Green公式的一個注記

董建新，王 飛

（長治學院 數學系,山西 長治 046011）

Green公式的一個注記

董建新，王 飛

（長治學院 數學系,山西 長治 046011）

Green公式溝通了二重積分與第二類曲線積分的關系。文章介紹了利用Green公式將兩者相互轉化時的計算方法，使學生加深對Green公式的理解。

Green公式；輔助線；封閉曲線

1 預備知識

若函數P，Q在閉區域D上連續，且有連續的一階偏導數，則有：

這里L為區域D的邊界曲線，并取正方向，上述公式稱為格林（Green）公式[1]。

Green公式溝通了二重積分與第二類曲線積分的關系。由第二類曲線積分的定義，當L是負方向時，僅需在格林公式的左邊或者右邊加負號。另外，使用Green公式將第二類曲線積分轉化為二重積分時需要滿足兩個條件：（1）曲線L封閉；（2）函數P，Q在D上連續，且有連續的一階偏導數。在使用Green公式將二重積分轉化為曲線積分也要注意函數P，Q的表示方法。

2 主要結果

2.1 利用Green公式將第二類曲線積分轉化為二重積分

在計算第二類曲線積分時，如果題目滿足上述兩個條件，則可以直接使用Green公式將其轉化為二重積分；否則，分兩種情況討論。

2.1.1 條件（1）不成立，條件（2）成立

對于這種情況，重點是做輔助線使得曲線封閉，但需要注意方向。

例1 計算∫ABxdy，其中AB為圓心在原點，半徑為a的圓的第一象限部分，并取順時針。

分析 本題已知曲線的方程，按照第二類曲線積分的計算方法可以計算。如果用Green公式，顯然函數滿足條件（2），但不滿足條件（1）；作有向輔助線BO和OA，對閉曲線AB+BO+OA（負方向）按照Green公式將其轉化成二重積分計算。（作輔助直線BA亦可）

解：做BO和OA，由Green公式

2.1.2 條件（1）成立，條件（2）不成立

分析 題目雖沒有給出曲線L的方程，但曲線滿足條件（1），同時，函數P，Q不滿足連續且有連續的一階偏導數的條件（2）。通過觀察函數特點，作有向輔助線L1：x2+y2=ε2并取順時針（做法不唯一）來剔除原點，記L與L1圍成的區域為D1。此時，函數P，Q在D1上滿足了相應的條件（2），且L與L1合起來是D1的邊界曲線且是D1的正方向。

解：作封閉曲線L1：x2+y2=ε2并取順時針，記L與L1圍成的區域為D1，在D1上使用Green公式得：

幾個思考：

（1）從例2的可以看出，結論與L的表達式無關。例如：當L的方程改為x2+y2=a2，|x|+|y|=a等封閉曲線，也可以用Green公式計算。

（2）若L改為不包含原點的任意逐段光滑的封閉曲線時，Green公式使用條件成立，直接代入公式可得

2.2 利用Green公式將二重積分轉化為曲線積分

在應用中，Green公式一般是將第二類曲線積分轉化成二重積分來計算。對于積分區域為有界閉區域的二重積分，一般化成兩種順序的累次積分計算，但有時計算困難；而利用Green公式將二重積分轉化為第二類曲線積分可以有效的避免這一情況。需要注意的是：將二重積分轉化為曲線積分時，要先計算出相應的函數P和Q；其次是函數P和Q的表達式并不唯一，要根據實際情況而定。

例3[2]計算y=1，y=x所圍成的區域。

［1］同濟大學數學系.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［2］華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京：高等教育出版，2010.

O17

A

1673-2014（2017）05-0027-02

長治學院教研項目（JY201508）

2017—06—30

董建新(1978— )，男，山西陽城人，講師，主要從事運籌優化與數值計算研究。

（責任編輯 趙巨濤）