考慮運動受限的履帶式移動機器人軌跡跟蹤控制

韓 俊，任國全，李冬偉

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

考慮運動受限的履帶式移動機器人軌跡跟蹤控制

韓 俊，任國全，李冬偉

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

針對履帶式移動機器人的軌跡跟蹤控制問題進行研究，首先，建立了履帶式移動機器人的運動學模型和跟蹤誤差模型；其次，設計了轉速有限時間控制和線速度滑模控制的軌跡跟蹤控制律，并給出了考慮運動受限作用下的控制律修正表達式；最后，基于MATLAB對所提控制律進行仿真，對比分析了不考慮運動受限情況下跟蹤控制效果;結果表明，設計的跟蹤控制律能夠實現履帶式移動機器人對圓軌跡的有效跟蹤，且考慮運動受限作用的控制律更加符合實際;文章研究分析了運動受限作用對于移動機器人軌跡跟蹤控制的影響，分析結果對其他移動機器人的運動控制研究具有參考價值。

履帶式移動機器人；軌跡跟蹤；有限時間控制；滑模控制；運動受限

0 引言

近年來，由于良好的地面適應能力，履帶式移動機器人在災難救援、反恐防暴、深海采礦等非結構化環境中應用得越來越廣泛，其運動控制的研究也受到人們越來越多的關注[1-3]。在移動機器人的運動控制研究中，軌跡跟蹤問題一直是一個的重要課題，很多學者都對移動機器人的軌跡跟蹤控制問題進行了深入研究[4-7]。Amidi最早提出了3種比較實用的跟蹤控制律[4]，并闡述了一種純追趕(Pure Pursuit)的軌跡跟蹤控制方法。該方法設計的控制器較為簡單，且跟蹤存在較大的穩態誤差，控制效果不佳。徐俊艷等采用分層控制的思想[5]，將移動機器人的軌跡跟蹤控制分為兩層，并分別基于Backstepping時變狀態反饋方法和Lyapunov理論設計驅動電機轉速控制器，實現了移動機器人的軌跡跟蹤，并取得了很好的實驗效果。該方法要求電機速度跟蹤精度較高，且所建模型并未考慮車輪滑轉等因素的影響，實際難以調節。駱德淵等針對移動機器人動力學的高度非線性和運動環境的不確定，提出了基于模糊邏輯的移動機器人路徑跟蹤控制方法[6]，方法對于差動轉向移動機器人的運動控制具有普適性，但其對較大曲率的軌跡跟蹤效果一般。周波等對野外環境下履帶式移動機器人的滑動效應進行了建模研究，采用基于SR-UKF的聯合估計方法對滑動參數和機器人姿態進行在線辨識和估計，并根據估計的參數設計跟蹤控制器，實現了移動機器人的軌跡跟蹤控制[7]。該方法考慮到了履帶的滑動效應，跟蹤控制精度較高，但其滑動參數的估計容易累計誤差，需要較高精度的位姿傳感器。張揚名等設計了基于有限時間控制的滑模跟蹤控制器[8]，實現了對輪式移動機器人的軌跡跟蹤控制。該方法基于有限時間的控制使得跟蹤誤差收斂最為理想化，但其并未考慮控制量超過機器人最大限度的問題，即運動受限問題。

所謂運動受限，是指在實際情況下，由于機器人的電機功率、機械結構、地面力學以及保護機器人的要求等等原因，移動機器人不可能以任意大的速度和加速度平動或轉動[12]。考慮到移動機器人的運動學約束，引入運動受限策略對移動機器人的跟蹤控制律進行修正，對保證機器人的運動平滑是十分必要的。但目前的研究大多忽視了這一約束條件[7-10]，或者只考慮到速度約束而沒有到考慮加速度受限[11]。

本文對履帶式移動機器人的軌跡跟蹤控制問題進行研究，首先基于機器人的運動學模型和有限時間控制，設計了機器人的滑模控制器，然后給出了考慮運動受限作用的控制律修正表達式。通過仿真實驗，對比分析了考慮運動受限和不考慮運動受限，兩種情況下的跟蹤控制效果，研究了運動受限作用的影響。

