從一道教材例題的教學看核心素養培育

張天平

數學與解題有著不解之緣.教師要善于把解題的學問提升到一般解題方法論的高度來認識，然后再用以指導學生的練習.在解題中引入興趣激發機制，誘發學生的最佳解題動機.充分發揮他們的主動性和積極性，使他們既能提高解題能力，又能階段性地接受一般數學思想方法的熏陶，自我增進數學素養.俗話說，“道高一尺，魔高一丈”.一般解題方法的教學正是攻克“題海戰術”的最有力的武器.在數學教學過程中，我們自覺地遵循“數學核心素養的培育”，有意識地引導學生去發掘數學現象，主動觀察數學現象，能獲得“理性精神”的熏陶，用好教材例題，充分發揮教材的作用.下面是對人教版數學選修4-4第28頁例題1的處理方法.

例1在橢圓x29+y24=1上求一點M，使點M到直線x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離.

教師：各小組考慮考慮，橢圓上的點意味著什么？距離最小怎樣表達？

思考片刻，第3組學生甲站起來：將橢圓轉化成參數方程；然后在橢圓上任取一點M（3cosθ，2sinθ），利用點到直線 x+2y-10=0的距離公式求得最小值是5；最大值是35；并且M位于95，85時取到最小值5，位于-95，-85時取到最大值35.

教師：還有其他的方法嗎？

第5組學生乙：不用參數方程，直接用普通方程也可以.

教師：你上來說，走到講臺上邊講邊寫出來：

解在橢圓x29+y24=1上任取一點M（x0，y0），用點到直線x+2y-10=0的距離公式得：

d=|x0+2y0-10|5.

又4x20+9y20=36y0=29-x203，代入上式得

d=|3x0+49-x20-30|35.

令：f（x0）=3x0+49-x20-30

f′（x0）=3+4-2x029-x20.

令：f′（x0）=0x0=±95y0=±85.

結合圖像知：M位于95，85時：最小距離是5；M位于-95，-85時：最大距離是35.

教師：比較一下兩種解法.

第一組學生：第一解法比第二解法簡便，但需要引參.可什么情況下引參我們很難把握；當然橢圓有它的參數方程的特性；若是其他函數關系式（軌跡曲線）呢？乙的解法是一種通法.這道題我們小組認為還可這樣做：平移直線法：

設與直線x+2y-10=0平行的直線為x+2y+b=0，并且該直線與橢圓相切.然后將直線x+2y+b=0x=-2y-b，代入橢圓方程得25y2+16by+4b2-36=0.

由Δ=（16b）2-4·25·（4b2-36）=0b=±5.

當b=5時：兩平行線間的距離為5；

此時切點為：M95，85；

當b=-5時：兩平行線間的距離為35；

此時切點為：M-95，-85.

教師：很好，這也是我們過去研究直線與圓錐曲線的關系的一種方法.

這時另一組學生組長站起來：說到切線，還可以從切點考慮：在培優班上教師講過，圓錐曲線的求導要用到隱函數求導法則，把y看成是x的函數求導.

教師：上來完成.

將直線x+2y-10=0平移與橢圓相切于M（x0，y0），則

由4x20+9y20=368x0+18y0·yx′=0.

又在點M（x0，y0）處：yx′=-12，所以y0=89x0，

然后將y0=89x0，代入4x20+9y20=36x0=±95和 y0=±85，

即：兩切點為：M95，85和M-95，-85.

最后用點到直線x+2y-10=0的距離公式求得：最小值5；最大值35.

教師總結：很好.我們通過教材的這道例題從本質上探究合情推理、邏輯推理和一般解題方法之間的關系.每名同學都認真思考，從不同的角度、不同的方法審視分析同一題中的數量關系，用不同的解答求得相同結果的思維過程，是提高我們思維能力的有效途徑.它能激起我們去發現去創造的求知欲；加深理解我們對所學知識的聯系，訓練我們對數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉我們思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創性.這對同學們的數學核心素養的提高有著極其重要的意義.

教師的教學方法應靈活多樣，教學過程是師生交流，共同發展的互動過程，要通過討論、研究、實驗等多種教學組織形式，引導學生積極主動地學習，并能獨立思考，自主探究，親身經歷知識的形成過程.培養學生掌握和運用知識的能力.教學中誘發一題多解，溝通新舊知識聯系，達到發展學生思維，提高學生興趣，定能形成有效課堂，高效課堂.數學核心素養的培育將是一個長期的科研課題.endprint