基于Jacobi—Ritz法的旋轉組合結構自由振動特性分析

龐福振 李海超 霍瑞東

摘要： 提出了一種分析旋轉組合殼結構自由振動特性的半解析法。首先將組合殼結構在交界面處進行分解，獲得各個子結構；其次，將各個子結構在徑向方向進一步分解為若干殼段，用沿旋轉軸方向的Jacobi多項式和沿周向的Fourier級數來表示各個殼段的位移函數，并用不同的彈簧剛度對組合結構的邊界條件和殼體內的連續性條件進行模擬；最后，基于Rayleigh-Ritz法獲得組合殼結構的自由振動特性。該研究以球-柱-球組合結構為例，開展基于Jacobi-Ritz法的旋轉組合結構自由振動特性分析。研究表明：該方法具有較好的收斂性，與有限元及區域能量分解法等相比有較高的一致性，研究成果可為復雜邊界條件下球-柱-球組合結構自由振動特性分析提供數據積累和方法依據。

關鍵詞： 自由振動； 旋轉組合結構； Jacobi-Ritz法； 復雜邊界條件

中圖分類號： O327； TB123 文獻標志碼：A 文章編號1004-4523（2018）05-0827-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.012

引 言

由球殼、圓柱殼、雙曲率殼等組成的旋轉殼在航空航天、船舶、民用機械等各個領域應用廣泛。開展旋轉組合結構自由振動特性分析研究，獲取旋轉組合結構復雜邊界條件下典型特征頻率，對指導相應的工程應用具有重要的意義。在此研究方面，Hu等[1]提出一種分段整合法來分析圓錐-圓柱組合殼的自由振動特性；Irie等[2]使用傳遞矩陣法研究了錐殼-環形板狀圓柱殼組合結構的自由振動特性；靳國永等[3-4]基于改進傅里葉級數法，研究了彈性約束條件下復合雙曲率旋轉殼的振動特性。鄒明松等[5]基于經典彈性板殼理論，通過解析方法求解了兩端圓板封閉的圓柱殼自由振動。王大鈞等[6]用模態綜合法計算了任意形狀曲線旋轉殼的固有振動特性。瞿葉高等[7]提出了一種區域分解法，研究了由錐殼、圓柱殼、球殼和環形加強筋組成的各種組合殼結構的振動特性。

由上述分析可知，一方面現有文獻對復雜邊界條件下旋轉組合結構自由振動特性研究較少；另一方面，現有研究方法在位移函數選取等方面主要基于特殊的多項式（如切夫雪比多項式等），尚未形成統一的形式。為此，本文基于Jacobi-Ritz法，開展旋轉組合結構自由振動特性分析，旨在提出統一的求解公式，為復雜邊界條件旋轉組合結構自由振動特性分析提供數據積累和方法依據。

1 理論方法

1.1 組合殼結構幾何模型 旋轉殼結構是由圓弧繞中心軸旋轉而成，其幾何結構如圖1所示。

如圖1所示，厚度為h的旋轉殼由母線s0s1繞軸線Oζ旋轉而成。L為旋轉殼結構總長，φ為徑向角度，θ為周向角度，Rφ為徑向曲率半徑，Rθ為周向曲率半徑，R為水平半徑，且R=Rθsinφ。旋轉組合剖面結構如圖2所示。

假定每個旋轉殼都由均質和各向同性的材料組成，且組合殼子結構厚度均相同。左右旋轉殼由球坐標系Ol，r-φl，r，θl，r，zl，r描述，其中φ為徑向坐標，θ為圓周坐標；中間圓柱殼用柱坐標系Oc-x，θc，zc描述，其半徑為Rc，長度為Lc，下標l，r和c分別代表左殼、右殼和圓柱殼。各個殼組的位移分量分別表示為uξ， vξ， uξ （ξ=l，c，r）。組合結構沿徑向方向在交界面處劃分為幾個典型子結構，再在此基礎上，將子結構沿徑向方向進一步分解為Nl，Nc，Nr個殼段，Ni表示線彈簧間第i個分段數。

由表2可知，隨著子結構劃分殼段數的不斷增加，旋轉組合結構無量綱頻率參數逐漸趨于收斂；同時，當子結構分段數等于4時，旋轉組合結構無量綱頻率參數已具有較高的精度，此后繼續增加子結構分段數對計算精度影響可忽略不計。

2.1.3 Jacobi多項式參數的影響

旋轉組合殼結構材料和結構參數與圖3相同；分段數Nl = Nc= Nr=5，M=N=8，以α=β=0為基準來衡量自由邊界條件下不同Jacobi多項式參數取值對計算結果影響的相對誤差。

由圖4可知，其他參數一定條件下，Jacobi多項式參數α，β對旋轉組合結構振動特性的影響較小，不同Jacobi多項式參數下的最大相對誤差不大于6×10-5，對計算結果的影響可忽略不計。也就是說。雅克比多項式在本文方法可以任意取值，而不僅僅局限于改進傅里葉方法或區域能量分解方法所采用的切夫雪比多項式、勒讓德多項式等，即本文提出的統一的雅克比多項式來求解旋轉組合結構自由振動分析是完全可行的。

