是指在相干測量中兩個不同矩陣中任意行列間的最大相關(guān)性[8]。現(xiàn)假設(shè)存在一個n×n的矩陣ψ，其中，ψ1,ψ2,…,ψn表示其每一個列向量。存在一個m×n的矩陣Φ，其中，Φ1,Φ2,……,Φm作為其行向量，則相干系數(shù)μ被定為

(1)

其中：1≤j≤n；1≤k≤m。

在壓縮采樣中，稀疏矩陣和觀測矩陣的相干性可以反映觀測矩陣的性能。它們的相干系數(shù)越大，系統(tǒng)需要觀測的點數(shù)就越多。

1.2 矩陣的RIP準(zhǔn)則

對于觀測矩陣ψ，文獻[1-2]在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上給出并證明了其必須滿足的PIP準(zhǔn)則。RIP準(zhǔn)則從數(shù)學(xué)角度給出了某一矩陣作為觀測矩陣需要滿足的不等式條件。

對于任意c∈R|T|和常數(shù)ξK∈(0,1)，如果

(2)

成立，其中T?{1,2,…,n},|T|≤2K。ψT為K×|T|的子矩陣，由ψ中選出的相關(guān)的列構(gòu)成，則矩陣ψ滿足RIP[9]準(zhǔn)則。

1.3 壓縮采樣的時間性要求

筆者主要針對待測振動信號進行壓縮采樣，信號是未知的，即在這一時刻不可能估計到下一時刻信號的狀態(tài)。因此，對于模擬信號采集系統(tǒng)，觀測矩陣的行向量對應(yīng)信號的時間軸，所以要求上一行的最后一個非零元素要在下一行的第1個非零元素之前。例如，假設(shè)有2個4×4的矩陣作為觀測矩陣

(3)

用ψ2矩陣，這個采樣過程是無法完成的，因為在t1時刻進行采樣時，第1行第4列的元素1對應(yīng)的是信號t4時刻的狀態(tài)，而在t1時刻，該狀態(tài)是未知的，即

(4)

因此，ψ2類型的觀測矩陣無法應(yīng)用在模擬信號的壓縮采樣中。

1.4 壓縮采樣觀測矩陣設(shè)計及驗證

由于大多數(shù)信號具有稀疏性或在某一變換基下具有稀疏性，考慮設(shè)計觀測矩陣ψSample的形式為

(5)

該矩陣被稱為隨機壓縮采樣矩陣，其構(gòu)成方式為n×n的單位陣中對角線上的元素隨機選出m個位置設(shè)為1，其余位置元素均為零，即對角線上元素為一隨機序列。

由于該矩陣結(jié)構(gòu)過于簡單，不符合作為觀測矩陣的RIP準(zhǔn)則和不相干性，因此在該矩陣的基礎(chǔ)上，對其進行改進，設(shè)計出一種用于硬件壓縮采樣的觀測矩陣y=ψGaussianψSample。其中，ψGaussian為高斯隨機矩陣，稱之為帶壓縮采樣的高斯觀測矩陣。于是，壓縮感知觀測過程變?yōu)閥=ψGaussianψSamplex。其中，由硬件實現(xiàn)壓縮采樣矩陣ψSample，對模擬信號采集少量觀測點，將其余序列點補“0”，完成“一次觀測”。將采集到的“稀疏序列”發(fā)送至上位機，在Matalb中采用高斯隨機矩陣ψGaussian對其完成“二次觀測”，二次觀測完成后的向量作為壓縮感知觀測向量進行重構(gòu)。

針對所設(shè)計的觀測矩陣，選取最常用的離散傅里葉變換基(discrete Fourier transformation,簡稱 DFT)對其不相干性進行計算，這是因為大多數(shù)信號在該變換基下具有稀疏性。設(shè)測試信號為有512點的序列，觀測次數(shù)為80，即m=80，n=512，通過1 000次獨立實驗，得到該觀測矩陣與離散傅里葉變換基相干性參數(shù)的分布統(tǒng)計直方圖，如圖1所示。

圖1 相干性參數(shù)分布Fig.1 Coherence parameter distribution

壓縮感知中傳感矩陣應(yīng)滿足有限等距約束性(RIP)的條件，K階RIP條件要求參數(shù)ξK∈(0,1)。有限等距常數(shù)(RIC)是與有限等距約束緊密結(jié)合在一起的一個參數(shù)，具體是指滿足有限等距約束性的最小ξK，該常數(shù)可以根據(jù)傳感矩陣的特征值λ計算。

