構造隱形圓，妙求幾何最值

吉宏軍

[摘? 要] 幾何最值問題以求解相關最值為表象，以研究幾何點的位置關系為本質目的，解題時可以合理地構建隱形圓，利用幾何圓的相關性質來求解. 本文以一道幾何最值問題為例，探討解題方法，與同行交流學習.

[關鍵詞] 幾何最值;隱形圓;構建;性質

考題呈現

題目：圖1所示的四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12.

（1）在圖a中，點M位于四邊形的邊AD上，試求△BMC的面積;

（2）在圖b中，問是否可以在四邊形的邊AD上取一點P，連接BP，CP后，使得cos∠BPC的值最小？如果可以，請求出此時的值;如果不可以，請寫出理由.

解法探討

從問題的本質來看無非就是要找到一點P，使得∠BPC最大，分析發現點P在AD上移動的過程中僅PC，PB的長度發生了變化，而BC的長度并不變，可以聯想到幾何圓上動點對定弦的情形，同樣是點動過程對應的弦長不變，因此可以構造隱形圓，用以研究∠BPC的大小，進而確定cos∠BPC的最小值.

如圖3所示，作BC的中垂線PQ，交AD于點P，交BC于點Q，連接PB，PC，再作△PBC的外接圓，圓心O一定位于垂線PQ上，在其上記一點O.

為研究此時點P為最小值點，即對應的∠BPC最大，再在AD上作一點P′，連接BP′，P′C，設BP′與圓交于點M，連接CM，因為∠BPC和∠BMC均對應BC，則∠BPC=∠BMC，另外分析可知∠BMC>∠BP′C，則有∠BPC>∠BP′C，所以異于點P的點P′形成的∠BP′C小于∠BPC，即此時的點P就是cos∠BPC獲得最小值的點.

本題目的第（1）問和第（2）問之間不僅在問題形式上存在一定的聯系，均是基于同一四邊形進行的設問，在解法上同樣存在一定的聯系. 第（1）問需要構造出直角三角形，利用面積公式求解，這里的構造思想同樣為第（2）問做鋪墊. 對于第（2）問，利用三角形外接圓來構建隱形圓，利用圓的諸多性質，如同弧所對圓周角和圓心角的關系，直徑對角的平分關系等，可以準確確定點P的位置，建立cos∠BPC的求解方程. 隱形圓的引入不僅可以確定點P的最佳位置，在求解對應角的余弦值時也起到了關鍵作用，它對于問題的高效求解有著至關重要的作用.

解法拓展

構建隱形圓是求解幾何距離最值問題較為常用的一種方式，可以有效確定點的位置. 上述的求解核心是構建隱形圓，利用隱形圓內角的性質來確定最值點，采用的構建方式是作三角形的外接圓. 有時對于同一問題需要采用不同的方式來構建隱形圓，另外最值點的確定還可以依據圓的其他特性，下面將結合實例詳細探究.

如圖4所示，已知菱形ABCD的內角∠ABC=60°，AB=2，有一點P，位于菱形的邊上或內部，現以點P，B，C為三角形的三個頂點作一個等腰三角形，試求P，D兩點之間的最短距離（點P，D不重合）.

分析? 以P，B，C為頂點作等腰三角形，總體上存在三種情形，①PB=PC，即點P為等腰三角形的頂點，BC為底;②BC=CP，即以點C為等腰三角形的頂點，PB為底;③BC=PB，即以點B為等腰三角形的頂點，PC為底. 作等腰三角形可以以三角形的頂點為圓心，以腰長為半徑構造隱形圓，則點P就在圓上，然后利用幾何性質來判斷線段最短時點P的具體位置.

②當BC為等腰三角形的腰，點C為頂點時，以點C為圓心，BC長為半徑畫圓，如圖6，此時點P位于圓上，可以滿足BC=CP. 根據圓的幾何特性，當點P位于CD所在直線上時，PD可以取得最值，與點D為同一側時取得最小值，但由于CD=BC，此時會出現點P與點D相重合的情形，因此不滿足條件.

上述題目同樣是利用隱形圓來進行解題的，所不同的是由于腰長的不確定使得所作等腰三角形具有多種情形，因此需要分類討論，同時也涉及隱形圓的多種作法. 利用三角形的外接圓、利用等腰三角形的頂點為圓心，腰長為半徑作圓，其理論依據都是圓上一點到圓心的距離相等的性質. 而在利用隱形圓進行最值點確認時，利用的是圓上點的距離特性，即兩點之間獲得距離最值時其連線必過圓心.

解后啟示

1. 立足綜合觀點，處理基本問題

上述涉及的兩道幾何最值問題，均是以基本的幾何圖形為框架，以點的移動為依托來研究距離的最值，其中涉及基本的幾何圖形，如四邊形、菱形、三角形等，題1還綜合了三角函數、題2綜合了等腰三角形作圖，因此可以將其視為幾何綜合題. 無論問題的形式如何，求解的過程都必須依據幾何性質進行條件和問題的分析. 因此，對于越加注重知識綜合的考題，掌握求解綜合問題的方法越發重要，而建立知識之間的聯系，實現知識融合，構建完整的知識體系是求解綜合題的前提. 另外，對于解綜合題的策略形成，強化基本問題的求解方法是關鍵，將綜合問題拆分為多個簡單的基本問題，通過對單一問題的分析來獲得求解思路，即形成“拆分綜合問題，基本方法逐一破解”的解題策略.

2. 構建特殊圖形，巧用幾何性質

上述題目的求解雖使用的幾何性質不同，但都用到了同一解法——構建隱形圓. 一般意義上來講構建隱形圓不是一種解題方法，而是問題分析的一種輔助工具，即利用幾何圓的特殊性質來解題，但正是圓的一些特殊性質，使得動點的確定變得有跡可循. 問題形式是多樣的，同樣的解題方法也應靈活選擇，尤其是幾何與代數相結合的問題，應根據問題的條件進行數形結合，巧妙使用幾何性質，結合構造、轉化、方程等思想進行解題. 如利用構造思想構建特殊圖形，在使用時需要充分掌握幾何的一些特殊性質，如圓上各點到圓心的距離相等，角平分線上各點到角兩邊的距離都相等，這些特殊性質都是研究問題模型的基本依據. 另外，建立幾何模型后還需要巧妙結合幾何性質來對問題進行研究，實現“性質建模”到“性質分析”的雙向過渡，利用模型與性質的雙重優勢破開幾何最值問題的思維壁壘.

總結

幾何最值問題實際上就是研究幾何點、線之間的位置關系，求解的關鍵就是建立一個研究相關元素的幾何模型，由點之間的線段最值來研究幾何的距離、面積、三角函數、角度的最值. 根據問題條件，結合幾何性質構建隱形圓是其中較為常用的一種方式，有助于確定滿足條件的點的位置，為后續的分析提供幫助.