運用待定系數(shù)，解決拋物線問題

陳朝建

[摘? 要] 在中考中，與函數(shù)相關(guān)的題型是中考考查的重點內(nèi)容，而在函數(shù)問題中，曲線（拋物線和雙曲線）問題考查的次數(shù)尤為頻繁. 應(yīng)該如何解決這些問題呢？筆者認(rèn)為，采用待定系數(shù)法是解決這類題型的首選方法.

[關(guān)鍵詞] 待定系數(shù);曲線;函數(shù)

待定系數(shù)法是解決曲線（拋物線和雙曲線）問題的經(jīng)典方法，通過將已知條件代入曲線方程，可以得到相關(guān)的方程，只要求出未知系數(shù)，曲線的表達(dá)式自然能夠求出. 本文中的例題選用了近三年的中考真題及模擬題，以讓學(xué)生更好地理解和掌握待定系數(shù)法.

試題呈現(xiàn)與思路點撥

試題? （2017年湖北武漢中考模擬題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=mx²-2mx+m-1（m>0）與x軸交于A，B兩點，頂點為C，將拋物線在A，C，B之間的部分命名為圖像E（不包含A，B兩點）.

（1）計算二次函數(shù)的頂點坐標(biāo).

（2）當(dāng)AB=6時，直線y=kx+b經(jīng)過點C，且與圖像E有兩個交點，請求出k的范圍.

（3）當(dāng)m=1時，求線段AB上的整點個數(shù);若圖像E與線段AB圍成的區(qū)域整點數(shù)為6個（包括邊界），試著求m的取值范圍.

反思? 本題屬于平面直角坐標(biāo)系中的二次函數(shù)相關(guān)題型，對于問題（1），屬于基礎(chǔ)題型，通過將二次函數(shù)解析式配方，即可得到頂點坐標(biāo). 問題（2）屬于兩圖形有交點，求未知數(shù)范圍的問題，解題過程如下：根據(jù)題意可求出A，B的坐標(biāo)，結(jié)合點C的坐標(biāo)，可以分別求得直線AC和直線BC相對應(yīng)的k值，再數(shù)形結(jié)合，即可求出k的范圍. 問題（3）屬于本題的升華，也是學(xué)生拉開分?jǐn)?shù)的一問，應(yīng)采用待定系數(shù)法求解. 問題（3）的前半部分很簡單，令y=0，解方程便可求得A，B兩點的坐標(biāo)，于是可輕易求出滿足條件的整點個數(shù);通過前半部分的引入，后半部分很容易解決——首先令y=0，求得A，B兩點的坐標(biāo)（用含有m的代數(shù)式表示），然后根據(jù)整點的個數(shù)，列出關(guān)于m的不等式，解不等式即可.

鞏固延伸

反思? 本題屬于待定系數(shù)法與平面幾何相結(jié)合的綜合題，求解過程都是從平面坐標(biāo)入手，實現(xiàn)幾何元素的參數(shù)化，結(jié)合幾何性質(zhì)，利用代數(shù)分析求解收尾. 解決此類問題時，要善于運用待定系數(shù)法，并數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù).

總結(jié)提高

2. 初中數(shù)學(xué)中的曲線問題屬于重點內(nèi)容，運用待定系數(shù)法解決曲線問題可以起到事半功倍的效果. 雖然曲線問題的解法多種多樣，但待定系數(shù)法是最基本的方法. 萬丈高樓平地起，只有掌握基本的解題方法，才能探索更多的技巧性知識. 許多學(xué)生對一些基本的問題不屑一顧，認(rèn)為這些問題非常簡單，但這屬于明顯的眼高手低，只有真正去做，通過不斷的練習(xí)，才能從根本上掌握這些知識.

3. 對于一些函數(shù)問題，往往需要結(jié)合函數(shù)圖像才能更好地解決. 本文中的拓展題就用到了數(shù)形結(jié)合思想——通過題目所給的條件，可精準(zhǔn)地畫出函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像可以將抽象的問題具體化. 從函數(shù)圖像中可以明顯地發(fā)現(xiàn)對稱性，而拓展題的關(guān)鍵就在于此. 數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中的基本方法，學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)加以重視，要學(xué)會從幾何的角度去思考代數(shù)問題，做到數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù).