學材再建構 課堂再升級

朱愛平

[摘? 要] 教學中應遵循“學法三結合，學材再建構，學程重生成”的規則. 單元教學是在理解的基礎上重組教材，從“教教材”到“用教材教”，同時在過程中滲透數學思想和方法，得到學習數學的通法.

[關鍵詞] 學材再建構;學情;自主建構

在2018年4月15號到4月17號為期三天的第三屆李庾南實驗學校數學優課評比活動中，涉及三節學材建構的課題，初賽課題“24.2.1? 點和圓的位置關系”和決賽課題“26.1.1? 反比例函數”“28.1銳角三角函數”二選一. 在決賽中筆者抽到了第二節課，比賽的要求是充分體現以學生為主體，在師生合作中學會學習，學會自主建構發展的核心理念，遵循“學法三結合，學材再建構，學程重生成”的規則，著重推行單元教學，從“教教材”到“用教材教”，同時在過程中滲透數學思想和方法，得到學習數學的通法.

現以“28.1銳角三角函數”為例，給出課堂實錄，請同行一起研討.

問題引領，平行遷移

問題是思維的導火線，課堂教學過程中，教師采用問題的形式啟發學生的思考，引領學生的思維方向，讓學生在問題的引領下學會思考、學會對比、學會遷移、學會建構. 這種學會是自發的、感悟的、漸進的，是學生學習能力真正提升的關鍵所在. 比如本節課，在第一環節就采用如下問題.

師：請同學看圖1，今天老師給你們帶來了什么圖形？

生1：直角三角形.

老師板書：在Rt△ABC中，∠C=90°.

師：這個直角三角形除了∠C=90°，還有哪些結論呢？

生2：∠A+∠B=90°，a²+b²=c².

師：我們學習了直角三角形銳角的關系和邊的關系，那么銳角和邊又有什么關系呢？這節課開始我們就來學習直角三角形銳角和邊的關系（板書章節標題“28.1銳角三角函數”）.

自主生成，形成概念

自主生成，水到渠成地形成概念才是真正的自主架構. 在教師問題的啟發下，學生的思維層層遞進，概念也漸漸明朗，最終自發地建構新的概念，呈現新的認知.

師：銳角以∠A為研究對象，AB為斜邊，BC，AC為直角邊，為了區分，我們把BC叫作∠A的對邊，AC叫作∠A的鄰邊. （如圖2）

教師拿一個大的三角板和學生用的三角板（都含有30°）提問：請同學們觀察一下這兩個三角形有什么相同點，又有什么不同點.

生1：它們的角度相同，但邊長不等.

師：角度相同，但是邊長不等，在邊長不等的表面現象下，是否隱藏著不變的量呢？

（生疑惑中）

師：請問在大的三角形中，這個銳角是多少度？你會聯想到什么？

生異口同聲：30°，30°所對的直角邊是斜邊的一半.

師：那么你們發現了什么呢？

生2：30°角的對邊與斜邊的比值是確定的.

（教師板書搭出表格的框架）

各個小組接二連三地發現了一些邊的比值是確定的，老師都給予了肯定.

師：∠A的對邊、鄰邊和斜邊，兩兩組合有幾種？那么它們的比值有幾種？它們之間的關系又是什么？

生3：∠A的對邊與斜邊;∠A的鄰邊與斜邊，∠A的對邊與∠A的鄰邊，一共有三種組合，比值的順序不同，每種組合有兩種比值，它們互為倒數，一共是六個比值.

（教師進一步完善表格的框架和數值）

生齊聲回答：有！

（課堂進入了小高潮）

師：我們一起運用幾何畫板實驗驗證一下，是否∠A取定一般的銳角，這些比值還是唯一確定的.

師：如圖3，此時的∠A為54.93°，我改變三角形的大小，請同學觀察圖旁的兩組數據，你發現了什么？

生6：我發現當∠A取定為54.93°，三邊的長度可以變化，但是這些邊的比值是不變的.

師：如圖4，此時∠A為66.28°，觀察得出結論.

生7：邊長變，而三組邊的比值唯一確定.

師：當我們學習相似以后，還可以很方便地通過推理證明得出猜想.

生齊答：函數.

師：這些邊的比都是∠A的函數，我們把這些函數叫作∠A的銳角三角函數.

（搭出板書框架）

教師給出了正弦、余弦、正切的定義和符號表示并進行了表格的完善.

師生一起朗讀了正弦、余弦、正切的定義和符號表示形式，強調記憶方法：正即正對即對邊，勾股弦中弦記為斜邊.

鞏固概念，生成新知

溫故而知新、知新而啟思、啟思而啟智，在數學課堂中，及時鞏固概念是必需的，并且在鞏固概念的基礎上再次啟發思考，再次自主建構新知. 本節課中筆者進行了如下設計.

