對一道課本習題的深層次探究

江蘇省太倉市第一中學 朱雯婷

對一道課本習題的深層次探究

江蘇省太倉市第一中學 朱雯婷

數學課本是數學教學的重要依據與材料，我們的日常教學都圍繞課本展開，中考試卷中的不少試題也都源于課本中的例題與習題，很多是對課本例題與習題的拓展和延伸。因此，教師不僅要研究教材教法，還要善于挖掘教材中例題與習題的深層價值，對這些重要的資源進行進一步探究。筆者對蘇科版八年級上冊第67頁第10題進行了深入研究，下面做簡要說明與整理。

一、從一道課本習題出發

1．習題探究，緊抓關鍵

原題：如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A、C、E在一條直線上。AD與BE相等嗎？證明你的結論。

解析：解題關鍵在于證明△ADC≌△BEC。由“△ABC和△CDE都是等邊三角形”知，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，易得∠ACD=∠BCE，由此證明△ADC≌△BEC(SAS)。再由“全等三角形對應邊相等”得到AD=BE。

點評：這是初中全等證明中的經典類型，常見的，還有將兩個等邊三角形置換成兩個等腰直角三角形等。

2．層層深入，探究整理

圖1

上題圖中還有很多值得進一步研究的結論：

結論1：如圖2，記AD、BE交點為點O，則有∠AOB=∠DOE=60°。

解析：由“對頂角相等”易證∠AOB=∠DOE，故本題的關鍵在于證明∠AOB =60°。

解法一：由上題知△ADC≌△BEC，則∠DAC=∠EBC，即∠CAO=∠CBO，∴∠AOB=180°-（∠ABO+∠BAO）= 180°-(60°+∠CBO+∠BAO)= 180°-（60°+∠CAO+∠BAO）= 180°-(60°+60°)= 60°。

解法二：由上題知△ADC≌△BEC，則∠ADC=∠BEC。由外角知∠AOB=∠OAE+∠OEA=∠OAE+∠ADC=∠DCE=60°。

解法三：記BC、AD交點為點F，易證△AFC∽△BFO，故∠FOB=∠FCA=60°。

點評：解法一運用“三角形內角和為180°”，解法二運用“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”。兩種解法在本質上是一致的。不論是哪種解法，都用到了△ADC≌△BEC。

結論2：如圖3，記BC、AD交點為點F，BE、CD交點為點G，則有AF=BG。

圖2

解析：由△ADC≌△BEC知∠DAC=∠EBC；由∠BCA=∠DCE=60°知∠BCA=∠BCG=60°，又∵AC=BC，故△AFC≌△BGC(ASA)，∴AF=BG。

點評：同理，易得：△DCF≌△ECG，DF=EG ，FC=CG。

結論3：如圖4，連接FG，則有△CF G是等邊三角形。

圖3

解析：由上題知△AFC≌△BGC，則CF=CG，故△CFG是等腰三角形。又∵∠BCG=60°，∴△CFG是等邊三角形。

點評：由此可以發現，不論兩個等邊三角形的邊長如何變化，都能形成一個新的等邊三角形。

結論4： FG∥AE。

解析：由上題知△CFG是等邊三角形，則∠FGC=60°，易證∠FGC=∠DCE，故FG∥AE。

點評：有FG∥AE，就能得出圖中許多對相等的角與相似三角形，如∠OFG=∠OAE，∠OGF=∠OEA，△OFG∽△OAE等。

結論5：如圖5，連接OC，則有OC平分∠AOE。

圖4

圖5

解析：如圖6，過點C作CP⊥AD，CQ⊥BE。

圖6

解法一：由CP⊥AD，CQ⊥BE知∠APC=∠BGC=90°；之前已證明AC=BC，∠CAP=∠CBQ，故△CAP≌△CBQ，可得CP=CQ，又∵CP⊥AD，CQ⊥BE，則點C到∠AOE兩邊的距離相等，故點C在∠AOE的角平分線上，OC平分∠AOE。

解法二：CP是△ADC中AD邊上的高，CQ是△BEC中BE邊上的高，而△ADC≌△BEC，易證CP=CQ。由此，可證OC平分∠AOE。

點評：對比兩種解法，顯然解法二更簡單?？v觀前5個結論，每一個結論都直接或間接地用到了△ADC≌△BEC，這是本系列問題的根本所在。

結論6：圖5中度數為60°的角共有13個。

解析：圖5中的三個等邊三角形中共有9個角的度數為60°。由結論1知∠AOB=∠DOE=60°，則∠AOE=120°，又∵ OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠EOC=60°。故共有13個度數為60°的角。

點評：由以上分析可知，不論兩個等邊三角形的邊長如何變化，都有∠AOC=∠EOC=60°。此系列問題含有多個“動中取靜”的結論，可在幾何畫板中動態演示并度量，以增強感性認識。

解析：設 AC=x，FG=y，則 CD=CE=a-x，DG=CD-CG=CDFG= a-x-y。 由FG∥AE知，當時，y有最大值當兩等邊三角形邊長相等時，線段FG有最大值

點評：本題采用方程與函數思想解決，用代數方法巧妙地解決了動點問題。

3．變化引申，拓展升華

拓展1：如圖7，已知點C為線段AE上一個點，△ABC與△CDE都是等邊三角形。

（1）求證：AD=BE；

（2）若把原題中“△ABC與△CDE

都是等邊三角形”換成“四邊形AFBC與四邊形CDHE都是正方形”（如圖8），此時AD與BE的數量關系如何？

圖7

圖8

解析：不難證明△ADC≌△BEC，從而得AD=BE。

點評：本題第一問即為課本習題，第二問是從三角形到四邊形的拓展與推廣，更進一步可得：直線AD⊥直線BE。

拓展2： 如圖9，△ABC與△CDE都是等邊三角形，BE與AC交于點F，AD與CE交于點G，直線BE與直線AD交于點O，連接OC。

求證：（1）∠AOB=∠DOE=60°；

（2）OC平分∠BOD。

解析： 易證△BCE≌△ACD，模仿結論1的證明，即得∠AOB=∠DOE=60°；模仿結論5的證明，即得OC平分∠BOD。

點評：本題是原題的拓展，將“點A、C、E在一條直線上”這一特殊情況一般化。

拓展3：如圖10，點A、C、E在同一直線上，點B、D在直線AE的同側，BA=BC，EC=ED，∠ABC=∠CED，直線AD、BE相交于點O。

（1）若∠ABC=60°，則 ∠AOB=___________；

（2）若∠ABC=90°，則∠AOB=___________；

圖9

圖10

解析：（1）即為結論1，易證△ADC≌△BEC。（2）易證△ADC∽△BEC，故∠AOB=∠OAC+∠OEC=∠OAC+∠ODC=∠DCE=45°。（3）與（2）證法相同，∠AOB=90°

點評：第一問就是結論1，第二問是第一問的變式，第三問是前兩問的推廣，要求學生“動中取靜”展開研究。

二、讓例題習題成為數學知識與方法生長的土壤

在升學壓力巨大，各地齊抓教學質量的大背景下，我們都在嘗試提高本門功課的教學質量。如何真正做到在不加重學生負擔的前提下，提高教學質量？ 這應該成為每一位數學教師的追求。

以教材例題習題為依托進行變式教學，組織學生深層研究與拓展發散，是對教材再創造的一種形式，是提高學生數學素養的有效途徑，同時也是提高單位時間內教學效率、減輕學生負擔的一種行之有效的教學方法。