函數概念與映射概念的先后順序分析

邱琳琳

【摘要】在高等數學的教學過程中，學生們首先要學習的概念就是關于函數與映射的概念，兩者之間的聯系十分密切，同時又存在著某些不同.為了研究函數概念與映射概念的先后順序問題，本文深入研究兩者的含義并且通過例題來闡釋，得到了論據較為充實、論點較為合理的結論.

【關鍵詞】函數概念；映射概念；先后順序

一、引言

在高等數學中，有很多專業術語之間存在概念交叉、同義異名等現象，對于高等數學教學者及學習者來說，能夠正確理清高等數學中的各種概念名詞對于他們的后期學習非常重要.高等數學中涉及最多的便是各種各樣的函數關系.但在面對函數概念時，學生通常會對函數（function）及映射（mapping）的概念模糊不清，再加上不同版本的教科書對函數及映射的概念定義有所差異，進一步加大了學生對函數概念及映射概念的學習難度[1].為了讓學生在學習函數與映射這部分內容的時候，能夠清晰地分辨出函數概念與映射概念的先后順序，本文對此進行了深入的研究.

二、函數、映射概念及先后關系分析

映射這一概念在數學教材中表達得十分清晰，就是兩個非空集合之間一一對應的關系，在教科書中這樣描述映射這一概念：存在兩個非空集合滿足某一種法則f，法則f使得其中一個非空集合X中的所有元素，在另外一個非空集合Y中都存在唯一的元素與之對應，兩個非空集合之間的這種法則就稱為X到Y的映射[2].通過了解映射概念的具體含義，我們可以得出這樣的結論：一是映射所描述的對象是非空集合，并且非空集合X中的所有元素都應該在Y中找到對應元素；二是非空集合Y中的元素不一定都是X中元素的對應元素，即可以存在某些剩余元素；三是非空集合X中的元素與Y中元素的對應關系只能是“一對一”或者“多對一”的關系.

雖然函數的應用在數學問題中經常見到，但是函數的概念在很多數學資料中的定義并不能達到統一.在普通高等院校的教材中對于函數的定義是：存在兩個非空數集，如果兩個非空數集之間存在某一對應關系，使得其中一個非空數集X中的每一個元素都能夠在另一個非空數集Y中找到唯一對應的元素，那么這種對應關系f則稱為集合X到集合Y的一個函數.而《中國大百科全書》稱映射與函數之間的關系為兩者本質相同，但是概念上存在差異.《數學大辭典》稱函數與映射的概念與本質都是一樣的，兩者描述的是同一類型的對應關系[3].

關于函數概念與映射概念之間的關系，本文認為可以這樣理解：函數描述的對象是非空數集，而映射描述的對象是非空集合，函數與映射之間的關系是屬于與被屬于的關系，函數一定是映射的一種，但是映射不一定就是函數[4].函數概念與映射概念之間的先后順序問題是一個值得研究的問題，能夠幫助學生更好地理解函數與映射之間的區別與內在聯系.通過上面對函數概念與映射概念的分析，可以得出這樣的結論：函數屬于映射的一種，映射卻不一定是函數，因此，映射概念要先于函數概念，函數概念是對映射概念的一種延伸與推廣.

三、相關實例分析

關于函數概念與映射概念，本文采用以下例題進行詳細闡釋.

例設A={（x，y）∣x∈R，y∈R}.如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素（y-1，x+2）和原象集合中的元素（x，y）對應，那么象（3，-4）的原象是（）.

A.（-5，5）

B.（4，-6）

C.（2，-2）

D.（-6，4）

分析由象與原象的概念可知，本題中的對應法則是f：（x，y）→（y-1，x+2），問題即：當點（y-1，x+2）是（3，-4）時，對應的x，y的值分別是多少？于是由y-1=3，x+2=-4， 可以得出x=-6，y=4， 即象（-3，4）的原象是（-6，4），選D.

在這道例題中，對應法則f就屬于映射概念的體現，但是卻不屬于函數的一種，因為在兩個非空集合當中的元素并不是數字，無法形成有效的函數關系，也就是y=f（x）這樣的函數表達形式.

四、結語

函數概念的提出有助于學生對數學問題的研究變得更加方便快捷，很多數學問題的解決都需要函數方面的知識進行解決，學生在學習函數概念的時候要提前對映射概念進行一定程度的了解與學習，只有真正了解映射的概念含義，才能對函數的學習起到事半功倍的促進作用.函數概念與映射概念之間的先后順序問題并不是為了將兩者之間的界限變得更加分明，而是為了使得函數與映射之間的關系變得更加緊密，學生通過學習其中一種概念就可以更輕松地理解另外一種概念.

【參考文獻】

[1]劉金婷，劉嘉瑞.淺議映射與函數及相關概念的異同[J].中國科技術語，2015（6）：50-52.

[2]額布日力吐，阿拉坦倉.高等數學中映射與函數概念的教學[J].大學數學，2014（3）：117-121.

[3]李瑞軍.關系—映射—反演方法在高等數學問題解決中的應用[J].菏澤學院學報，2012（2）：15-19.

[4]張新村.高中新課程標準下“函數概念”的教與學[D].蘇州：蘇州大學，2010.