同樣令m=80，n=512,選取離散傅里葉變換基為稀疏矩陣，根據(jù)上述原理計算，其等距約束常數(shù)為0.712 0，基本滿足ξK∈(0,1)的要求。

2 基于改進m序列的壓縮采樣矩陣的實現(xiàn)

2.1 m序列的產(chǎn)生及性質(zhì)

m序列又稱偽隨機序列，它的特點是不能預(yù)先確定但是可以重復(fù)產(chǎn)生, m序列具有平衡特性、游程特性和移位相加特性[10]。在其平衡特性中，在一個m序列的每個周期中，“1”碼元出現(xiàn)的次數(shù)總比“0”碼元多一個，兩種碼元數(shù)量基本相當(dāng)。但是，在筆者所設(shè)計的模擬信號采集系統(tǒng)中采樣點數(shù)要遠遠小于信號長度，因此，m序列并不適合做壓縮采樣的隨機序列。鑒于此，一種改進的m序列被設(shè)計用作壓縮采樣的隨機序列。

為了使壓縮采樣中的測量點數(shù)遠小于信號長度，改進的m序列中，“0”出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)遠大于“1”的數(shù)量。因此，應(yīng)在m序列發(fā)生器電路中增加一個雙穩(wěn)態(tài)電路和一個與門，m序列發(fā)生器的輸出與雙穩(wěn)態(tài)電路輸出做“與”運算后將結(jié)果輸出到微處理器引腳，其中，m序列發(fā)生器生成的序列觸發(fā)雙穩(wěn)態(tài)電路狀態(tài)的翻轉(zhuǎn)。邏輯轉(zhuǎn)換過程由表1給出。

由表1可以看出，經(jīng)過處理的m序列中“1”的個數(shù)減少為1/4，基本滿足壓縮采樣點數(shù)的要求，可以用作隨機采樣序列。

表1 改進的m序列發(fā)生器邏輯轉(zhuǎn)換表

2.2 改進的m隨機序列的電路實現(xiàn)

通常m序列發(fā)生器由N級反饋移位寄存器構(gòu)成[10]。本研究中設(shè)計了8級m序列發(fā)生器，配合雙穩(wěn)態(tài)電路與“與”門，輸出隨機采樣序列。移位寄存器芯片選擇雙向4位移位寄存器74LS194。雙穩(wěn)態(tài)電路由4013雙D觸發(fā)器芯片構(gòu)成。電路如圖2所示。

圖2 改進的m序列發(fā)生器Fig.2 The improved m sequence generator

3 壓縮采樣系統(tǒng)的硬軟件設(shè)計

3.1 設(shè)計需求分析及微處理器選型

一般地，模擬信號采樣系統(tǒng)需要完成信號的AD轉(zhuǎn)換、傳輸及處理[11-13]。筆者所設(shè)計的壓縮采樣系統(tǒng)主要是為了解決嵌入式系統(tǒng)中物理資源缺乏、功耗受限的問題，為了減小系統(tǒng)功耗，降低對硬件系統(tǒng)物理資源的要求，應(yīng)當(dāng)盡量減少系統(tǒng)外圍電路的規(guī)模。因此，微處理器上應(yīng)集成以下模塊，包括片上AD/DA轉(zhuǎn)換(用于信號采集)、定時器模塊(用于計數(shù))以及UART模塊(用于采樣完成后傳輸數(shù)據(jù)到Matlab)。同時，微處理器本身也應(yīng)具備低功耗特性。

筆者最終選取MSP430G2型微處理器，因為該處理器具有內(nèi)置的10位AD轉(zhuǎn)換器、2個內(nèi)部定時器模塊和UART模塊，基本符合系統(tǒng)設(shè)計的要求，可以實現(xiàn)低功耗、低成本的“單片”解決方案。與ARM和FPGA相比，該型微處理器具有多達5種低功耗模式，可以在超低功耗下運行。因此，筆者基于MSP430G2553型微處理器進行壓縮采樣系統(tǒng)設(shè)計，編譯工具使用CCS，編程語言采用C語言。

3.2 壓縮采樣系統(tǒng)軟件設(shè)計

壓縮采樣系統(tǒng)軟件開發(fā)流程如下。

1) 微處理器初始化，包括關(guān)看門狗，配置時鐘信號為SMCLK(輔助主時鐘)。

2) 設(shè)置定時器定時時間，該時間為改進的m序列碼元產(chǎn)生的時間間隔。此時定時器開始計時，系統(tǒng)進入低功耗模式LPM1，等待喚醒。

3) 定時時間到，微處理器喚醒，重裝定時器初值，同時檢測改進的m序列輸入引腳狀態(tài)。將檢測結(jié)果通過UART發(fā)送至上位機，若狀態(tài)為“1”，啟動ADC10模塊進行一次采樣，將數(shù)據(jù)通過UART模塊發(fā)送到上位機；若狀態(tài)為“0”，則發(fā)送數(shù)據(jù)0到上位機。