1 運動學模型和跟蹤誤差模型

1.1 坐標系及運動學建模

圖1 坐標系及跟蹤誤差示意圖

根據圖1所示，履帶式移動機器人的運動學方程可描述為：

(1)

若履帶式移動機器人的兩側履帶的主動輪轉速分別為ωL和ωR，主動輪半徑均為r，履帶中心距為B，忽略履帶的滑動效應，則有：

(2)

式(1)和式(2)便組成了履帶式機器人的簡單運動學模型。該模型簡單實用，便于運動控制器的設計，是目前應用最為廣泛的移動機器人模型。

將式(2)改寫為矩陣的形式，可得η=T·u。式中η=(v,ω)T為履帶式移動機器人的中間控制輸入，u=(ωL,ωR)T為履帶式移動機器人的直接控制輸入，T為兩者的變換矩陣，且:

(3)

由上式，可在求得中間控制輸入η后，通過變換公式：

u=T-1·η

(4)

求出履帶式移動機器人兩側履帶主動輪實際的控制輸入(ωL,ωR)T。

1.2 跡跟蹤問題的描述及跟蹤誤差模型

(5)

對 (5) 式兩邊求導，可得履帶式移動機器人軌跡跟蹤的誤差微分方程為[5]：

(6)

履帶式移動機器人的軌跡跟蹤控制問題可描述為：在任意初始位姿下，尋求合適的有界控制輸入q=(v,ω)T，使得位姿誤差向量pe=(xe,ye,θe)T有界，且有:

(7)

2 軌跡跟蹤控制律設計

張揚名等[8]針對輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題，通過設計ω的控制律，使機器人先在有限時間內跟蹤到參考軌跡期望的方向，并在確定方向的情況下，通過設計v的控制律，使移動機器人運動到參考軌跡期望的位置。本文參考這個控制律設計的思想，將履帶式移動機器人的跟蹤控制分為兩個部分，分別為角速度有限時間控制律設計和線速度滑模跟蹤控制律設計。

2.1 角速度有限時間控制律設計

所謂有限時間控制，就是指在有限時間將系統控制到平衡點。單從系統收斂性能來看，有限時間收斂的控制律是最理想的，但是有限時間系統對應的微分方程常常是分數冪的微分方程，從而導致其穩定性分析十分復雜，因此有限時間控制往往只用于低階系統。為此，本文先只針對航向角誤差θe的一階系統，進行有限時間控制律設計。首先給出相關引理。

(8)

由式(8)可解得初始狀態x(0)≠0時，任意時刻的系統狀態變量x(t)，系統可在有限時間ts內達到平衡狀態x=0，其中：

(9)

考慮到移動機器人的運動學特性，可將移動機器人系統的航向角誤差θe按照引理中的一階系統設計有限時間控制律進行鎮定。這里選擇ω的控制律為：

(10)

其中：θe為狀態變量，α>0，p、q為正奇數且p

(11)

由引理可知，θe可在ω的控制律(10)的作用下在有限時間ts內達到θe=0的平衡態，而此時有ω=ωd。可以求得：

(12)

這樣就完成了航向角θ和期望角速度ωd在有限時間內的跟蹤控制。

2.2 線速度滑模變結構控制律設計

對履帶式移動機器人軌跡跟蹤系統(6)式而言，在角速度有限時間控制律(10)的作用下，只要時間t>ts，則就有θe=0，ω=ωd，這時就只需考慮xe和ye這兩個狀態誤差的控制律設計，此時有：

(13)

針對式(13)描述的系統，現需要使用滑模控制技術來設計v的控制律。設計步驟如下：

1)切換函數設計。

可設計切換函數為：

s=xe-ye

(14)

通過設計滑模控制律，使s→0，即使xe收斂到ye，可實現ye→0和xe→0。證明如下：

證明：當xe=ye時，考察Lyapunov函數：

(15)

對上式求導可得：

(16)

當且僅當xe=ye=0時式(16)右端取等號，因此可以得出結論：當xe與ye相等時，系統狀態ye收斂到0，從而xe也收斂到0。

2)選擇滑模趨近律。

選擇等速趨近律，令：

(17)

為減弱抖振，采用連續函數代替符號函數：

(18)

3)滑模控制律設計。

由式(13)和式(14)，可得：

(19)

整理可得線速度v的控制律：

(20)

以上各式中，k、δ均為大于0的常數。

需要指出的是，線速度v的控制律(20)是在航向角誤差取0的條件下得到的，因此只有在θ→0的情況下，線速度v的控制律才開始發揮作用。

3 運動受限作用

這里假設履帶式移動機器人運動時最大的轉向角速度和線速度分別為ωmax和vmax，相應的最大加速度分別為βmax和amax，則根據式(10)和式(20)可對移動機器人的跟蹤控制律給出如下修正表達式：

(21)

(22)

4 仿真結果與分析

為驗證軌跡跟蹤控制器的有效性，并考察運動受限作用對軌跡跟蹤控制效果的影響，在Matlab環境下，對履帶式移動機器人進行了圓周軌跡跟蹤的仿真實驗。

跟蹤的參考軌跡為線速度和轉動角速度均為勻速的圓軌跡。取期望的參考速度vd=1.5m/s，ωd=0.6rad/s，設置速度限制為ωmax=0.8rad/s，vmax=4m/s，加速度限制為βmax=15rad/s2，a=20m/s2。圓軌跡半徑r=vd/ωd=2.5m，則參考圓軌跡位姿pd=(xd,yd,θd)T為：

(23)

設履帶式移動機器人的初始位姿為(1,1,0)，初始運動狀態為(v0,ω0)T=(1,0)T。控制參數取α=6，p=9，q=11，k=2，δ=0.02。則采用控制律(10)和(20)的不考慮運動受限的跟蹤控制，同采用控制律(21)和(22)的考慮運動受限的跟蹤控制的仿真結果對比如圖2～圖6(每組圖的(a)圖為不考慮運動受限的情況，(b)圖為考慮運動受限的情況)。

圖2 跟蹤軌跡對比圖

圖3 跟蹤狀態誤差變化曲線圖

圖4 兩側履帶主動輪轉速變化曲線圖

由以上的仿真結果，對履帶式移動機器人在考慮運動受限和不考慮運動受限兩種情況下的軌跡跟蹤討論分析如下：

1)由圖2、3可知，兩種情況下，履帶式移動機器人通過本文設計的跟蹤控制律，均可快速有效地跟蹤上參考圓軌跡，且相對位置誤差均只有一次超調；

2)由圖2可以看出，考慮運動受限的圖2(b)在跟蹤剛開始時的軌跡更加平滑，但軌跡跟蹤的超調量也更大。這是因為在運動受限作用下，移動機器人的運動速度變化的劇烈程度也相應降低。

3)由圖3可知，兩種情況下方向角誤差θe都非常很快地趨于零，這表明有限時間控制律能夠使機器人在很短的時間內跟蹤上期望的航向角，這對于航向角跟蹤要求較高的場合非常適用；

4)由圖3可以看出加入運動受限策略后，對移動機器人跟蹤控制精度影響不大，但超調量更大，完全跟蹤上參考圓軌跡的時間更長。這是因為運動受限作用使得機器人達不到原控制所需的控制速度，跟蹤的速度必然相應的變“慢”。

5)由圖4(b)可明顯的看出，左右主動輪轉速出現上限而不再繼續增大。這是因為在控制過程中觸發了運動受限的條件，移動機器人已經達到了其運動的極限。因此圖4(a)中的跟蹤狀態是以超過機器人的運動極限為前提的。由此可以看出，引入運動受限策略是十分必要的，也是更加符合實際的。

