一個類Lorenz混沌系統Hopf分岔反控制

張良 唐駕時

摘要： 對混沌系統進行反控制可以實現分岔提前或者延遲發生，滿足工程實際需要。以一個類Lorenz混沌系統為研究對象，根據Routh-Hurwitz準則和高維Hopf分岔理論，分析了系統Hopf分岔特性；提出了一種動態狀態反饋控制法，對系統進行Hopf分岔反控制。通過調控控制參數，可以在預定任意位置產生Hopf分岔，使Hopf分岔提前或延遲發生，達到了預期的反控制目的。從分析結果看出，提出的動態狀態反饋控制法可以避免復雜的計算過程，能夠有效地實現對混沌系統的Hopf分岔反控制。

關鍵詞： 非線性振動； 混沌系統； Routh-Hurwitz準則； Hopf分岔反控制； 動態狀態反饋控制法

中圖分類號： O322 文獻標志碼：A 文章編號1004-4523（2018）05-0752-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.004

引 言

自1963年，E N Lorenz實驗中偶然發現混沌吸引子，即Lorenz系統以來，對于混沌系統的認識和研究取得了極大的進步。現在人們不僅關注發現新的混沌系統，更關注系統自身混沌和分岔特性的研究。楊啟貴等[1]提出了一個新的類Lorenz系統，分析了系統的規范型。Mello等[2]研究了一個三維類Lorenz系統的混沌吸引子，通過第一李雅普諾夫系數分析了系統的分岔特性。Li等[3]提出了一個新的類Lorenz混沌系統，分析了該系統的同宿軌道，以及系統在不同平衡點下的分岔特性。Shan Wang等[4]提出了一個五維類Lorenz系統，分析了系統分數階分岔。

分岔控制與反控制已成為非線性動力學研究的重點方向之一。而分岔反控制是分岔控制的逆過程，其主要目的是通過控制系統參數，使系統在預先設置的臨界值上出現預期的分岔現象，是產生分岔的過程，而不是避免或者消除[5-10]。

不少學者對分岔反控制做了研究，程尊水[11]采用Washout filter法對Chen系統進行Hopf分岔反控制，通過調控控制參數，可以實現在預定的臨界值發生Hopf分岔；劉素華等[12]根據Hopf分岔理論，采用線性與非線性狀態反饋法對四維Qi系統零平衡點處的Hopf分岔進行了反控制，分岔參數的不同，可以實現不同的反控制方案。Yu等[13]提出了一個新的反控制法，并以該控制法為基礎，實現了一般自治系統的混沌化。伍新等[14]對三自由度含間隙雙面碰撞振動系統的Poincaré映射叉式分岔進行反控制，通過對控制參數的調整，可以實現穩定的叉式分岔解。吳志強等[15]對Rssler 系統設置了非線性Washout控制器，對系統的Hopf分岔臨界值、分岔類型以及極限環等進行了分岔控制。Zhang等[16]對一維Logistic映射設置了線性控制器，根據反饋控制法對系統二周期倍分岔點進行了反控制，實現了預期目的。

文獻[17]提出了一種反饋控制方法，受控系統的平衡點與預設分岔臨界值有關，具有一定的特殊性。以此為基礎，本文提出了一種動態狀態反饋控制法，不改變平衡點的情況下，可對系統進行Hopf分岔反控制。文中以文獻[3]提出的三維自治類Lorenz系統為研究對象，根據Routh-Hurwitz準則和高維Hopf分岔理論，分析了系統的Hopf分岔特性，采用動態狀態反饋控制法對系統進行Hopf分岔反控制，通過調控控制參數，實現了預設的Hopf分岔現象的發生，達到了反控制的目的。