初中數學教學中滲透猜測的應用研究

朱磊

[摘? 要] 猜測在學生數學學習中發揮著重要的作用，認識到猜測的價值，可以發掘猜測在數學概念、規律以及問題解決中的作用. 猜測的應用需要關注教學細節，同時應作為數學教師的研究對象.

[關鍵詞] 初中數學;猜測;應用研究

猜測，猜度、揣測之意，指憑某線索推斷、猜度. 初中數學教學常常需要猜測，但與其他教學要素相比，猜測又不是以非常明顯的形式存在著，因此其更多的需要滲透，需要潛移默化. 在初中數學教學中建立猜測這一教學線索，并將之應用到具體的數學知識教學中，有什么價值呢？應當遵循什么樣的途徑呢？又有哪些注意點呢？對于這些問題，筆者分別進行了思考，同時基于教學實踐，進行了總結與分析，下面分別對這三點進行闡述.

初中生在數學學習過程中進行猜測的價值

猜測自然是學生在數學學習過程中進行的猜測. 根據猜測的定義，學生在學習過程中的猜測肯定是基于某些線索來進行的. 從這個角度來講，猜測具有建構主義學習理論中“主動建構”的價值，只是由于這個時候的建構比較粗糙，因而并不像有效的建構過程那樣能夠迅速地生成準確的結論;但這個環節的價值不可忽視，因為猜測意味著學生在學習之初將新舊知識進行相互作用，對知識生成的方向做出了初步的判斷，對知識生成的結果進行了猜測. 對于學生的數學學習來說，這是思維基于經驗與問題交織后的“土壤”（隱喻著學習基礎）上的萌芽.

雖說猜測在結果上不具有高度精確性，但由于其是學生在問題驅動之下根據自身直覺進行的一種思維行為，因此其反映著學生在數學學習中的直覺思維水平，對教師判斷學生的認知基礎有重要的參考價值. 反過來，這種直覺思維水平也需要教師著力培養，因為在這個環節猜測得越準，教學的效益就越高. 這里可以先通過一個簡單的例子來說明.

教學“平方根”這一內容時，教師在引入平方根的時候常常會設置一個情境，以讓學生認識到平方根實際上就是已知一個正數的平方而去求這個正數的問題. 那么在學生有了這個認識之后再去提供“算術平方根”的概念，學生心中會有什么樣的想法呢？這里涉及對算術平方根的概念的理解. 根據筆者的調查與梳理，學生常常會出現至少兩種想法：一種是直接內化概念，這類學生基礎通常較好，有了新的數學概念，就會從定義角度去理解并內化;另一種則是揣摩概念——為什么叫平方根？為什么叫算術平方根？基于這樣的問題，他們會去猜測：已知正數的平方去求這個正數，這就是在尋找這個平方的根（大腦中常常會有植物的根莖表象）;至于為什么加入“算術”的概念，則可能是因為這是一個算術運算，可能在計算的過程中要遵守一些規則……

應當認識到后一類學生這種思維的價值：對數學概念（包括規律或問題解決中的其他猜測思維）的猜測意味著對概念的理解已經開始，意味著學生大腦中已有的概念已經在猜測的作用之下被提取出來，這些前概念能夠發揮多大的作用，決定著猜測的結果的準確程度. 而實際上教師在掌握了學生猜測的思維邏輯之后，就可以更多地依靠學生的這些思維活動來進一步明確教學方向.

初中數學教學中滲透猜測的實際應用例析

下面從數學概念、規律與問題解決的教學角度，談談猜測在數學教學中的應用，以及此過程中教師作用發揮的機制.

在數學概念教學中，猜測主要存在于對概念的理解. 上面所舉的“平方根”例子已對其進行了初步說明. 關于教師在學生猜測過程中應當發揮的作用，筆者以為，關鍵是以下兩點.

一是教師要通過問題的提出，讓學生將他們的猜測依據做一個說明. 如教師提出的問題可以是“你是怎么理解這個概念的”“你在理解這個概念的時候想到了什么”……這些問題的提出，往往可以讓教師準確地把握學生猜測背后的思維依據，從而為學生理解數學概念校準方向. 如對“平方根”概念的理解，有些學生的猜測思路是不準確的，他們認為“平方根就是去平方一個數的根”，其認為“平方”是一種計算方式，這顯然是對此前所學的平方概念理解得不透徹. 在這里，教師可以從“正數——正數的平方”“正數的平方——正數”兩個維度引導學生進行比較，這樣就可以很好地校正猜測思維的錯誤，同時讓學生厘清此前模糊的認識.

二是要充分激活學生的原有概念，讓他們的猜測更具準確性. 雖然猜測更多的是依靠直覺思維去加工原有概念，但由于原有概念未必能及時、全面地出現，因此一定程度上需要教師做一些鋪墊工作.

