對一道例題的認知與思考

張秒

[摘? 要] 一題多變，有助于發展學生的思維品質，挖掘學生的思維深度和廣度. 教材中的例、習題一般都具有一定的研究價值，若能在學生認知規律基礎上加以變式，以學生為主體展開教學，定能促進思維變通，發展創造能力，提高學習效率.

[關鍵詞] 思維;推理能力;例題;平行線的性質

開學初，筆者在上蘇科版七年級下冊第七章“平面圖形認識（二）”的“探索平行線的性質”后，上了一節習題課. 課堂上對一道例題進行了5種變式延伸，現將上課實錄及個人的一些思考整理如下，以供與同行進行交流.

例題呈現

例題? 如圖1，已知AB//CD，EG平分∠BEP，FH平分∠DFE. 判斷EG與FH的位置關系，并說明理由. （例題來源：蘇科版七年級下冊151頁例1改編）

設計意圖? 本節課是蘇科版七年級下冊7.2探索平行線的性質后的一節習題課，通過本題考查學生對平行線的性質與平行線的判定的掌握情況.

探索活動

師：要判斷EG與FH是否平行可以通過圖1中的什么數量關系進行判斷？（學生獨立思考了2分鐘左右）

生1：我們可以根據同位角相等兩直線平行，也就是通過說明∠PEG與∠EFH相等來判斷EG∥FH.

生2：由AB∥CD可得∠BEP=∠DFE，根據兩直線平行，同位角相等;又因為EG平分∠BEP，FH平分∠DFE，可得∠PEG=1/2∠BEP，∠EFH=1/2∠DFE，根據等量代換可得∠PEG=∠EFH，所以EG∥FH.

說明? 在學生分析的過程中教師將圖1進行分離，分離出一些關于平行線的性質和判定的基本圖形，如圖2.

設計意圖? 《數學課程標準》（2011版）中明確指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的幾何直觀.”所謂的幾何直觀就是能利用圖形描述和分析問題，它可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中發揮著重要的作用. 通過該活動學生學會了從“數”與“形”兩個角度認識數學，同時采用數形結合的策略和從復雜的圖形中分離出基本圖形的方法，可以把復雜的數學問題變得簡明.

師：請同學們將本題的說理過程書寫出來.

生3： EG∥FH. 因為AB∥CD（已知），所以∠BEP=∠DFE（兩直線平行，同位角相等），因為EG平分∠BEP，FH平分∠DFE（已知），所以∠PEG=1/2∠BEP，∠PFH=1/2∠DFE（角平分線定義），所以∠PEG=∠PFH（等量代換），所以EG∥FH（同位角相等，兩直線平行）.

設計意圖? 通過本環節發展學生合情推理和初步的演繹推理能力. 推理在數學中具有重要的地位. 誠如《數學課程標準》（2011版）中所指出：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式. ”學習數學，就是要學習推理，推理能力是培養學生素養的重要內容，也是數學課程和課堂教學的重要目標.

變式? 如圖3，已知AB//CD，EG平分∠BEF，FH平分∠CFE. 判斷EG與FH的位置關系，并說明理由.

說明? 通過學生的探討將變式的問題進行轉化，如圖4，從而使復雜的數學問題變得簡明. 并形成以下的推理過程.

生4：EG∥FH. 因為AB∥CD（已知），所以∠BEF=∠CFE（兩直線平行，內錯角相等），因為EG平分∠BEF，FH平分∠CFE（已知），所以∠EFH=1/2∠CFE，∠FEG=1/2∠BEF（角平分線定義），所以∠EFH=∠FEG（等量代換），所以EG∥FH（內錯角相等，兩直線平行）.

設計意圖? 通過變式教學進一步發展學生對圖形的認識和空間觀念，經歷借助基本圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀;培養學生敢于表達自己的想法、敢于創新的良好的數學素養，這也體現了《數學課程標準》（2011版）的基本理念.

師：根據以上活動的探討你對例題還能做出怎樣的變式？

經過一段時間的獨立思考和小組合作，同學們得出了下面一些變式.

