利用火焰彎曲理論預測復合推進劑侵蝕函數的方法與應用

陳 軍

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

利用火焰彎曲理論預測復合推進劑侵蝕函數的方法與應用

陳 軍

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

固體火箭推進劑的侵蝕函數目前還沒有方便而有效的手段(無論理論方法還是實驗手段)來獲取,火焰彎曲理論能較好地揭示固體復合推進劑侵蝕燃燒現象,以此為基礎,建立了火焰彎曲理論侵蝕函數方程,進一步求解得到隨燃氣流速變化的侵蝕函數。通過實例驗證,該獲取侵蝕函數的方法及獲取的侵蝕函數具有較高的預示精度,滿足工程計算要求,對于研究固體推進劑的侵蝕燃燒理論、獲取固體火箭發動機侵蝕函數,以及提高固體火箭發動機內彈道預示精度,均具有重要的實際應用意義,該方法僅適用于AP復合推進劑。

內彈道;固體火箭發動機;固體推進劑;侵蝕函數;侵蝕燃燒

內彈道是固體火箭發動機的重要性能,人們從不同角度研究它,試圖提高其預示精度,如提高維度(零維到一維,甚至多維)[1]、加入兩相模型[2-3]等。而固體推進劑的侵蝕燃燒是影響固體火箭發動機內彈道性能的重要因素,同時也是燃燒學的重要研究方向。但是,侵蝕函數的準確獲取是很困難的,一方面是侵蝕燃燒現象的研究還很有爭論,另一方面還缺少方便而有效的實驗手段來測量。本文以文獻[4]中提出的用于預示AP復合推進劑侵蝕燃速的火焰彎曲理論為基礎,發展了一種能夠預測固體(AP復合推進劑)火箭發動機侵蝕函數的理論方法。

1 利用火焰彎曲理論預測固體火箭推進劑侵蝕函數的理論模型

根據火焰彎曲理論,AP復合推進劑的燃速可表示為[5]

(1)

(2)

由侵蝕函數的定義[6],可得侵蝕函數ε為

(3)

根據火焰彎曲理論,火焰彎曲角θ可表示為[5]

(4)

式中:v為平行于推進劑裝藥燃燒表面的燃氣流速;vi為推進劑燃燒時的質量加入速度。

式(3)表明,從火焰彎曲理論導出的侵蝕函數主要考慮的影響因素為燃氣流速v,同時還考慮了壓強p、推進劑性質等因素的影響。

2 火焰彎曲理論侵蝕函數方程

由推進劑燃燒理論可知,推進劑燃燒時的質量加入速度vi為[7]

(5)

式中:ρp為推進劑裝藥密度;ρ為燃氣密度;RT0為推進劑的火藥力;a和n分別為推進劑的燃速系數與燃速壓強指數。

將式(4)代入侵蝕函數表達式(3)中,整理可得:

將式(5)代入上式,可得關于侵蝕函數ε的方程為

[(K3p2)2-1]m2ε6+[2(1+K2)m-m2b2-2m(K3p2)2]ε4+
[(K3p2)2+2(1+K2)mb2-(1+K2)2]ε2-
(1+K2)2b2=0

(6)

如果視ε2為待求變量,則方程(6)為一元三次方程。由于該方程是從火焰彎曲理論推導得出的,可以稱之為火焰彎曲理論侵蝕函數方程。該方程中系數b2包含了燃氣流速v,因此,求解該方程可以得到不同流速v下的侵蝕大小,即可以得到ε-v的變化關系。

3 火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式的求解

在求解火焰彎曲理論侵蝕函數方程(6)之前,需要先擬合得出所研究固體火箭推進劑無侵蝕燃速式(2)中的系數K1,K2和K3。

以某中口徑固體火箭發動機復合推進劑為例,其無侵蝕燃速為

(7)

擬合分析得到相應系數為K1=0.811 4,K2=26.550 3和K3=0.125 1。因此,得到所研究固體火箭推進劑對應的火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式為

(8)

式(8)中壓強p的單位為MPa。

表1 各觀測點擬合殘差

圖1 燃速擬合曲線比較

4 火焰彎曲理論侵蝕函數方程的求解

求解火焰彎曲理論侵蝕函數方程(6)的目的是為了得到侵蝕函數ε-v的變化關系。求解該方程可以直接利用MATLAB求解一元三次方程的函數roots()。

取不同流速v(0～300 m/s),得到不同流速對應的侵蝕大小,結果參見表2。最后通過擬合得到ε-v的變化關系,如圖2所示,即:

ε=0.986 4+0.001 2v

(9)

表2 預測得到固體火箭推進劑侵蝕與燃氣流速的對應關系

圖2 預測得到某固體火箭推進劑侵蝕與燃氣流速的擬合曲線

5 預測侵蝕函數的分析處理

通過求解火焰彎曲理論侵蝕函數方程(6)可以預測得到固體火箭推進劑的侵蝕函數,即式(9)。為檢驗預測得到的侵蝕函數是否正確,可以與現有的侵蝕函數進行比較分析。

該固體火箭推進劑的侵蝕函數為

(10)

為方便比較,對上式進行線性擬合,可得該固體火箭推進劑侵蝕函數的擬合曲線為

ε=0.956 6+0.001 4v

(11)

比較式(9)和式(11),最大誤差為3.12%(v=0時),最小誤差為2.2%(v=300 m/s時),小于一般工程上的誤差要求,因此,該預測侵蝕函數是可以應用工程計算的。

