點的合成運動中兩車相對運動問題探討

姜銳紅 / 上海電機學院

點的合成運動中兩車相對運動問題探討

姜銳紅 / 上海電機學院

理論力學是工程技術類專業的重要基礎課程，準確理解基本概念及基本理論，是將所學知識應用于解決實際問題的關鍵。點的合成運動是運動學中的重點，也是難點。其中動參考系的選擇，以及牽連點的正確判斷分析往往是困擾學生的障礙。本文針對兩車相對運動問題的求解，以及對其難點的剖析，指出容易造成解題錯誤的原因，對學習點的合成運動具有一定的指導意義。

點的合成運動；速度合成；加速度合成

1.引言

理論力學是機械工程、土木建筑、水利工程、航空航天等本科生必修的技術基礎課程，是后續力學課程以及專業基礎課程的理論基礎[1]。然而對許多學生來講，學習理論力學的過程并不輕松，普遍存在對基本概念、基本理論以及分析方法等理解不透徹，不能靈活應用所學知識解決問題。如何突破理論力學學習的難點，促進學生對基本概念的理解，提高應用所學理論知識分析解決問題的能力，是理論力學教學研究的重要內容。點的合成運動是運動學部分的重點也是難點[2]，動參考系的選擇，牽連點的位置確定，牽連速度、牽連加速度以及相對速度、相對加速度等重要的基本概念不清晰往往是學生學習運動學的最主要障礙[4]。本文通過對運動學中兩車相對運動問題的分析，分別從牽連運動是定軸轉動和平移運動兩個角度分析了點的速度合成與加速度合成方法，指出學生在學習這部分知識時容易犯的錯誤，對點的運動合成知識的學習理解具有一定的指導意義。

2.兩車相對運動速度與加速度

文獻[3]第七章習題7-15的兩車相對運動問題，可以分別從牽連運動為定軸轉動和平移運動兩種情況作分析，基本概括了點的合成運動知識點，因此選用該習題為例進行分析。

如圖1所示，兩車在公路上行駛速度均恒為72km/h。圖示瞬時，B車中的人員觀察到A車的速度、加速度以及A車中的人員觀察到B車的速度、加速度分別為多大？

（1）B車人員觀察A車

在B車中的人員觀察到的A車運動即A車相對B車的運動，應將動參考系固定于B車，此時B車不再是個點，而是無限延伸的剛體，牽連運動為B車的定軸轉動。根據點的速度合成公式：

根據點的加速度合成公式

圖1 A、B兩車運動示意

圖2 A車相對B車運動速度圖解

圖3 A車相對B車運動加速度圖解

（2）A車人員觀察B車

A車人員觀察到的B車運動即B車相對于A車的運動情況，應將A車作為動參考系，牽連運動為無限延伸后的A車作剛體平移運動，此時速度合成公式仍然為式(2-1)，其中，根據圖4-a所示速度合成矢量關系可以解得A車人員觀察到的B車速度：與水平軸的夾角

圖4 B車相對A車速度與加速度矢量圖解

由于此時B點的絕對運動為圓周運動，所以加速度合成公式(1-2)變形為：，其中：，如圖4-b，解得：

3.難點分析

上述兩車相對運動問題的正確解答關鍵在于：

（1）動參考系的正確選擇。很多同學會錯誤地認為無論A車相對B車還是B車相對A車，相對速度與加速度大小均應相同，只是方向相反而已，所以動參考系定在哪個車上都不會影響計算結果。事實上由上述計算結果得出，觀察者在不同的車上，得到的相對速度與相對加速度，無論大小還是方位均不同。其原因在于，選擇不同的動參考系，牽連運動形式不同。

（2）牽連點，牽連速度與加速度的正確理解。當觀察者在B車時，應當將B車看作剛體對待，這個剛體作定軸轉動，牽連點與B車不重合時，牽連速度、加速度不等于B車速度、加速度，并且會有科氏加速度產生。此處特別容易犯的錯誤是，直接把B車位置當作牽連點，將B車速度、加速度當作牽連速度、牽連加速度。而觀察者在A車時，將A車看作剛體，這個剛體做平移運動，雖然牽連點與A車不重合，牽連速度、加速度與A車速度、加速度分別相等，且沒有科氏加速度。

4.結束語

掌握理論力學的關鍵在于準確理解基本概念，不能盲目刷題，只要做到對解題過程中的每一步都思考清楚對應所學的哪一個基本理論，理論力學的學習將會事半功倍。

[1]張世勛,賴永星.如何提高理論力學的教學質量和學習興趣[J].中州大學學報,2012,29(4).

[2]唐紅春,王璐，史永高.理論力學點的合成運動體系教學探索及實踐[J].江蘇建筑職業技術學院學報,2014,14(1).

[3]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學[M].北京：高等教育出版社,2009,172-198.

姜銳紅：（1973.9—）女，博士，講師，任教于上海電機學院機械學院，主要教授《理論力學》與《材料力學》課程，從事機電設備故障診斷研究。