生5：如圖5，已知AB//CD，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE. 判斷EG與FG的位置關系，并說明理由.

師：哪位同學能對該題做出判斷并給出簡要的說理思路嗎？

生6：EG⊥FG. 因為AB∥CD（已知），所以∠BEF+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）. 因為EG平分∠BEF，FG平分∠DFE（已知），所以∠FEG=1/2∠BEF，∠EFG=1/2∠DFE（角平分線定義）. 所以∠FEG+∠EFG=1/2×180°=90°，所以∠EGF=180°-90°=90°，所以EG⊥FG.

生7：如圖6，已知AB//CD，EG平分∠BEP，FH平分∠CFE. 判斷EG與FH的位置關系，并說明理由.

師：哪位同學能對該題做出判斷并給出簡要的說理思路嗎？

生8：EG⊥FH. 如圖7，延長GE交FH于點M. （理由基本同生6所講，在此省略）

生9：如圖8，已知AB//CD，EG平分∠BEP，FH平分∠CFQ. 判斷EG與FH的位置關系，并說明理由.

師：哪位同學能對該題做出判斷并給出簡要的說理思路嗎？

生10：EG∥FH. （理由在此省略）

生11：如圖9，已知AB//CD，EG平分∠BEP，FH平分∠DFQ. 判斷EG與FH的位置關系，并說明理由.

師：哪位同學能對該題做出判斷并給出簡要的說理思路嗎？

生12：EG⊥FH. （理由在此省略）

設計意圖? 這樣的設計秉承了教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎的理念，同時充分體現了《數學課程標準》（2011版）學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、猜想、推理、歸納等數學活動過程. 通過以上問題的探究，既復習了平行線的性質也復習了兩直線位置關系的判定，達到本節課的教學目標.

教后反思

1. 本節課的設計注重學生基本數學活動經驗的積累. 通過對例題的深入分析和變式，揭示數學活動中所蘊含的數學思想. 通過將這些數學活動設計為過程性的教學目標，幫助學生在數學學習過程中獲得基本數學活動經驗. 通過該活動培養學生類比、猜想以及演繹推理的能力，發展學生的合情推理能力，充分落實《數學課程標準》（2011版）的要求. 在教學中應該注意挖掘相關聯數學對象的內在聯系，加深學生對有關知識縱向和橫向聯系的理解. 因此，教師在平時教學中要充分挖掘典型問題的價值，以此培養學生良好的思維品質.

2. “圖形與幾何”是數學的一個重要組成部分. 對于七年級學生而言，“圖形與幾何”教學設計一方面要激發學生的興趣，培養學生學習這部分內容的自信心;另一方面，要遵守《數學課程標準》（2011版）中的兩個核心關鍵詞——“幾何直觀”“推理能力”. 《數學課程標準》（2011版）指出：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式. ”學習數學就是要學習推理，具有一定的推理能力是培養學生數學素養的重要內容，也是數學課程和課堂教學的重要目標. 七年級學生正處在由感性認識向理性認識發展的過渡期，推理能力還沒有形成，而推理能力的提高是一個漸進的過程，不能急于求成. 因此，本節課筆者在學生已有認知和經驗的基礎上采取小步子、多層次，耐心地對學生進行講解和引導，引導學生多感悟、多反思，不斷激發學生參與課堂的探究活動，遵循了《數學課程標準》（2011版）的理念.

3. 教學設計應以教材為抓手. 教材中安排了大量的操作性活動，有利于學生積累數學活動經驗，發展學生空間觀念，教學中應當予以充分的重視. 要做好由實驗幾何到論證幾何的過渡，讓學生經歷“猜想—證明”的問題探索過程;要做好從感性到理性、從靜態到動態的過渡，提高學生對圖形的認知能力. 正如弗賴登塔爾曾經指出：“幾何是對空間的把握，這個空間是兒童生活、呼吸和運動的空間，在這個空間里，兒童學會去了解、探索，從而能夠更好地在其中生活、呼吸和活動. ”