2.2 計算結果的有效性驗證

為驗證本方法計算結果的有效性，將經典邊界條件（F-F，F-C，C-C）下旋轉組合結構無量綱頻率參數與有限元仿真結果進行比對。組合殼結構參數取值與2.1節（1）處相同，有限元（ABAQUS）分析網格類型為S4R，網格數量為33928，對比結果如表3所示。

由表3可知，本文方法計算結果與有限元仿真結果具有較好的一致性，最大相對誤差不超過0.66%，由此可證得本方法的有效性；從計算效率上來看，本文方法相較于傳統有限元法體現出了巨大的優勢，本文方法基于MATLAB程序總求解時間僅需2.5 s （ PC，3.4 GHz），而在同一計算機下，有限元求解時間超過1 min，若需計算較低周向波數下較高階的模態，求解效率將更低。本文方法模態圖與有限元結果對比如圖6所示。

2.3 復雜邊界條件下旋轉組合結構自由振動特性分析 基于上述研究內容，開展復雜邊界條件（SD-SD，SS-SS，E1-E1，E2-E2，E3-E3，SD-E1，SD-E2，SD-E3，SS-E1，SS-E2，SS-E3，E1-E2，E1-E3，E2-E3）下旋轉組合結構自由振動特性研究，旨在為復雜邊界條件下旋轉組合結構自由振動分析提供數據參考。

由表4～6中可知，邊界條件對旋轉組合結構（球-柱-球組合結構）低階周向波數的振動特性影響較大，但隨著周向波數的不斷增加，邊界條件對旋轉組合結構（球-柱-球組合結構）振動特性的影響逐漸減弱。

3 結 論

本文提出Jacobi-Ritz法來求解旋轉組合殼結構的自由振動，組合殼結構被劃分為幾種典型子結構，再將子結構沿旋轉軸方向劃分為若干殼段，各殼段的位移分量由Jacobi多項式和Fourier級數表示，并使用彈簧剛度法對組合殼結構的邊界條件和連續性條件進行模擬，最后通過Rayleigh-Ritz法計算求解。通過與FEM法及現有文獻計算結果進行對比，驗證了本文方法的收斂性和有效性。同時，由于本文方法主要基于Flügge薄殼理論進行推導，故本文方法現階段主要適用于薄殼結構，暫不能處理中厚結構振動問題。通過本文研究，可得如下主要結論：

1. 旋轉組合結構收斂性與彈簧剛度值、子結構殼段數、Jacobi多項式參數及最大容許函數選取等有關。當彈簧剛度值kt≥102E時，組合殼結構收斂，可視為剛性邊界條件；當彈簧剛度值kt=0時，可視為自由邊界條件；當彈簧剛度值10-4E≤kt≤10-2E可視為彈性邊界條件。子結構殼段數劃分越多，組合殼結構收斂性越好，計及求解效率等因素，子結構殼段數劃分不宜過大。Jacobi多項式參數對組合殼結構求解結果影響較小，可忽略不計。

2. 典型邊界條件下，基于Jacobi-Ritz法的球-柱-球組合結構振動特性分析結果與現有文獻及有限元法分析結果吻合較好，且較有限元法有更高的求解效率。

3. 給出了復雜邊界條件下球-柱-球組合結構自由振動特性規律，為球-柱-球組合結構自由振動特性分析提供了數據積累及方法依據。

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Abstract： A semi-analytical method for the analysis of free vibration characteristics of combined shells in revolution is proposed. Firstly， the combined shells of revolution are divided into substructures at the interface. Secondly， the substructures are further divided into several shell segments along the radial direction， with the displacement function of each shell segment represented by the Jacobi polynomials along the axis and the Fourier series along the radial direction. The continuity conditions at the interface and the boundary conditions at the two ends of the combined shells are modeled by using different spring stiffness. Finally， the free vibration frequencies of the combined shell structures are obtained based on Rayleigh-Ritz method. The joined spherical-cylindrical-spherical structure is used as an example. Based on the method of Jacobi-Ritz， the analysis of the free vibration characteristics of a joined spherical-cylindrical-spherical structure is carried out. The results show that the present method has good convergence and a good agreement with the method of FEM. The research results of this paper provide a useful method and data accumulation preparation for free vibration characteristics analysis of combined shells of revolution under complex boundary conditions.

Key words： free vibration； combined shells of revolution； Jacobi-Ritz method； complex boundary condition

作者簡介： 龐福振（1980—），男，教授，博士生導師。電話：13945074820；E-mail：pangfuzhen@hrbeu.edu.cn

通訊作者： 李海超（1988—），男，博士研究生。電話：18845636873；E-mail：lihaichao@hrbeu.edu.cn