比如在“平方根”的概念建構中，教師在創設情境的時候可以多花點時間，讓學生認識到其中的平方與平方根的存在. 如給出25 dm2的正方形畫布，讓學生求其邊長. 教師在學生算出之后進行多次變式——變換畫布的面積，讓學生形成良好的根據平方求正數值的直覺，然后提供一個反例：如果這塊畫布不是一個正方形，而是一個長方形，那剛才的運算規則還適用嗎？學生稍作思考便可發現“不可以”，這實際上是從反面強化了平方根的特征，從而將學生對平方根的認識向正確方向引導，這就意味著其后的猜測準確度會更高.

在數學規律的教學中，猜測所發揮的作用更多的是對規律的理解. 教學經驗表明，對于有些規律的理解，絕大多數的學生是順利的，而有些規律尤其是一些約定俗成的規律，理解起來往往就有一些困難，而這些困難的直接表現，就是學生的猜測空間很大，猜測結果多元. 教師在此過程中發揮作用的關鍵則在于讓學生的猜測結果進行充分比較，進而得出對數學規律的共同的、準確的認識.

例如，“0的算術平方根是0”在教材中是以“規定”的形式出現的，初中生會下意識地思考：為什么做這樣的規定？按理說在教學中可以忽視這個環節，告訴學生這就是規定，不需要想太多，但這樣的教學不能化解學生的疑惑，反而有可能在學生的思維中形成一個障礙，影響學生對這個規律的理解. 實際上，規定的背后存在著規律，讓學生猜測也未必找不到對這個規律的理解.

于是筆者讓學生自己去猜：你覺得這樣規定的理由是什么？有學生認為：這樣的規定沒有必要，原本就是0×0=0. 立即就有學生提出反駁：0乘任何一個數，結果都是0. 于是更多學生發現了問題：難怪要做規定呢，原來0不像其他正數一樣可以由唯一的兩個相同的數相乘得到. 接著又有學生提出：為什么不讓0的算術平方根變成0和別的任何一個正數呢？有人反駁：如果這樣的話就亂套了，而且不好計算啊！這時第一個學生理直氣壯地說：我的說法是正確的，因為一個正數的算術平方根只有一個值，0不是正數，所以要另外規定，更重要的是，如果用0和其他數作為0的算術平方根，那不就亂套了嗎……縱觀學生的這些猜測，粗看有些雜亂，細析則發現每一個回答的背后都是學生依據一定的線索在判斷、推理，而“真理”也往往在這種猜測、碰撞中得到明確：為了讓平方根包含的對象更完整，又由于0的特殊性，所以必須加以規定. 盡管這樣的理解在嚴格的數學體系中并不準確，但在此時的學習中，對于學生的數學理解而言，已經是一個重要的補充了. 毫無疑問，對于學生的數學學習來說，這樣的猜測是有意義的.

問題解決是初中數學教學中綜合運用知識的重要過程，問題解決的最大困惑往往在于第一步，即判斷解題方向. 尤其是數學證明題，這個時候需要猜測的高度參與. 筆者以為，在培養學生基礎能力的時候，充分讓學生猜測，然后判斷每種猜測可能走多遠，是幫學生積累解題經驗的重要途徑.

例如，如圖1，四邊形ABCO是正方形，連接正方形ABCO的對角線AC，OB交于點Q，點F為線段BC上一點，以OF為直角邊向上構造等腰直角三角形EOF，且∠EOF=90°，EF交AC于點P. 若PQ=1，求CF的長.

對于這道題解題方向的確立，學生的猜測是多元的，有學生猜測通過證全等的方式進行，但感覺PQ=1用不上;有學生猜測可能要用勾股定理去解，但無法知曉另兩條邊的長度;還有學生猜測是不是應該借助直角坐標系中的某些坐標關系去求解……種種猜測不一而足，教師引導學生分析每一個猜測，并在逐步走入“死胡同”之后，“倒逼”學生尋找新思路，從而開拓學生的思維，豐富學生的解題經驗. 如果直接講授，則肯定沒有這種效果.

初中數學教學中滲透猜測需要注意的若干細節

在初中數學教學中應用猜測，也有一些注意點：一，重視猜測但不能過度闡釋猜測，通常只需要抓住有效的猜測進行分析即可;二，引導學生進行有據猜測，不能無緣由地瞎猜，盡管我們不拒絕直覺，但其與胡思亂想還是有區別的;三，猜測需要教師的點評才能發揮其促進學生數學思考的作用，即面對學生的猜測，教師要做點評.

注意到上述三點，猜測就能發揮其正面作用，從而讓學生依靠原有認知基礎，活躍自身思維，進而為數學概念、規律的理解與問題解決提供鋪墊性作用. 當然，此過程中必須認識到的是，猜測同時也應當是數學教學的目標，學生的猜測能力越強，那數學理解與問題解決往往更高效，而這也是筆者研究猜測的初衷.