橫場中具有周期性各向異性的一維XY模型的量子相變?

宋加麗 鐘鳴 童培慶2)

1)(南京師范大學物理科學與技術學院,南京 210023)

2)(江蘇省大規模復雜系統數值模擬重點實驗室,南京 210023)

橫場中具有周期性各向異性的一維XY模型的量子相變?

宋加麗1)鐘鳴1)?童培慶1)2)?

1)(南京師范大學物理科學與技術學院,南京 210023)

2)(江蘇省大規模復雜系統數值模擬重點實驗室,南京 210023)

周期性各向異性XY模型,量子相變,各向同性鐵磁相,馮·諾依曼熵

1 引 言

低維量子系統是人們用來了解量子關聯的一個重要模型,其中一維自旋模型得到廣泛研究.一方面,此類模型相對比較簡單,可以通過解析和數值方法深入理解它們的性質,有助于預測和解釋其他復雜模型的相關性質,并且某些自旋模型還可直接用來解釋很多實驗上的物理現象[1,2].另一方面,復雜模型可以借助一些方法映射到此類簡單模型,比如一些絕緣化合物可以看作是相互獨立的自旋單鏈的集合,這樣將模型簡單化,只需研究單鏈就能得到很多重要的物理信息[3].此外一維自旋模型在生命科學[4?6]、金融經濟[7]等領域也有著重要的應用.

眾多一維自旋模型中研究最多的是橫場中各向異性XY模型.這類簡單且具有廣泛代表性的模型大多是精確可解的[8,9].目前,關于XY自旋模型,人們除了在理論上取得了很多豐碩的成果,在實驗上也已經能制備出一些與理論描述符合得很好的樣品[10,11].幾十年來,人們從多個角度對這類模型的物理性質進行了非常深入的研究,其中討論得最多的性質之一就是零溫下的量子相變.當改變一個自旋系統的某些參數時,相變就有可能產生.研究表明均勻的XY模型存在兩種類型的量子相變,分別是Ising相變[12]和各向異性相變[13].目前,人們用來研究自旋系統量子相變性質的方法有很多.一般情況下,我們會借助一些序參量,如磁矩、磁化率和自旋關聯函數來描述量子相變.隨著量子信息、量子通信等領域的發展,一些方法和概念,如量子糾纏[14?16]、量子失協[17?19]、保真度[20,21]也被用來描述量子相變.人們發現均勻XY模型的量子糾纏與量子相變有關:相變點處的糾纏行為與子鏈長的對數呈線性關系,但在Ising相變和各向異性相變情況下對數前系數是不一樣的[14,15].

上述這些模型基本上都是均勻的,但在自然界中存在著大量非均勻(周期、準周期、無序等)的系統.所以,無序和準均勻結構對模型相變的影響一直是統計物理和凝聚態物理領域中研究的熱點.人們通過重整化群的方法研究了無序對Ising相變和各向異性相變的影響,發現無序改變了系統相變的普適類[22,23].1993年,Luck[24]指出兩類準周期結構對橫場中Ising鏈的量子相變的影響是不同的,第一類準周期結構不改變系統量子相變的普適類;第二類準周期Ising鏈的量子相變的普適類與無序鏈的相同.但是,最近張振俊等[25]的工作表明第二類準周期結構的自旋鏈量子相變與無序情況是有區別的.為了解釋以上問題,人們對周期性結構的自旋模型的量子相變做了大量的研究,例如橫場中具有周期性最近鄰相互作用的XY模型[26?29],發現模型的最近鄰交換相互作用周期地取不同值時,相對于均勻XY模型,系統會出現更多的相變點.在這些模型中主要研究了周期性交換相互作用對系統量子相變的影響,但不同格點的各向異性參數都是一樣的.本文研究周期性各向異性參數對系統量子相變的影響.發現當周期為二且兩個各向異性參數值之比α=?1時,系統會出現新的相.

2 模型和公式

考慮一個一維均勻橫場中各向異性XY模型(N個格點),其哈密頓量為

通過Jordan-Wigner變換[12],系統哈密頓量可以改寫成如下無自旋費米子形式:

矩陣A和B的非零元素為本文只考慮N為偶數的情況,因此取反周期性邊界條件[26],即不失一般性,取J=1.

再應用Bogoliubov變換,得到對角化的哈密頓量:

其中,

在本模型中Λk總是非負的,所以根據方程(3),系統基態能量寫為

系統基態和第一激發態之間的能隙?=min{Λ?k},其對應的波矢k0滿足

當?=0,系統第一激發態與基態之間沒有能隙.隨著參數的變化,如果?由非零值變為零,說明系統發生了相變;如果?一直是零值,則說明系統處在一個無能隙的狀態.

