運用待定系數，解決拋物線問題

陳朝建

[摘? 要] 在中考中，與函數相關的題型是中考考查的重點內容，而在函數問題中，曲線（拋物線和雙曲線）問題考查的次數尤為頻繁. 應該如何解決這些問題呢？筆者認為，采用待定系數法是解決這類題型的首選方法.

[關鍵詞] 待定系數;曲線;函數

待定系數法是解決曲線（拋物線和雙曲線）問題的經典方法，通過將已知條件代入曲線方程，可以得到相關的方程，只要求出未知系數，曲線的表達式自然能夠求出. 本文中的例題選用了近三年的中考真題及模擬題，以讓學生更好地理解和掌握待定系數法.

試題呈現與思路點撥

試題? （2017年湖北武漢中考模擬題）在平面直角坐標系中，二次函數y=mx²-2mx+m-1（m>0）與x軸交于A，B兩點，頂點為C，將拋物線在A，C，B之間的部分命名為圖像E（不包含A，B兩點）.

（1）計算二次函數的頂點坐標.

（2）當AB=6時，直線y=kx+b經過點C，且與圖像E有兩個交點，請求出k的范圍.

（3）當m=1時，求線段AB上的整點個數;若圖像E與線段AB圍成的區域整點數為6個（包括邊界），試著求m的取值范圍.

反思? 本題屬于平面直角坐標系中的二次函數相關題型，對于問題（1），屬于基礎題型，通過將二次函數解析式配方，即可得到頂點坐標. 問題（2）屬于兩圖形有交點，求未知數范圍的問題，解題過程如下：根據題意可求出A，B的坐標，結合點C的坐標，可以分別求得直線AC和直線BC相對應的k值，再數形結合，即可求出k的范圍. 問題（3）屬于本題的升華，也是學生拉開分數的一問，應采用待定系數法求解. 問題（3）的前半部分很簡單，令y=0，解方程便可求得A，B兩點的坐標，于是可輕易求出滿足條件的整點個數;通過前半部分的引入，后半部分很容易解決——首先令y=0，求得A，B兩點的坐標（用含有m的代數式表示），然后根據整點的個數，列出關于m的不等式，解不等式即可.

鞏固延伸

反思? 本題屬于待定系數法與平面幾何相結合的綜合題，求解過程都是從平面坐標入手，實現幾何元素的參數化，結合幾何性質，利用代數分析求解收尾. 解決此類問題時，要善于運用待定系數法，并數形結合，以形助數.

總結提高

2. 初中數學中的曲線問題屬于重點內容，運用待定系數法解決曲線問題可以起到事半功倍的效果. 雖然曲線問題的解法多種多樣，但待定系數法是最基本的方法. 萬丈高樓平地起，只有掌握基本的解題方法，才能探索更多的技巧性知識. 許多學生對一些基本的問題不屑一顧，認為這些問題非常簡單，但這屬于明顯的眼高手低，只有真正去做，通過不斷的練習，才能從根本上掌握這些知識.

3. 對于一些函數問題，往往需要結合函數圖像才能更好地解決. 本文中的拓展題就用到了數形結合思想——通過題目所給的條件，可精準地畫出函數圖像，結合函數圖像可以將抽象的問題具體化. 從函數圖像中可以明顯地發現對稱性，而拓展題的關鍵就在于此. 數形結合是初中數學中的基本方法，學生在平時的學習中應加以重視，要學會從幾何的角度去思考代數問題，做到數形結合，以形助數.