參數不確定性離散系統的魯棒性能分析

程佳欣，李宜丹

參數不確定性離散系統的魯棒性能分析

程佳欣，李宜丹

針對參數不確定性離散系統，結合Schur補引理和線性矩陣不等式研究離散系統的魯棒穩定性，得到參數不確定性離散系統穩定的性能指標滿足的條件，并證明了該方法的合理性.

離散系統；魯棒穩定；二次穩定；二次D-穩定；Schur補引理

在控制問題的實際應用過程中，為了優化控制效果，對于控制系統的要求不僅要有較好的穩定性能，還要有較好的動態性能，例如盡可能小地調節力度等［1-4］.通過將閉環系統的極點配置在復平面上的特定區域中可以達到這些過渡過程動態性能的要求［5-7］.為此，結合閉環系統動態性能來考慮，文章針對參數不確定性離散系統，利用圓盤的特性，結合連續系統的魯棒穩定性分析，來研究離散系統的魯棒穩定性分析，得到參數不確定性離散系統穩定的性能指標滿足一定條件的具體證明過程［8-12］.

1 問題描述

考慮由以下狀態方程描述的離散系統.

其中，x∈Rn是系統的狀態向量，Δ∈Ri×j是一個反映模型參數不確定性的位置矩陣，并假定其滿足ΔTΔ≤I，A、H和E是具有適當維數的未知矩陣，x0=x(0)是系統的初始條件.

其中，Q=QT＞0.

考慮復平面上中心在-α+j0，半徑為r的圓盤D(α,r)，圓盤D(α,r)總是位于系統的穩定區域中.因此，對該離散系統有-1＜-α+r＜1.

定義1［1］對給定的圓盤D(α,r)和系統（1），如果存在正定矩陣P，使得對所有滿足ΔTΔ≤I的不確定矩陣Δ，滿足

則系統（1）稱為是二次D-穩定的.

定義2［1］對給定的圓盤D( )α,r，系統（1）和性能指標（2），如果對所有滿足ΔTΔ≤I的Δ，對稱正定P滿足則矩陣P稱為是系統（1）的一個二次D-性能矩陣.

以下定理揭示了二次D-性能矩陣的作用和性質.

2 主要成果

定理1 若不確定系統（1）存在一個二次D-性能矩陣P，則該系統是二次D-穩定的.且系統的性能指標滿足

1.6 統計學分析 采用SPSS 17.0統計軟件進行統計分析，計量數據采用表示，計數資料比較采用χ2檢驗，計量資料采用t-檢驗。分析各組數據與臨床妊娠率的關系，各項精液參數指標采用多因素Logistics回歸分析，P<0.05為差異有統計學意義。

反之，如果系統（1）是二次D-穩定的，則系統必存在一個二次D-性能矩陣.

證明 假定矩陣P是系統（1）的一個二次D-性能矩陣，則從定義1和定義2即可得到系統（1）是二次D-穩定的.根據定義2和矩陣的Schur補性質，對所有允許的不確定性使得

成立.從而，對所有允許的不確定性有

成立，即

故系統（1）是二次穩定的.

定義V(x)=xTPx，則沿系統（1）的任意軌跡對V(x)進行差分有

因此有

對上式從k=0到k=∞求和，并利用系統的二次穩定性，得到

由此可以得到系統性能的上界（3）.

反之，若系統（1）是一個二次D-穩定的，則根據定義1，存在一個對稱正定矩陣P，使得對所有允許的不確定矩陣Δ，矩陣不等式

成立.對固定的矩陣Q＞0，一定存在一個足夠大的常數ρ，使得對所有允許的不確定矩陣Δ，以下的矩陣不等式成立.

定義?=ρP，則矩陣P?是正定的，且根據定義2，該矩陣就是系統（1）的一個二次D-性能矩陣.假設成立.

注意（3）式給出的性能上界依賴于初始狀態x0，為避免上界對個別初始狀態的依賴，選擇用確定性方法，即假定系統的初始狀態是未知的，但在集合中，U是一個給定的矩陣.

定理2 對給定的圓盤D( )α,r，系統（1）存在一個二次D-性能矩陣當且僅當存在標量ε＞0和一個對稱正定矩陣V，使得下面的線性矩陣不等式成立.

證明 根據定義2，系統（1）存在一個二次D-性能矩陣P，當且僅當對所有允許的不確定性，矩陣不等式（4）成立.容易驗證矩陣不等式（4）等價于

該不等式可以重新寫成

不等式（6）對滿足ΔTΔ≤I的所有不確定矩陣Δ成立，當且僅當存在標量ε＞0，使得

成立，即

對上式分別左乘和右乘矩陣

得到

記V=εP-1，應用矩陣的Schur補性質，可得上式等價于矩陣不等式（5）.

從證明可以知道，如果，是線性矩陣不等式（5）的一個可行解，則P=-1是系統（1）的一個二次D-性能矩陣.因此，離散系統的系統性能上界為

其中λmax(.)表示矩陣(.)的最大特征值.

3 結論

本文在連續系統的基礎上，討論離散系統的魯棒性能分析，由系統的二次穩定得出系統的二次D-穩定，結合線性矩陣不等式和離散系統的特性，得到系統是二次D-穩定的性能指標，給出了系統存在一個二次D-性能矩陣條件的具體證明過程.

TP13

A

1008-7974（2018）01-0032-03

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2018.02.009

2017-08-30

程佳欣，女，吉林扶余人，吉林師范大學數學學院碩士研究生（吉林 長春 130000）.

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陳衍峰）