請思考問題1：如圖5，求直角三角形兩個銳角的正弦值、余弦值和正切值.

sinA=________;sinB=________;

cosA=________;cosB=________;

tanA=________;tanB=________.

師提問：（1）觀察這里的六個數值，你有什么發現？（2）能把你的發現用語言概括一下嗎？

sinA=________;sinB=________;

cosA=________;cosB=________;

tanA=________;tanB= ________.

師：通過這個問題我們就可以推理證明出猜想的正確性，由此我們把發現的結論叫作銳角三角函數的性質.

鞏固舊知，再生新知

基于訓練中存在的不足和暴露出來的問題進行變式與再訓練是非常有效的. 這種訓練目標明確、針對性強，并帶著啟發新知、促進再生長的問題進行突破，達到由此及彼、舉一反三的效果.

師：如表2，老師不小心擦掉了特殊角三角函數表中的一些數據，請同學幫我補上數據，并說出你的方法.

生1：我利用了定義來解決.

生2：我運用了剛才發現的同角三角函數值的性質和互余兩角三角函數值的關系來填寫的.

師：孩子們表現得都很好，一位同學抓住了定義，定義是一切性質的根源，一位同學靈活運用了發現的結論，高效完成數據的填寫，為他們點贊.

師：研究函數都會研究它的增減性，你能借助表格得出正弦函數、余弦函數和正切函數的增減性嗎？

生3：表格中∠A的度數從30°到45°再到60°，角度在依次增大，正弦、余弦、正切在依次增大、減小、增大，所以我猜測正弦為遞增函數、余弦為遞減函數、正切為遞增函數.

師：很好，這位同學掌握了我們學習數學的一般方法，通過觀察、發現猜想出結論，那么我們也來用幾何畫板驗證一下猜想的結論，如圖7～圖9.

師：由此我們發現剛才的猜想是正確的，當然以后學習了三角函數的圖像就能直觀地反映函數的增減性了.

師：老師有個問題想問一下大家，正弦隨著角度的增大而增大，它會增大到什么程度呢？

課堂再次進入了高潮，大家都有了困惑，也很想知道這個問題的答案. 老師引導學生再次回歸定義的根源，先獨立思考，再小組交流三個函數值的范圍.

師：合作的力量就是大，該組的分析非常全面到位.

反思總結，質疑提升

在學習中進行總結與反思、質疑與反問是一種學習習慣，更是一種學習能力. 在課堂教學過程中，教師要引導學生善于自我總結、自我反思、自我歸納，而教師則是通過提煉提綱挈領的問題來幫助學生反思總結，不僅協助學生總結，也教會學生注重總結的知識性、方法性、框架性，提升總結的價值.

提出的問題如下：

1. 這節課我們學習了哪些知識？你是如何理解∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角函數的？

2. 在學習探究的過程中，我們有了哪些思想方法上的收獲？

3. 猜一猜我們還將學習銳角三角函數的哪些知識？

師生共同總結：

1. 本節課學習了三角函數中的正、余弦和正切的定義、自變量范圍、部分性質;隨著∠A的變化，它的正弦、余弦和正切都在變化，當∠A取定一個銳角的度數，正弦、余弦和正切都有唯一確定的值與之對應，這些研究的前提都是在直角三角形中.

2. 對于直角三角形的銳角和它的邊之間的關系，我們經歷了特殊到一般再到特殊的過程;再從特殊的數值進行觀察、發現、猜想、驗證，經歷了研究數學問題的一般方法.

3. 還將會研究三角函數的圖像和應用.

分層練習，自我提高

基于學生的客觀差異開展分層練習，不僅是學生發展的需要，也是教材價值達成的最佳呈現形式. 在本節課的教學過程中，基于筆者所帶班級的實際情況，設計了如下的分層練習，能從知識與技能、方法與思想上滿足所有學生訓練和提升的需要，能較好地促進學生對本節內容的理解與應用，具體分成兩個板塊，一個是必做，一個是選做.

必做題：

1. Rt△DEF中，∠F=90°，EF=5，DE=13，出∠D 和∠E的正弦、余弦和正切.

2.在△ABC中，∠C=90°，sinA=1/2，求cosA、tanA.

3.已知∠A+∠B=90°，請把（90°-∠A）的三角函數寫成∠B的三角函數.

選做題：

本文板書設計如下（如圖11）.

學情是讓初二的同學學習初三的內容，在學生沒有學習相似的基礎上學習銳角三角函數正弦、余弦和正切的概念. 單元教學考慮到容量比較大，設想了進行學材再建構，過程中知識的生成側重問題引導，學生自主、自動、自由地獲得發展. 每個知識的獲得順暢自然，但過程中缺少了給學生消化的時間，在單元教學的實踐中還不成熟，筆者也在自我反思和改進，同時期待更多的同行專家給予指點和斧正.