用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)思想解決實際問題中相關(guān)變化率問題

劉淑貞++曾大恒

【摘要】導(dǎo)數(shù)可以反映一個函數(shù)的變化率問題，但生活中常常遇到兩個相關(guān)變量的相關(guān)變化率問題，本文在介紹復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)的數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合實際的例子，就生產(chǎn)生活中線與面、線與體積、相關(guān)速度、經(jīng)濟變量等相關(guān)變量之間的相關(guān)變化率問題進行了較詳細的探究，具有一定的應(yīng)用價值.

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；相關(guān)變化率；實際問題

在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過程中，大部分學(xué)生都知道導(dǎo)數(shù)可以用來解決變化率的問題，大多數(shù)是要解決一個函數(shù)變量相對自變量的變化快慢問題，而實際生活中有時候是幾個相關(guān)的函數(shù)變量同時變化，面對多個相關(guān)的變量變化時，我們該如何用導(dǎo)數(shù)知識來反映它們的變化率以及相關(guān)性呢？解決這類問題的基本原理是建立在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法基礎(chǔ)之上的.下面結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法就幾個類別的相關(guān)變化率問題進行探索.

一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t

若復(fù)合函數(shù)y=f（φ（x））在點x可導(dǎo)，該復(fù)合函數(shù)由 y=f（u）及函數(shù)u=φ（x）復(fù)合而成，且在相應(yīng)的區(qū)間都可導(dǎo)，則有dydx=dydx·dudx，即yx′=yu′·ux′.

上述可見復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).我們把復(fù)合函數(shù)的這種求導(dǎo)法則也稱為鏈?zhǔn)椒▌t.解決相關(guān)變化率的一個需要注意的地方就是要把其中相關(guān)的變量看成一個復(fù)合函數(shù)，通過復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，利用已知的某變量的變化率，得出相關(guān)的變量的變化率來解決問題.

二、線與面的相關(guān)變化率問題

問題1有一石頭落在水平面上，隨即產(chǎn)生同心的波紋.若最外一圈波半徑增大率總是2 m/s，問當(dāng)半徑增大到3米時，擾動水面面積增大率是多少？如圖1所示.

圖1

分析這是一個半徑直線增大與面積增大相關(guān)變化率的問題，圓的半徑與面積具有特定的函數(shù)關(guān)系S=πr2，要注意的是這里的S是一個關(guān)于時間t的函數(shù)，同時半徑不是一個常量而是變化的，也是關(guān)于時間t的函數(shù)，因此，面積S是一個復(fù)合函數(shù)，由S（t）=πr2，r=r（t）構(gòu)成，利用復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則可得面積S的增大率就是S′（t）=（πr2）′=2πr·r′（t），其中r′（t）=2，r=3，所以S′（t）=2π×3×2=12π m2/s.即當(dāng)半徑增大率為2 m/s，增大到3米時，擾動水面面積增大率為12π m2/s.

直線的改變率導(dǎo)致面積的改變率的問題不僅局限于圓，比如，三角形的面積因邊長的變化而產(chǎn)生的變化率等，都可利用此方法求解.這方面的實際應(yīng)用也有很多，比如，已知海上原油泄漏的速度，求油的污染面積的擴散的速度等問題.

三、線與體積的相關(guān)變化率問題

圖2

問題2若水以2 m3/min的速度灌入高為10 m，開口半徑為5 m的圓錐形容器中，當(dāng)水深為6 m時，水位上升速度是多少？如圖2所示.

分析這是一個已知體積變化率求高度變化率的問題.設(shè)在時間為t時，容器中水的體積為V，水面的半徑為r，容器中水的深度為x，由圓錐的體積公式可知V=13πr2x，又r5=x10，即r=12x，代入得V=112πx3.這里的x是關(guān)于時間t的函數(shù)，即x=x（t），所以水的體積V通過中間變量x與時間t發(fā)生聯(lián)系，是時間t的復(fù)合函數(shù)，因此，對V關(guān)于時間t求導(dǎo)是一個復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的過程：

由已知V=112π[x（t）]3，

在上式中，兩端關(guān)于t求導(dǎo)數(shù)，得

dVdt=112π·3x2·dxdt，

其中dVdt是注水的體積變化率，dxdt是水深度的變化率，由題可知dVdt=2 m3/min，x=6，代入上式得dxdt=4πx2·dVdt=4π×62×2=29π≈0.071（m/min）.

所以，當(dāng)水深6 m時，水位上升速度約為0.071 m/min.

此題中通過體積的變化率dVdt與水位深度的變化率dxdt之間的關(guān)系求得了問題的解，這種是線與體積之間的相關(guān)變化率問題.這類問題可以解決，比如，由一個圓柱形桶中流出液體的體積速度求相應(yīng)的液體下降的速率等問題.

四、各相關(guān)物體之間的速度比較問題

導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是反映變化率的問題，在物理學(xué)上的含義就是用物體運行的速度來刻畫變化的快慢，我們都知道求瞬間速度時可以用求導(dǎo)的方式來解決，但實際上很多生活實際問題中的速度需要討論的是一個相關(guān)性.

問題3拋一個物體，該物體的運動軌跡是一條拋物線y=3x2，x∈（0，+∞），那么它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)變化的速度哪一個快些呢？如圖3所示.

圖3

分析同樣，這里函數(shù)中的x應(yīng)該看成是一個關(guān)于時間t的函數(shù)，因此，y=3x2是由y=3x2及x=x（t）復(fù)合而成的，對等號兩邊關(guān)于時間t求導(dǎo)得

dydt=6x·dxdt，即得dydt∶dxdt=6x，因此，在定義域內(nèi)，當(dāng)x∈0，16時，6x<1，則x軸比y軸變化要快，當(dāng)x∈16，+∞時，6x>1，則y軸比x軸變化要快，我們從上面的圖像也可以看出這種變化的特點.這種用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法解決相關(guān)速度的實際問題還有很多，比如，距離探測器跟蹤熱氣球升空的問題，已知探測器角速度，求氣球升空的速度，又如，燈光照射燈塔問題，已知燈的轉(zhuǎn)動速度，求燈光滑過岸邊的速度等，都可以用這種方法來解決.

五、其他各制約變量之間的相關(guān)變化率問題

問題4吉利汽車公司生產(chǎn)一種小型汽車配件，設(shè)市場上對此配件需求量為q，銷售的價格為p，由于多年的經(jīng)營實踐得知此配件的需求量q與價格p之間的關(guān)系近似為

q=10 000（0.5p+1）2+e-0.1p.

若配件的價格按照每年5%的比率均勻增加，現(xiàn)在銷售價格為1.00元，則此時需求量將如何變化？

分析這是經(jīng)濟學(xué)里常常遇到的需求函數(shù)，從函數(shù)關(guān)系上看是價格變動導(dǎo)致需求量變化，但價格并不是恒定的，價格p本身也是隨著時間每年5%的比率增加，因此，要求相關(guān)的需求量的變化率，與前面的方法大同小異，把銷量q看成是價格函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的思想尋求兩個相關(guān)變量的變化率的問題，這里就不詳細展開了.

六、總結(jié)

求解相關(guān)變化率問題，主要是通過復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，利用已知的某變量的變化率得出所要求變量的變化率，其關(guān)鍵是由已知條件建立一個合適的函數(shù)關(guān)系式.可以說，相關(guān)變化率問題也是建立數(shù)學(xué)模型問題之一，而建立數(shù)學(xué)模型問題對學(xué)生是相當(dāng)重要的，可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、興趣和能力，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維方式觀察事物，用數(shù)學(xué)的思維方法分析、解決實際問題.

【參考文獻】

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