一類雙曲型偏微分方程混合問題的分離變量解

賈對紅

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

一類雙曲型偏微分方程混合問題的分離變量解

賈對紅

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

研究了一類特殊的雙曲型偏微分方程的混合問題，用初等解法即分離變量法得出了混合問題的非平凡解。

偏微分方程；混合問題；分離變量法

由于信息技術以及數值計算的飛速發展，偏微分方程的數值解法得以廣泛發展與應用，而一些初等解法卻漸漸被人們忽略。文章針對一類特殊的雙曲型偏微分方程的混合問題，采用了一種初等解法即變量分離法給出了其解。

對于混合問題：

設方程具有滿足上述邊界條件的非零變量分離解u（x，t）=X（x）T（t），將其代入方程得：

即得：

在上式中，左端是t的函數，右端是x的函數，而它們在區域Q={0＜x＜l，t＞0}上恒等，因此它們只能是常數，我們設這個常數是-λ，從而有：

將解（x，t）=X（x）T（t）代入邊界條件得：

由于我們所求的是非零解，故T（t）≠0，從而得到S-L問題：

求解S-L問題（4）得方程的通解為：

代入邊界條件得：

相應的非零解為：

這樣我們就得到了S-L問題的解。

將式（5）中的λ代入方程（2），求得：

即un（x，t）=Xn（x）Tn（t）滿足（1）中的方程和邊界條件，我們將所有的un（x，t）疊加起來使得它滿足（1）中的初始條件，即取：

從而得到：

同理得：

這樣我們就求得了混合問題（1）的形式解（7），其中系數An，Bn由公式（10）（11）給出。

為了證明形式解（7）確實是混合問題（1）的解，我們需要對定解條件加上光滑性要求，以及在角點（0，0），（l，0）處的相容性條件，由此得到以下定理。

則由（7）式給出的函數u（x，t）是混合問題（1）的解。

［1］朱長江，鄧引斌編著.偏微分方程教程［M］.北京：科學出版社.2005.

［2］車向凱，謝彥紅等.數理方程［M］.北京：高等教育出版社.2006.

［3］白艷平，陸平，薛亞奎編著［M］.北京理工大學出版社.2006.

The Separation of Variables for a Class of Hyperbolic Partial Differential Equations

Jia Dui-hong
（Department of Mathematics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

In this paper,we study the mixing problem of a class of special hyperbolic partial differential equations,and obtain the nontrivial solution of the mixing problem by the elementary solution method.

partial differential equations,mixing problem,separation of variables

O175

A

1673-2014（2017）05-0029-02

2017—04—16

賈對紅（1979— )，女，山西壽陽人，講師，主要從事微分方程及其應用研究。

（責任編輯 趙巨濤）