C2?C2中的互不偏袒極大糾纏基

賈艷萍，李秀蘭

(山西大同大學量子信息科學研究所，山西大同 037009)

C2?C2中的互不偏袒極大糾纏基

賈艷萍，李秀蘭

(山西大同大學量子信息科學研究所，山西大同 037009)

互不偏袒基和極大糾纏基不僅是很有趣的數學概念也是量子信息領域的重要研究內容，其存在性至今仍然沒有得到徹底解決。通過構造2階矩陣空間中由酉矩陣組成的互不偏袒Hilbert-Schmidt基得到了C2?C2中的一組互不偏袒極大糾纏基。

互不偏袒基；極大糾纏基；量子信息

互不偏袒基是量子信息理論中的重要概念，在量子信息處理技術中有著非常重要的作用。近年來的研究表明，互不偏袒基已成為研究量子信息處理技術的重要工具之一。有著深刻的量子力學內涵。最早是Schwinger在1960年研究量子系統觀測量的互補性問題時引入的[1]。而量子系統的互補性是量子系統的基本性質之一，早在量子力學理論建立初期，Bohr在解釋波粒二象性時就指出量子系統具有互補性[2]。如果其中一種物質（比如粒子的位置）是完全確定的，那么它的互補性（比如粒子的動量）是完全不確定的。即這兩種性質彼此不相容但同時又都是不可或缺的，或者說是既互斥又互補的。

糾纏態作為一種物理資源，在量子隱形傳態、量子密鑰分配、量子計算等方面起著重要作用，其中極大糾纏態尤其重要。在有限維系統中，一個量子態，如果可以表示成，則稱是極大糾纏態[3-4]。其中分別是和的標準正交基。d?d系統中極大糾纏態一定是純態。如果中的一組標準正交基都是由極大糾纏態構成的，則稱這組基為極大糾纏基。

定義1設是的一組Hilbert-Schmidt基。若是酉矩陣，則稱Γ是Md×d的一組酉Hilbert-Schmidt基。

定義2設和是的兩組標準正交基。如果這兩組基滿足，?1≤i,j≤d。則稱它們是互不偏袒的，或稱它們是互不偏袒基（MUB）。

互不偏袒基是Hilbert空間中比較復雜的數學問題。已有文獻證明，在Cd中至多有d+1組互不偏袒基。但互不偏袒基的存在性目前只對于d≤5的情形有明確結論，對于d≥6的情形仍然沒有得到解決。構造互不偏袒基很復雜，構造互不偏袒極大糾纏基就更不容易了。

下面給出當d=d'=2時，即C2?C2空間中的一組互不偏袒極大糾纏基。

設

容易驗證B0，B1，B2中的四個矩陣都是酉矩陣，并且這些酉矩陣基構成Hilbert-Schmidt基(相差一個系數2)，即滿足

其中Ui，Uj∈Bk，k=0,1,2。通過變換

利用(2)式，分別把B0，B1，B2中的四個酉矩陣分別轉化為三組向量

[1]SCHWINGER J.Unitary operator bases[J].Proc Nat Acad Sci USA,1960,46：570-579.

[2]BOHR N.Das Quantenpostulat und die neuere entwicklung der atomistik[J].Naturwissenschaften,1928,16：245.

[3]郭鈺.量子關聯的數學刻畫[M].北京：科學出版社，2016.

[4]GUO Y,DU S P,LI X L,et al.Entangled bases with fixed Schmidt number[J].J Phys A：Math Theor,2015,48：245301.

[5]CHAKRABARTY I,AGRAWAL P,PATY A K.Locally unextendible non-maximally entangled basis[J].Quant Inf Comput,2012,12：271.

[6]NAN H,TAO Y H,LI L S,et al.Unextendible maximally entangled bases and mutually unbiased bases inCd?Cd'[J].Theor Phys,2015,54(3)：927-932.

Mutually Unbiased Maximally Entanglement Bases inC2?C2

JIA Yan-ping，LI Xiu-lan
(Institute of Quantum Information Science，Shanxi Datong University,Datong Shanxi，037009)

The mutually unbiased bases and the maximally entangled basis are not only very interesting mathematic concepts but also of crucial importance in quantum information theory.The existence of such bases still remain open by now.We propose here a group of mutually unbiased maximally entanglement bases inC2?C2.

mutually unbiased bases;Maximally entanglement basis;quantum information

O151.2,O413.1

A

1674-0874(2017)06-0016-02

2017-08-16

國家自然科學基金項目[11301312]；山西省自然科學基金項目[201701D121001]；山西大同大學博士科研啟動資助項目[2011-B-01]

賈艷萍(1982-)，女，山西朔州人，碩士，講師，研究方向：泛函分析與量子力學。

〔責任編輯 高?！?/p>