非自伴隨動力學系統的工況模態分析

陳偉 宋漢文

摘要： 非自伴隨動力學系統主要存在于轉子動力學、自激顫振和反饋控制中，伴隨著系數矩陣的對稱性破壞而出現。非自伴隨系統動力學特征信息的辨識在顫振的預測、控制律的識別、結構動力學特性的優化等方面尤為重要。然而工程中的非自伴隨動力學系統，如受穩流風載的大跨度橋梁、高速飛行的飛行器、轉子動力學系統、汽車的制動系統，由于系統的激勵信息未知，只能依靠系統的響應信號對系統進行辨識。該研究圍繞非自伴隨動力學系統的工況模態分析展開，首先推導了非自伴隨動力學系統在白噪聲激勵下響應的相關函數與系統自由衰減響應之間的等價關系；繼而將迭代整體最小二乘算法引入到相關函數的辨識中；最后通過兩自由度橋梁節段模型和多自由度系統的算例驗證了方法的有效性。

關鍵詞： 非自伴隨動力學系統； 系統辨識； 工況模態分析； 非對稱

中圖分類號： O321； O327 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2018）05-0772-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.006

引 言

系統受到與運動狀態有關的作用力時，該作用力會改變原系統的質量、阻尼和剛度特性，使原本系統變為非自伴隨系統[1]。典型的例子有大跨度橋梁由于風與其的相互作用而產生的顫振現象[2]，飛機在高速飛行時機翼的顫振[3]，以及廣泛應用的主動控制[4]。而這種反饋力的引入使得系統往往具有非對稱的系數矩陣，考慮到非自伴隨動力學系統系數矩陣不對稱的特性，非自伴隨動力學系統的辨識更具挑戰性。在過去30年的發展中，模態分析已經成為結構動力特性分析的關鍵技術，并且廣泛地應用于航空、航天、汽車、橋梁等領域[5-6]。隨著環境振動測試的發展，面對研究對象無法施加人工激勵，如在軌飛行器；或者人工激勵代價昂貴具有破壞性，如橋梁、高塔、海洋平臺等；或者結構在工況下自身承受的環境激勵不可測量，如機翼顫振、橋梁顫振、地震等，工況模態分析（OMA）實現了在復雜工況條件下識別結構的模態特征[7-8]。工況模態分析具有操作便捷、經濟適用、反映真實邊界條件等特點，引起了人們的廣泛關注[9]。

針對這類非自伴隨系統，本文將工況模態分析應用于該類系統的辨識中。首先從理論上證明了非自伴隨系統響應的相關函數與自由衰減響應之間的等價性，并通過算例加以證明。然后在二者等價的基礎上，將迭代整體最小二乘算法引入相關函數的辨識中，通過橋梁節段模型的算例和機翼的有限元模型證明了該方法的有效性。

1 非自伴隨系統的工況模態分析

本章從非自伴隨動力學系統的微分方程出發，通過復模態參數表示系統的響應。基于系統在白噪聲下的響應，推導了響應的相關函數，并且證明了非自伴隨系統響應的相關函數與給定初始條件下自由衰減響應的等價性。在系統響應的相關函數與自由衰減響應等價的前提下，將最小二乘迭代算法引入對相關函數的辨識中，得到了更為精確的模態參數。

1.1 系統響應

假設該橋梁節段模型在風洞中所受紊流作用為白噪聲。采樣頻率為100 Hz，采樣時長為3600 s。該結構隨機響應如圖1所示。

該結構響應的相關函數與自由衰減響應之間的對比如圖2所示。

圖2中相關函數與自由衰減響應的曲線相吻合，驗證了以某確定點響應為參考信號的相關函數與給定初始條件下的自由衰減響應一致。

下面使用特征系統實現算法（ERA）對相關函數進行辨識，得到系統的特征值信息。選取穩定的極點作為初始值進行迭代，迭代過程中誤差函數隨迭代次數的變化如圖3所示。

由圖3可見，迭代算法具有收斂性，誤差逐步減少并趨于穩定。迭代算法可以對原本ERA辨識的結果進行更為精細的參數估計。

使用ERA辨識結果和使用IULS辨識結果如表1所示。

由表1可見，IULS算法較ERA在辨識精度上有著較為顯著的提高。結構的模態振型可以根據式（39）得到。

值得注意的是，目前模態辨識依賴于在穩態圖中選擇合適的模態， 但是選擇的精度有著一定隨機性。IULS可在原本粗糙的辨識結果基礎上使精度有所提高，且辨識的結果可靠性強。