具體流程圖如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)軟件流程圖Fig.3 The flow chart of system software

4 壓縮采樣系統(tǒng)實驗驗證

筆者采用滾珠絲杠動態(tài)測試中的振動信號對系統(tǒng)的可行性進行驗證[14]，實驗裝置如圖4所示。其中，實驗信號為200～600Hz的振動信號，由激振器產(chǎn)生。使用加速度傳感器完成數(shù)據(jù)采集，從而對滾珠絲杠的模態(tài)等相關(guān)參數(shù)進行計算[15-16]。

圖4 滾珠絲杠動態(tài)測試系統(tǒng)Fig.4 The ball screw dynamic testing system

圖5 模擬信號采集系統(tǒng)工作流程Fig.5 The working process of imulation signal acquisition system

本實驗將利用所設(shè)計系統(tǒng)完成對滾珠絲杠振動信號的壓縮采樣，選取子空間追蹤算法(SP)完成對信號的重構(gòu)。圖5為模擬信號采集系統(tǒng)的壓縮采樣過程及后續(xù)上位機重構(gòu)流程。

其對比實驗結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 壓縮采樣系統(tǒng)重構(gòu)振動信號Fig.6 The reconstruction vibration signal of compressed sampling system

圖7 傳統(tǒng)采樣與壓縮采樣點數(shù)對比Fig.7 The points comparison of traditional sampling and compression sampling

壓縮采樣過程中信號稀疏度未知，如果信號稀疏度估計存在較大誤差，SP算法重構(gòu)精度會受到很大的影響。在稀疏度為10的情況下殘余誤差不一定是最小的。因此，對于觀測的120個采樣點，在稀疏度從0到50的情況下，在各種稀疏度下均重構(gòu)1 000次，得到2組實驗信號的重構(gòu)殘余誤差和重構(gòu)時間與稀疏度的關(guān)系，如圖8所示。

圖8 不同稀疏度下信號的重構(gòu)時間與殘余誤差Fig.8 The reconstruction time and residual error of signal on different sparsity

通過計算，在最適應(yīng)稀疏度下與傳統(tǒng)采樣方法相比，基于改進m序列的壓縮采樣系統(tǒng)重構(gòu)殘余誤差為0.0560，可以較為精確地完成原始信號的重構(gòu)。

5 結(jié)束語

提出了一種基于壓縮感知理論的模擬信號采集方法，為壓縮感知觀測矩陣提供了一種低功耗硬件實現(xiàn)方法，實現(xiàn)了硬件壓縮采樣過程。該方法突破了壓縮感知理論仿真研究的局限性，降低了對硬件數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的要求，具有一定的實用價值。為驗證系統(tǒng)的實用性，利用滾珠絲杠動態(tài)測試中的振動信號完成了對系統(tǒng)的驗證。實驗結(jié)果表明，該系統(tǒng)能夠以低于乃奎斯特頻率的采樣率實現(xiàn)對相關(guān)信號的壓縮采樣，并根據(jù)采樣數(shù)據(jù)較精確的恢復(fù)出原始信號。

[1] Donoho D L. Compressed sensing [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[2] Candes E J, Romberg J, Tao T. Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(2): 489-509.

[3] Kirolos S, Laska J, Wakin M, et al. Analog-to-information conversion via random demodulation[C]∥IEEE Dallas/CAS Workshop on Design, Applications, Integration and Software. Richardson TX:[s.n.], 2006: 71-74.

[4] Laska J N, Kirolos S, Duarte M F, et al. Theory and implementation of an analog-to-information converter using random demodulation[C]∥IEEE International Symposium on Circuits and Systems. New Orleans, LA:[s.n.], 2007: 1959-1962.

[5] 陳宇科. 壓縮采樣中的模擬信息轉(zhuǎn)換技術(shù)研究[D]. 杭州：杭州電子科技大學(xué),2011.

[6] 劉立明. 模擬信息轉(zhuǎn)換器的實現(xiàn)技術(shù)研究[D]. 杭州：杭州電子科技大學(xué), 2012.

[7] Candes E J, Tao T. Near-optimal signal recovery from random projections: universal encoding strategies [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12): 5406-5425.

[8] Qaisar S, Bilal R M, Iqbal W, et al. Compressive sensing: from theory to applications, a survey [J]. Journal of Communications and Networks, 2013, 15(5): 443-456.

[9] 路暢, 劉玉紅. 壓縮感知理論中的RIP準(zhǔn)則[J]. 自動化與儀器儀表, 2015(8): 211-213.

