挖掘考題本源，銜接習題求解

張小青

[摘? 要] 中考中的一些復合問題與教材內容存在極大的關聯，其命題素材來源于教材習題，所以對習題的解題策略進行整合，有助于復合問題的求解. 同時，可以依據教材習題策略對綜合問題進行轉化. 本文以一道中考幾何函數綜合題為例，詳細講解銜接習題求解綜合題的策略，與讀者交流、學習.

[關鍵詞] 幾何;函數;綜合;圖像;提煉;習題

考題呈現

（2017年江蘇蘇州中考）學校機器人興趣小組在圖1所示的矩形場地上開展機器人操作訓練. 已知機器人將從場地的A點出發，在矩形ABCD的四條邊上沿著A→B→C→D勻速運動，當機器人到達點D時停止運動. 機器人在運動過程中的速度為每秒1個單位長度，且每當機器人運動至矩形的拐角處都需要1 s的調整時間（在矩形的點B，C拐角處分別需用1 s），設機器人運動過程中的用時為t（s），運動過程中的位置為P，P到矩形的對角線BD的距離（垂線段PQ的長）為d個單位長度，圖2為其運動過程中d關于運動時間的函數圖像.

（1）試求矩形的邊AB，BC的長.

（2）圖2曲線上的點M，N分別在線段EF，GH上，已知MN平行于坐標系的橫軸，設點M，N的橫坐標分別為t₁，t₂，機器人到達P₁處用時為t₁（s），到達P₂處用時為t₂（s）. 如果CP₁+CP₂=7，試求t1和t2的數值.

考題剖析

1. 問題本源剖析

本題從出題形式上來看，為幾何材料題，但深度剖析可知問題內容主要由幾何圖形和函數圖像兩部分組成，實質上是一道結合了函數圖像的動態幾何問題，函數圖像是對幾何運動軌跡的描述. 求解時需要結合函數曲線來深入分析點的運動，然后利用幾何性質來求解.

從問題拆分的角度來看，可以將問題內容分為基本的幾何圖形和函數圖像兩個部分. 銜接教材習題，可以發現問題的命制來源于蘇科版數學教材中的幾何問題和函數問題.

幾何問題：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足為點D，求AD和BD的長.

原問題雖為矩形內點的運動，但從局部來看依然是一個直角三角形，問題的研究依然需要借助直角三角形的相關性質，其中的垂線段PQ在某些特殊時刻可以看作習題中△ABC斜邊上的高AD，求解時需要利用勾股定理建立相關線段的數量關系，這是基于問題幾何模型的分析.

函數問題：圖4的圖像是小紅離家后的距離圖像，若x表示時間，y表示離家的距離，試說明曲線的實際變化意義.

原問題給出了d關于時間t的圖像，這實際上是一次函數圖像解決實際問題的應用. 根據點的具體坐標我們完全可以求解出相關一次函數的解析式. 當然，也可以從一次函數的斜率變化情況直接分析線段的長度變化，如圖2中EF段所代表的一次函數的斜率為正，則d的長度是增大的過程，分析時就需要對應幾何動點d增大的軌跡，而FG是一條平行于坐標橫軸的直線，所表示的含義為此時間段內d的長度沒有變化，而GH段所代表的一次函數的斜率為負，則表示在該時間段內d的長度在減小，其同樣需要對應幾何上的相關軌跡.

2. 問題解法剖析

本題有兩個小問，第（1）問求的是矩形ABCD中相鄰兩邊的長;第（2）問是求解函數曲線上的對應點的時間值. 解題時單純地依靠幾何性質來求解是不能獲得解題思路的，需要從運動角度結合函數圖像來分析幾何圖形，再利用幾何圖形的性質來求解.

上述求解過程是基于對問題本源的探索，即問題是基本幾何和函數圖像相結合的綜合題，從而實現了動點的定量和定性描述. 幾何圖形是對動點的軌跡描述，而函數曲線建立了時間與垂線段距離之間的關系. 兩個問題分別從幾何和函數兩個方面進行了設問，對問題的分析也就需要充分結合代數與幾何知識. 上述第（2）問的兩種解法，解法1是利用幾何中的三角形相似性質來求邊長，然后求時間;解法2則是直接針對函數圖像求解解析式，進而確定點的坐標，根據點的坐標來求時間，它們雖然解法思路不同，但從求解的本質上來看，依然是幾何與代數的有效結合，是數形結合思想的應用.

解后思考

1. 深度剖析問題，銜接習題探究

上述題目為幾何與函數的綜合題，其中涉及基本的幾何圖形和函數的圖像，利用點的運動將兩者有機結合起來，建立了問題研究的模型，因此可以將其拆分為教材中常見的兩個模型，一是矩形上的垂線段模型，二是函數中長度與時間的曲線模型. 解題時也就需要認真回顧教材模型的研究策略，如矩形的研究可以利用三角形全等、三角形相似，以及勾股定理，而函數的研究需要結合函數的變化趨勢、特殊點的坐標等. 另外，教材“一次函數的解決實際問題”章節中給出了一次函數與實際問題的解題策略，即理解函數曲線及變化所代表的實際意義. 這些模型的研究策略對于本題的分析求解有著極為重要的啟示作用，因此在平時的學習中，我們要特別注重對教材習題模型的研究策略總結，以用于考題的分析和研究.

2. 全面整合內容，分離提煉問題

本題是一道綜合題，涉及眾多幾何與圖形領域的基本知識，如垂線、平行線、三角形的性質和判定、矩形的性質和判定等，同時涉及函數領域中一次函數的圖像，兩大知識領域是通過動點進行綜合的. 而實現問題的求解首先需要充分掌握圖形的這些性質特征，并能基于知識聯系性對其進行融合，建立起完整的知識體系. 然后是掌握圖形的分離策略，能夠從復雜圖形中基于特定條件分離出基本的圖形，或合理地構建基本圖形，尤其是動態幾何問題，需要化動為靜，分離圖形. 圖形分離的過程需要具備較強的觀察能力，該能力的培養可以采用對比分析問題的方式，即把具有類同性的幾個問題整合在一起，通過對問題的基本形式和轉化條件進行分析，逐步提升自己的數學核心能力.

3. 多角度分析問題，提升思想素養

數學中的綜合題不僅僅是知識內容的多重整合，其中也涉及眾多的構建思路，即問題知識內容的融合方式，所以從不同的角度分析問題，必然能獲得不同的解題信息. 如本題是幾何與函數的綜合題，從幾何角度分析就是幾何的動點問題，點運動到圖形上的不同位置，必然可以構建不同的模型，如本題第（2）問分別從幾何、函數角度進行問題分析，幾何角度構建的是關于圖形線段長度的關系式，而函數角度構建的是代數方程，解題的思路不同，使用的指導思想也不相同，構造思想和方程思想是其中的思想方法. 思想方法是指導解題思路構建的靈魂所在，是實現問題轉化的思想基礎，因此，在數學學習中領悟思想方法，促進思想的內化，是學習的關鍵.

總結

幾何、函數綜合題是數學幾何內容與函數知識的有機結合，其求解策略同樣也是兩者的綜合. 從不同的角度對問題進行思考，在不同的指導思想下可以構建不同的解題思路，獲得不同的研究模型. 強化幾何綜合題的解題策略，不僅需要深度剖析問題本質，還需要全面整合幾何與代數的知識內容，掌握復合問題的分離方法，提升數學素養.