導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用

顧準(zhǔn)山

（江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學(xué)，江蘇鎮(zhèn)江 212000）

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用

顧準(zhǔn)山

（江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學(xué)，江蘇鎮(zhèn)江 212000）

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主要知識點(diǎn)，始終是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而導(dǎo)數(shù)作為解決函數(shù)問題的重要工具，其重要性不言而喻。本文對導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行了綜合梳理，對運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)問題進(jìn)行了分類總結(jié)，對提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力有較好的指導(dǎo)作用。

導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；應(yīng)用

引 言

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中，導(dǎo)數(shù)作為解決數(shù)學(xué)問題強(qiáng)有力的工具，是初、高等數(shù)學(xué)知識的重要銜接點(diǎn)，滲透和加強(qiáng)了對學(xué)生從有限到無限、從量變到質(zhì)變的辯證思想的教育，突破了許多初等數(shù)學(xué)在思想上的桎梏，拓寬、優(yōu)化和豐富了許多數(shù)學(xué)問題解決的思路、方法和技巧[1]；另一方面，導(dǎo)數(shù)具有很強(qiáng)的知識交匯能力，與多個(gè)章節(jié)內(nèi)容都聯(lián)系緊密，尤其是函數(shù)部分，由于函數(shù)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，所以導(dǎo)數(shù)的地位正在不斷加強(qiáng)，對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用考查的廣度和深度也在不斷加重。

一、導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義

導(dǎo)數(shù)的物理意義：如函數(shù)s=s（t）在t0處的導(dǎo)數(shù)s'（t0），就是物體在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度v，即v=s'（t0）；函數(shù)v=v（t）在t0處的導(dǎo)數(shù)v'（t0），就是物體在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)加速度a，即a= v'（t0）；降雨強(qiáng)度是降雨量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f '（x0），就是曲線在x0處的切線的斜率k，即k=f '（x0）。

例1：在拋物線y=x2上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線2x-y-4=0的距離最短，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 （1,1）

二、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.求曲線在（過）某點(diǎn)的切線方程

例2：求曲線y=x3-3x過點(diǎn)P（2，2）的切線方程。（y=0或y=9x-16）

分析：即使點(diǎn)（2，2）恰好在曲線上，由于是求“過”（而不是“在”）點(diǎn)P處的切線方程，仍然要考慮兩種情況，一是點(diǎn)P就是切點(diǎn)，二是點(diǎn)P不是切點(diǎn)，可以設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線斜率的兩種表示方法解出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而解決問題。

2.解決函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：①f '(x)＞0是f (x)為增函數(shù)的充分不必要條件；②f '(x)≥0是f (x)為增函數(shù)的必要不充分條件。因此f (x)在某區(qū)間上遞增在該區(qū)間上恒成立，f (x)在某區(qū)間上為遞減在該區(qū)間上恒成立。值得注意的是，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要先求函數(shù)的定義域。

3.求函數(shù)的極值與在閉區(qū)間上的值域

求函數(shù)極值點(diǎn)的一般步驟：先求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為零，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷零點(diǎn)兩邊的單調(diào)性，得出函數(shù)的極值點(diǎn)。

注意：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（稱為駐點(diǎn)），不一定是極值點(diǎn)；但在導(dǎo)函數(shù)存在的前提下，極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值必為0。

例3：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10，求a+b的值。

求函數(shù)值域的一般步驟：求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極值，再與區(qū)間端點(diǎn)比較大小即可。

例 4：已知函數(shù) f（x）=x3+ax2+bx+c，過曲線 y=f（x）上的某點(diǎn)P（1，f（1））的切線方程為y=3x+1；

（1）設(shè)函數(shù)f（x）在x=-2處有極值，求出f（x）的表達(dá)式；（f（x）=x3+2x2-4x+5）

（2）在（1）的條件下，求出f （x）在[-3，1]上的最大值；（f（x）max=f（-2）=13）

（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求出b的取值范圍。（b≥0）

分析（3）：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，所以f ' （x）≥0在該區(qū)間上恒成立，然后分離變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解。

4.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

基本原理：欲證不等式f（x）＞g（x），構(gòu)建函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），只要求出函數(shù)h（x）的最小值，證明此最小值大于0即可。

例5：設(shè)函數(shù)f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)。

（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；

解：（Ⅰ）因?yàn)閒 ' (x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b)，又x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，所以f ' (-2)=f '(1)=0，

因?yàn)閤∈[1,+∞)時(shí)，h' (x)≥0，所以h(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞增。

故x∈[1,+∞)時(shí)，h(x)≥h(1)=0。所以對任意x∈[-∞ ,+ ∞ )，恒有 h(x)≥ 0，又 x2≥ 0，因此 f（x）-g（x）≥0，故對任意x∈（-∞,+∞)，恒有f（x）≥g（x）。

5.利用導(dǎo)數(shù)求方程根的個(gè)數(shù)

一般步驟：求出對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，做出草圖，即可解決。

例 6： 已 知 函 數(shù) f（x）=x+a，g(x)=x2+3x+2，F(xiàn)(x)=f（x）·g(x)，①若F(x)在(-1，1)上為減函數(shù),求a的取值范圍；②若y=f (x)的圖像與y=g(x)的圖像相切，試討論關(guān)于x的方程F(x)=k (k∈R)的實(shí)根個(gè)數(shù)。（當(dāng)或k＜0時(shí)，有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)或k=0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)有三個(gè)實(shí)根）

6.優(yōu)化實(shí)際問題

例7：水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為

（Ⅰ）該水庫的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期，以i－1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12），問一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計(jì)算）。（08湖北）

②當(dāng)10＜t≤12時(shí)，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50，

綜合得0＜t＜4,或10＜t≤12，

故知枯水期為1月，2月，3月，4月，11月，12月共6個(gè)月。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V（t）的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到。

令V′(t)=0，解得t=8(t=－2舍去)。

當(dāng)t變化時(shí)，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

(4,8) 8 (8,10)V′(t) + 0 －V(t) 極大值t

由上表，V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e2+50≈108.32(億立方米)。

故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米。

結(jié) 語

物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示。導(dǎo)數(shù)物理意義和幾何意義明確，在研究函數(shù)中的應(yīng)用可以體現(xiàn)在以上求曲線在（過）某點(diǎn)的切線方程，解決函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題，求函數(shù)的極值與在閉區(qū)間上的值域，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，優(yōu)化實(shí)際問題等方面[2]。通過綜合梳理、分類總結(jié)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的應(yīng)用，希望對提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力有較好的指導(dǎo)作用。

[1]鄒生書.函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的三種求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2017,(03):42-44.

[2]夏峰,鄧慧.導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化求解[J].高中數(shù)理化,2017,(Z1):19.

顧準(zhǔn)山（1973），男，江蘇鎮(zhèn)江人，本科學(xué)歷，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師。