Lu Chang, Liu Yuhong. RIP criterion in compressed sensing theory [J]. Automation and Instrumentation, 2015(8):211-213. (in Chinese)

[10] 黨骙, 馬林華, 田雨, 等. m序列壓縮感知測量矩陣構(gòu)造[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 2015,42(2):186-192.

Dang Kui, Ma Linhua, Tian Yu, et al. Construction of the compressive sensing measurement matrix based on m sequence [J]. Journal of Xian University:Natural Science Edition, 2015,42(2):186-192. (in Chinese)

[11] 尚盈, 袁慎芳, 吳鍵, 等. 基于無線傳感網(wǎng)絡(luò)的大型結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理, 2009, 24(2):254-258.

Shang Ying, Yuan Shenfang, Wu Jian, et al. Large-scale structural health monitoring system based on wireless sensor networks [J]. Journal of Data Acquisition & Processing, 2009, 24(2):254-258. (in Chinese)

[12] Yuan Shenfang, Mei Hanfei, Qiu Lei, et al. On a digital wireless impact-monitoring network for large-scale composite structures [J]. Smart Materials and Structures, 2014, 23(8):1-16.

[13] 楊世錫, 梁文軍, 于保華. 振動信號多通道同步整周期數(shù)據(jù)采集卡設(shè)計[J]. 振動、測試與診斷, 2013, 33(1):23-28.

Yang Shixi, Liang Wenjun, Yu Baohua. Vibration signal multi-channel synchronous whole-cycle data acquisition card design [J].Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013, 33(1):23-28. (in Chinese)

[14] 李學(xué)軍, 侯彥濤, 何寬芳, 等. 集成式多功能振動信號測試系統(tǒng)的研制[J]. 振動、測試與診斷, 2008, 28(2):143-146.

Li Xuejun, Hou Yntao, He Kuanfang, et al. The development of the integrated multi-functional vibration signal test system [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2008, 28(2):143-146. (in Chinese)

[15] 何博俠, 董香龍, 程寓, 等. 滾珠絲杠動態(tài)特性參數(shù)的測試裝置: 中國，CN203178071U[P].2013-09-04.

[16] 翁健光, 袁軍堂, 汪振華，等. 滾珠絲杠副靜力學(xué)特性分析[J]. 制造技術(shù)與機床, 2012(11):127-130.

Weng Jianguang, Yuan Juntang, Wang Zhenhua, et al. Analysis on statics characteristic of ball screw[J]. Manufacturing Technology and Machine Tools, 2012(11):127-130. (in Chinese)

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.014

國家自然科學(xué)基金資助項目(51105209，61401211，51175267)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目(30915118804)；江蘇省高校自然科學(xué)研究重點資助項目(15KJA460004)；高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計劃資助項目(B16025);航空科學(xué)基金資助項目(20161959001)

2016-02-29；

2016-06-07

TP3

崔興梅，女，1992年2月生，碩士生。主要研究方向為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)。曾發(fā)表《A novel RFID-based sensing method for low-cost bolt loosening monitoring》(《Sensors》2016,Vol.16,No.2)等論文。

E-mail: 114101000159@njust.edu.cn

吳鍵，男，1979年11月生，副教授。主要研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)。

Ε-mail:wuj@njust.edu.cn

歡迎訂閱《振動、測試與診斷》

《振動、測試與診斷》由工業(yè)和信息化部主管，南京航空航天大學(xué)和全國高校機械工程測試技術(shù)研究會聯(lián)合主辦，是反映振動、動態(tài)測試及故障診斷學(xué)科領(lǐng)域的科研成果及其應(yīng)用情況的技術(shù)性刊物。主要刊登國內(nèi)外以振動測試與故障診斷為中心的動態(tài)測試理論、方法和手段的研究及應(yīng)用方面的技術(shù)文獻，包括實驗測試技術(shù)、測試儀器的研制、方法和系統(tǒng)組成、信號分析、數(shù)據(jù)處理、參數(shù)識別與故障診斷以及有關(guān)裝置的設(shè)計、使用、控制、標(biāo)定和校準(zhǔn)等，不拘泥于行業(yè)和測試項目。

本刊為EICompendex數(shù)據(jù)庫收錄期刊和中文核心期刊，雙月刊，每逢雙月末出版，每本定價30元，全年180元。歡迎訂閱和投稿，歡迎在本刊刊登各類廣告和科技信息。

編輯部地址：南京市御道街29號 郵政編碼：210016 電話：(025)84893332

傳真：(025)84893332 E-mail:qchen@nuaa.edu.cn 網(wǎng)址：http:∥zdcs.nuaa.edu.cn