固定滄枘岜囈綞ǔぶ嵯蛞貧繩振動的行波邊界反射疊加法

陳恩偉 張凱 王軍

摘要： 可簡化為軸向移動繩系統的各類工程設備，諸如繩系衛星纜繩、纜車索道、物料輸送帶等，因其橫向振動問題而備受關注，當前針對軸向移動繩的研究，大多集中在典型邊界條件的基礎上，而對于非典型邊界條件的研究十分缺乏。基于經典的行波反射理論，以非典型邊界的軸向移動繩為例，研究一種行波邊界反射疊加法，通過左右行波在移動繩兩側邊界的反射，結合其初始條件以及兩側邊界連續性條件獲得反射波的表達式，進而分三個階段推導反射過程，最終通過疊加得出移動繩橫向振動的解析表達式。以一端固定，另一端帶有阻尼的定長度軸向移動繩為算例，結合中心差分法，通過MATLAB仿真，驗證了行波邊界反射疊加法的正確性和優越性。

關鍵詞： 軸向繩移系統； 非典型邊界； 橫向振動； 邊界反射

中圖分類號： TB123； O327； TH132.3+3 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2018）05-0870-05

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.017

引 言

傳送帶、升降機電梯、帶鋸、繩系衛星等工程設備廣泛應用于生產、生活之中，但是這些工程設備的振動問題所導致的安全隱患極大地限制了此類工程設備的應用推廣。上述工程設備的振動問題的研究，可歸結為軸向移動繩系模型的研究。國內外學者在軸向移動繩橫向振動建模、計算、邊界反射方面做了大量的研究工作。Wickert和Mote[1]利用復雜的模態分析和格林函數對任意激勵和初始條件的軸向移動系統的振動響應的表達式進行了精確的推導；Ram和Caldwell[2]用達朗貝爾法和鏡像法研究了一種繩移系統的自由振動，繩子受到張力在兩個支撐之間被拉伸，而兩端的支撐以相同大小的速度相向運動。Liu和Rincon[3]研究了端點固定在移動邊界上的軸向移動繩，系統模型考慮了繩子振動時繩長的變化和彈性繩的非線性行為，并用有限差分近似法求解張力時變的振動方程；Chen和Ferguson[4]利用拉格朗日方程建立軸向移動繩模型，計算在模態坐標下移動繩的橫向振動能量，發現繩的能量變化率隨著繩長的變化而非線性變化，且隨著一階固有頻率的變化而線性變化。這些文獻中對于軸向移動繩的研究，邊界條件中不包含質量、彈簧、阻尼等非典型邊界條件，僅對固定、自由等簡單的典型邊界條件下的軸向繩系統進行研究。

最近，Akkaya 和 van Horssen[5]基于D′Alembert公式，獲得了具有典型與非典型邊界條件下的半無限長移動繩系的橫向振動的精確解。此外，作者還分析了基于不同邊界條件的反射與阻尼特性。Tang和Ying[6]基于波動理論分析了軸向移動繩的動力特性，用傳遞函數公式和波動的理念得到了軸向繩移系統的自由振動響應。Gaiko和van Horssen[7]研究了幾種不同類型的邊界半無限長移動繩系統的邊界反射。以上軸向繩系模型的研究雖涉及非典型邊界條件，但僅在半無限邊界條件下，所以對于完整非典型邊界條件下的軸向移動繩的研究依舊具有重大理論意義。

本文所研究的“行波邊界反射疊加法”基于經典的“行波反射法”理論[8]，由于研究對象存在軸向移動速度，使得其左右行波、反射波，行波運行周期均與經典的“行波反射法”有不同的形式。行波邊界反射疊加法利用初始左、右行波以及其多次在兩側邊界的反射波的公式進行疊加得到繩系運動的解析解。基于一端固定、另一端帶有阻尼的非典型邊界條件的軸向移動彈性繩系統為模型，利用Hamilton′s原理獲得運動方程。同時，為了獲得邊界解的連續性，引入復雜的邊界連續性條件，考慮繩波在一個周期內進行了多次邊界反射歷程，根據時間的先后將此歷程分為三個階段，并針對每一個階段分別求解。最后根據Lee和Mote Jr[9]所做的工作，結合本文的工作進行相互驗證，從而證明了本文理論推導的準確性。本文方法只給出一種非典型邊界條件的響應推導，但方法原理對于其他非典型邊界條件同樣適用。

1 運動方程及邊界反射推導

一端帶有黏性阻尼器的軸向移動彈性繩模型如圖1所示，其中繩密度為ρ，繩子張力為T，軸向繩移速度為v，繩長為l0，右邊界處阻尼系數為η，u（x，t）為軸向移動繩在坐標x處與時間t時的橫向位移。