淺議樣本空間的“分割”及其應用

陳卓

摘 要：樣本空間的分割又稱為完備事件群，是本科“概率論與數理統計”課程中提出的一個概念，在高中概率教學中并沒有引進，但是它對于解釋離散型隨機變量的一些概念與性質起著至關重要的作用，因此教師可以將完備事件群在高中概率教學與解題中進行簡單應用。

關鍵詞：完備事件群；全概率公式；貝葉斯公式

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）01-0033-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.01.019

完備事件群，又稱為對樣本空間的劃分，是本科“概率論與數理統計”課程中的一個基本概念，它的定義并不復雜，非常好理解，一般出現在“條件概率”與“事件的獨立性”兩個知識點的學習之間，而這兩部分內容都包含在高中理科數學選修2-3中，但是由于高中階段對概率的學習比較粗淺，對于條件概率這一部分的內容并沒有進行更深入地學習，沒有學習全概率公式和貝葉斯公式，因此對“樣本空間的劃分”這一概念沒有提及，這對學生學習概率知識造成了一些困惑。因此，我在教學過程中，嘗試將這一內容進行簡單補充并加以應用。

一、相關概念

（一）完備事件群（樣本空間的劃分）的定義

定義：設Ω為試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件。若（i）Bi ∩ Bj=Φ，i≠j，i，j=1，2，…，n；（ii）B1 U B2 U…UBn=Ω。則稱B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分。

（二）常見完備事件群舉例

將樣本空間進行劃分，在概率模型中比較常見。例如，所有的基本事件可形成對樣本空間的一個劃分。在擲一枚質地均勻骰子的實驗中，分別以B1，B2，…，B6表示擲出點數為1，2，…，6，則所有基本事件B1，B2，…，B6滿足定義中的兩個基本條件，能對樣本空間Ω構成一個劃分。

二、對離散型隨機變量的深化理解

教材對離散型隨機變量的定義為：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。其分布列可用表格直觀地表示如下：

2.對離散型隨機變量正則性的理解

可見，利用完備事件群的概念，可對離散型隨機變量的正則性進行非常嚴密的論證，并且易于學生理解。

三、全概率公式與貝葉斯公式

高中數學教材在學習條件概率后，并沒有將乘法公式進行定義，但在“事件的相互獨立性”的學習中簡單提及了一下：

P（AB）=P（A）P（B|A）

該公式其實就是對條件概率的定義式進行簡單地移項，但是基于它，我們可以引申出概率論中非常重要、難度較大的兩個概念：全概率公式與貝葉斯公式。

（一）相關概念與公式

定理：設實驗的樣本空間為Ω，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）

該式稱為全概率公式。

在很多實際問題中不易直接求得P（A），但卻容易找到Ω的一個劃分B1，B2，…，Bn，且P（Bi）和P（A|Bi）或為已知，或容易求得，那么就可以根據全概率公式求出P（A）。

證明：因為

A=AΩ=A（B1U B2U…UBn）=AB1U AB2U…U ABn，由假設P（Bi）>0（i=1，2，…，n），且（ABi）（ABj）=Φ，，i≠j，，i，j=1，2，…，n得到

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）

=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）

另一個重要公式是下述的貝葉斯公式。

定理：設實驗的樣本空間為Ω。A為E的事件，B1，B2，…，Bn，為Ω的一個劃分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n，則

（二）應用

這兩個公式，尤其是貝葉斯公式，形式較復雜，理解難度較大，在高考題中幾乎沒有出現過，我也只在一本教輔資料上見過一題，現作為例題來研究一下這兩個公式的簡單應用。

例：已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，從100位男人和100位女人中任選一人。

（1） 求此人患色盲的概率；

（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率。

這是對上述公式的一個典型應用，第一問是全概率公式問題，第二問是貝葉斯公式問題。原書中對該題采用的是古典概型計數原理來求解，學生對解答并不是太了解，現在我利用全概率公式與貝葉斯公式對該題進行簡單解析。

解：設A1為事件“選出的人為男人”，A2為事件“選出的人為女人”，B表示事件“選出的人為色盲”。易知A1，A2是樣本空間Ω的一個劃分，且有P（A1）=P（A2）=0.5，P（B|A1）=5%，P（B|A2）=0.25%。

四、在教學過程中的補充建議

完備事件群的定義并不復雜，在學生學習過程中進行穿插導入即可，具體而言，理科生在學習選修2-3第二章第一節第一課時“離散型隨機變量及其分布列”之前，在學習完離散型隨機變量的分布列可補充完備事件群的概念，然后利用它加深對其定義的理解，并解釋其正則性。

在學習完第二章第二節第一課時“條件概率”后，建議補充乘法公式并進行應用，全概率公式和貝葉斯公式在高中階段一般不會出現，但對學有余力或進行數學競賽的學生可適當加以嘗試和練習，一方面能培養學生思維的嚴密性，另一方面對學生進入大學進一步學習概率論與數理統計課程也是大有裨益的。

參考文獻：

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[4] 茆詩松，周紀薌.概率論與數理統計（第三版）習題與解答[M].北京：中國統計出版社，2008.endprint