5 總結

運動受限作用是移動機器人運動控制過程中一項基本的約束，然而很多運動控制器的設計都忽略了運動受限作用。本文對履帶式移動機器人的軌跡跟蹤控制問題進行了研究，設計了履帶式移動機器人轉向角速度的有限時間控制律和縱向線速度的滑模控制律，并著重對比分析了考慮運動受限作用和不考慮運動受限作用下對于參考圓軌跡的跟蹤控制效果。討論分析的結果表明：

1)本文設計的軌跡跟蹤控制律，可實現移動機器人對參考軌跡的有效跟蹤；

2)運動受限作用使得移動機器人的跟蹤軌跡更加平滑；

3)有限時間控制律對于航向角跟蹤要求較高的場合十分適用；

4)運動受限作用并不影響跟蹤控制的跟蹤精度，但會增加控制時間；

5)在移動機器人跟蹤控制器設計的過程中，考慮運動受限作用是防止機器人超過其運動極限的必然要求。

[1] 王仲民. 移動機器人路徑規劃與軌跡跟蹤[M]. 北京: 兵器工業出版社, 2008.

[2] Kabanov A, Kramar V. Modeling and Control of Tracked Mobile Robot[J]. 2012.

[3] Moosavian S A A, Kalantari A. Experimental slip estimation for exact kinematics modeling and control of a Tracked Mobile Robot[C]. 2008.

[4] Amidi O. Integrated Mobile Robot Control[R]. Carnegie Mellon University， Robotics Institute, 1990.

[5] 徐俊艷，張培仁，程劍鋒. 基于Backstepping時變反饋和PID控制的移動機器人實時軌跡跟蹤控制[J]. 電機與控制學報,2004(1)：35-38.

[6] 駱德淵，劉 榮，李紀文. 采用模糊邏輯的移動機器人軌跡跟蹤[J]. 電子科技大學學報, 2008,37(6):943-946.

[7] 周 波，戴先中，韓建達. 野外移動機器人滑動效應的在線建模和跟蹤控制[J]. 機器人, 2011, 33(3): 265-272.

[8] 張揚名，劉國榮，楊小亮. 基于滑模變結構的移動機器人軌跡跟蹤控制[J]. 計算機工程,2013,39(5):160-164.

[9] 李會來，李小民，陳靜華. 非完整移動機器人軌跡跟蹤自適應控制器設計[J]. 傳感器與微系統,2011,30(5):104-106.

[10] 王 靜，蔣 剛. 基于EKF和Lyapunov函數的移動機器人軌跡跟蹤控制[J]. 機床與液壓, 2013(6).

[11] 閻世梁，張 華. 基于預測控制的全向移動機器人軌跡跟蹤[J]. 計算機測量與控制,2010,18(10):2281-2284.

[12] 張興會，王仲民，鄧三鵬，等. 基于控制Lyapunov函數的履帶式移動機器人軌跡跟蹤[J]. 制造業自動化,2011,33(1):202-203.

Trajectory Tracking Control for Tracked Mobile Robot with Moving Limitation

Han Jun, Ren Guoquan, Li Dongwei

(Vehicle and Electrical Engineering Department, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

To solve the trajectory tracking control problem of tracked mobile robots, firstly, the kinematic model and error model were established. Secondly, a finite-time controller of turning velocity and a sliding model controller of longitudinal velocity were designed for trajectory tracking, and the moving limitation expressions was given as well. Finally, based on Matlab, the simulation comparison results of the designed controllers with moving limitation and without moving limitation were analyzed. And the results show that the designed controller can track the reference circle trajectory effectively, and the controller with moving limitation is closer to fact. The paper studies and analyzes the influence of moving limitation on the trajectory tracking control of a mobile robot, and the analysis results have reference value for the motion control of other mobile robots.

tracked mobile robot; trajectory tracking; finite-time control; sliding model control; moving limitation

2017-03-01；

2017-03-15。

武器裝備預研基金(714005798)。

韓 俊(1991-)，男，安徽阜陽市人，碩士研究生，主要從事地面無人平臺技術方向的研究。

1671-4598(2017)12-0086-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.12.023

TP242

A