在應用之前,還需解決臨界侵蝕流速的問題。從原侵蝕函數式(10)可知,該火箭推進劑的臨界侵蝕流速vth=75 m/s,而火焰彎曲理論預測的侵蝕函數式(9)還沒有這一數值形式。為此,還需要預先確定一個臨界侵蝕流速vth(可參考相近火箭推進劑確定,這里取vth=75 m/s)。假設侵蝕函數式(9)可表示為

(12)

式中:ε′即為變換后形式上如式(10)的侵蝕函數,α為待求系數。采用曲線積分面積相等的原理進行變換,就可以得到待求系數α,即使得:

式中:ε為預測侵蝕函數,如式(9)所示。將式(9)和式(12)代入,則可得:

積分上式,可得待求系數α=0.001 97。因此,利用火焰彎曲理論預測的侵蝕函數為

(13)

預測的侵蝕函數與原侵蝕函數式(10)相比,最大誤差為2.7%(v=300 m/s時),而當v<300 m/s時,誤差逐漸減小。

6 利用火焰彎曲理論預測侵蝕函數的應用分析

上述過程可以完全確定一個固體火箭推進劑的侵蝕函數。該方法是否具有通用性,下面再以某小口徑固體復合推進劑火箭發動機為例來說明。

首先,擬合出火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式中的系數K1,K2和K3,得到對應的火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式為

(14)

式中:壓強p的單位為MPa。

其次,求解火焰彎曲理論侵蝕函數方程(6),得到侵蝕函數ε-v的變化關系為

ε=0.986 6+0.001 1v

(15)

最后,通過變形得到利用火焰彎曲理論預測的侵蝕函數(臨界侵蝕流速vth=90 m/s是參考前面中口徑火箭發動機的數值,經過尺寸效應修正得到的)為

(16)

該侵蝕函數應用于內彈道計算的結果如圖3所示,圖中t為工作時間。

圖3 利用預測侵蝕函數計算的某固體火箭發動機工作壓強曲線與實驗數據的比較

表3 利用預測侵蝕函數計算的某固體火箭發動機工作壓強與實驗數據的比較

7 結論

通過2種固體復合推進劑火箭發動機的數據分析與應用,說明利用火焰彎曲理論預測固體火箭推進劑侵蝕函數的方法是可行的。該方法的主要過程包括3步:

①已知待研究固體火箭復合推進劑的基本燃速,擬合出火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式的系數K1、K2和K3,即首先確定出火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式;

②建立火焰彎曲理論侵蝕函數方程并求解該方程(本質上為一元三次方程),得到侵蝕函數ε-v的變化關系;

③確定臨界侵蝕流速,采用曲線積分面積相等的原理對方程進行變形得到標準形式的侵蝕函數。

在建立該方法過程中,有幾點需要說明:

①火焰彎曲理論定義火焰彎曲角θ時利用了固體推進劑垂直加入速度vi的概念。在利用該方法確定侵蝕函數時發現垂直加入速度vi的數值太小,即火焰彎曲角θ過小,夸大了侵蝕程度。為此,引入垂直加入速度vi的修正系數αi。該方法結合某中口徑固體火箭發動機的數據給出αi=40,具有良好的通用性。

②該方法沒有給出臨界侵蝕流速vth的確定方法,雖然通過火焰彎曲角可以分析出vth的大小,但得出的數值偏小,不具有實用意義。該方法參考已知某中口徑固體火箭發動機直接給出vth=75 m/s。

③對于不同尺寸的固體火箭發動機,采用侵蝕函數的尺寸效應原理[1],對上述修正系數αi和臨界侵蝕流速vth進行尺寸效應修正,即(vi)b=(Da/Db)0.2(vi)a,(vth)b=(Da/Db)0.2(vth)a。其中尺寸效應采用的尺寸D為發動機外徑;下標a,b表示2種不同尺寸的發動機。

該方法存在如下不足,需要進一步研究:

①只適用于AP復合推進劑,這是因為火焰彎曲理論只適用于AP復合推進劑。

②該方法只得出了ε-v的侵蝕函數,能滿足固體火箭發動機一維內彈道計算分析的需要。其他因素如壓強、推進劑性質等還需要深入研究。

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WEN Xin-yan.Matlab R2016a from entry to mastery[M].Beijing:Tsinghua University Press,2017.(in Chinese)

ApproachandApplicationofPredictingErosiveRatioofCompositePropellantBasedonFlameBendingTheory

CHEN Jun

(School of Mechanical Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

There is no convenient and effective means(both theory and experimental means)to obtain erosive ratio(erosive function)of solid rocket propellant.The Flame Bending Theory(FBT)can better reveal the burning erosion phenomenon of solid propellant.On this basis,the FBT erosive ratio equation was established,and further the erosive function varying with the combustion gas flow was obtained from the equation.Through the examples,the method of obtaining erosive function and the obtained erosive function have very high prediction precision and meet the requirements of engineering calculations.The method has important practical application significance to research erosion combustion theory for solid rocket propellant,acquire erosive function of solid rocket motor,and improve the prediction accuracy of internal ballistics of solid rocket motor.This method is only suitable for AP composite propellants.

internal ballistics;solid rocket engine;solid propellant;erosive ratio;erosion combustion

V435

A

1004-499X(2017)04-0081-05

2017-07-21

陳軍(1969- ),男,副教授,博士,研究方向為新型推進技術研究。E-mail:cjsky123@njust.edu.cn。