3.2 機翼模型

機翼的動力學模型可以通過有限元建模得到，這里設置材料的密度、楊氏彈性模量和泊松比分別為2700 kg/m3，7.0×1010 Pa和0.3。結構被離散為50個節點，由于結構受到氣動彈性力作用，這里設置對結構的剛度矩陣做了修改。結構的示意圖和有限元離散圖如圖4所示。

結構的固有頻率和阻尼比如表2所示，相對應的有限元模態振型如圖5所示。

記錄數據的采樣頻率fs=600 Hz，兩個激勵服從正態分布N（0，106）施加在節點6和50。仿真時間ts和相關函數信號長度tcor分別為7200 s和4 s。不失一般性，設置節點1的位移響應信號為參考信號，計算位移相關函數R1（T）。

首先驗證了相關函數與自由衰減響應的等效性，不失一般性，圖6展示第10點與第20點對應的相關函數與自由衰減響應。

圖6中相關函數和自由衰減響應完全吻合，進一步證明了相關函數與自由衰減響應的等效性。

下面根據節點的隨機響應進行辨識，首先使用所有節點響應對節點1做相關函數，得到位移相關函數向量，接著使用ERA辨識算法對采集的位移響應進行初步辨識，最后使用本文提出的IULS算法對響應信號進行辨識。ERA穩態圖如圖7所示。

由圖7可見，對于較為復雜的結構穩定極點的選取仍然依靠人工判斷。通過圖7的穩態圖選取迭代的初值，利用IULS算法估計模態參數。含有能量貢獻的結構模態振型可以根據式（37）得到。估計的頻率和阻尼比如表3所示。

由表3可見IULS對初值的精度有一定的提高，可以實現更為精準的模態參數辨識。重要的是，該方法在穩定極點選擇初值不夠理想的前提下仍然可以收斂到滿意的結果。

4 結 論

本文首先基于復模態理論推導了非自伴隨系統在寬頻隨機和自激反饋力作用下的響應，并且通過響應相關函數的理論推導證明了相關函數與自由衰減響應的等價性。在相關函數與自由衰減響應等價前提下，推導了針對自由衰減響應的IULS辨識算法。最后通過了橋梁節段模型和機翼模型的仿真驗證了理論的可靠性。本文的結論如下：

1.從理論上證明了非自伴隨系統響應的相關函數與給定初始條件下的自由衰減響應等價。

2.針對隨機響應的相關函數引入了IULS算法，實現了更為精確的模態參數辨識。

3.通過兩自由度橋梁節段模型和機翼型板的有限元模型驗證了響應的相關函數與自由衰減響應的等價性以及辨識算法的有效性。

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Abstract： Non-self-adjoint dynamical system commonly appears in rotor dynamics， flutter analysis and control synthesis， where the symmetry of the system matrices are destroyed. The asymmetry of the system matrices leads to challenges to system identification when the difference arises between the right and left eigenvectors corresponding to the same eigenvalue. The identification of non-self-adjoint system is of great importance for the prediction of flutter boundary， the identification of control law， the optimal design of structures etc. However， for the non-self-adjoint system in engineering （e.g. bridge flutter， the aerodynamic drag forces acting on airplane wings and fuselages， the forces acting on the rotor in turbines， brake system of a vehicle）， the identification is based on the output data of the system because of the unknown input data. This research concerns the operational modal analysis （OMA） of a typical non-self-adjoint system. Specifically， the equivalence between the correlation functions of random responses and the free decay responses of the original structure is proved for the non-self-adjoint system. The ERA method is applied to reconstruct the non-self-adjoint system. Case examples on the identification of a six-degree-of-freedom system and the flutter derivatives of bridge sections are performed to validate the method.

Key words： non-self-adjoint dynamic system； system identification； operational modal analysis； asymmetry

作者簡介： 陳 偉（1994—），男，博士研究生。電話： 15317058025； E-mail： meshiawei@tongji.edu.cn

通訊作者： 宋漢文（1962—），男，教授，博士生導師。電話： 18019787293； E-mail： hwsong@tongji.edu.cn