2.1 關聯函數

選取兩格點的長程關聯函數作為序參量來描述系統的相變行為.其定義為

Lieb等[12]給出了兩格點關聯函數的計算方法.通常把Cx=Cy=0的相叫作順磁(PM)相;把Cx>Cy>0的相叫作沿x方向的鐵磁有序(FMx)相;把0 6Cx

2.2 馮·諾依曼熵

對于一維自旋模型塊與塊之間的量子糾纏的研究,馮·諾依曼熵是一個非常重要的物理量.所以本文采用馮·諾依曼熵來研究一維各向異性XY模型的量子糾纏.當由兩個子系統A,B構成的系統處于態|ΨAB?時,其馮·諾依曼熵(又叫部分糾纏熵)的定義為

其中約化密度矩陣

設子系統A有L個連續自旋,其馮·諾依曼熵在非相變點區域是常數[15],而在相變點附近存在著奇異性:

對于均勻各向異性XY模型,在Ising相變點處系數c=1/6;在各向異性相變點處系數c=1/3.

3 結果與討論

系統發生相變時,第一激發態和基態之間的能隙為零,所以我們可以通過計算單粒子能譜最小值?=0來確定可能的對應相變的點.得到的解析結果如下.

1)當γ=0時,系統對應的是橫場中各向同性XY模型.因此,橫場h∈[0,1]所對應的系統是無能隙的.

2)當α≠且γ≠0時,系統在

處的?為零,而在其他h處?均大于零,如圖1所示.圖1(a)和圖1(b)分別對應α=1,0時不同h情況下系統的單粒子能譜(不失一般性,取γ=0.5).這說明系統在hc1點發生了相變. 特別地,當α=1時,系統就變成了均勻XY模型,對于這種模型的量子相變,我們已經取得了很多豐富的成果[15,30,31].因此,從計算結果及能譜圖可以看出,α≠1時模型的相變行為與均勻XY模型相似,只是相變點位置發生了變化.

圖1 (網刊彩色)α取不同值時,橫場中各向異性參數周期為二的一維XY模型不同區域的單粒子能譜 (a)α=1;(b)α=0;(c)α=?1;γ=0.5,N=500Fig.1.(color line)The single particle energy spectra of the period-two anisotropic XY chains in a transverse field with different α for:(a)α =1;(b)α =0;(c)α = ?1.Here γ =0.5,N=500.

3)當α=?1時,系統在

處的能隙?為零.圖1(c)給出了此種情形下不同h所對應的系統的單粒子能譜.從圖1(c)我們可以發現,當時,單粒子能譜總有兩個零點,對應著一個無能隙的相;當時能隙?均大于零.因此,系統的相變臨界線為

很明顯,α≠1和α=?1對應的模型的相和相變行為是不一樣的.尤其是α=?1時系統出現了一個無能隙的相,這值得我們進一步研究,以確定相應的相圖及系統糾纏熵的標度行為.

3.1 關聯函數和相圖

圖2給出了參數α取不同值時,XY模型的Cx,Cy關于h和γ的函數變化情況,不失一般性地取α=1,0,?1.圖2(a)和圖2(b)表示α=1的情況,即橫場中均勻XY模型,可以看到隨著h(不失一般性取γ=0.5)的增大,系統由FMx(Cx>Cy)相變為PM(Cx=Cy=0)相,相變點為hc=1,對應的是Ising相變;當0Cy)相變為FMy(Cx0區域Cx>Cy,對應FMx相;在hhc1區域Cx=Cy=0,對應PM 相.比較α=1(均勻XY模型)和α≠±1兩種情況下系統的Cx,Cy,可知它們的相變行為相似:沿著h增大的方向,系統發生的都是Ising相變,并且系統相變點的數值結果與解析式(11)得到的結果相吻合;而當h

圖2 (網刊彩色)α取不同值時,橫場中各向異性參數周期為二的一維XY模型的長程關聯函數分別關于h和γ的變化情況 (a),(b)對應α=1的情形;(c),(d)對應α=0的情形;(e),(f)對應α=?1的情形Fig.2.(color line)The long-range correlations of the period-two anisotropic XY chains in a transverse field with different α as functions of γ and h for:(a),(b)α =1;(c),(d)α =0;(e),(f)α = ?1.

圖2(e)和圖2(f)給出的是α=?1時系統的Cx和Cy關于h和γ的變化曲線.隨著外場h增大,Cx,Cy同時由大于零的值變為零,系統由有序相過渡到無序相.其相變發生位置為與解析計算得到的結果完全一致.在h>hc2區域內Cx=Cy=0,系統所處的相仍然是PM相;而在h0,對應的是一個新的有序相.為了描述方便,我們將其稱為各向同性鐵磁相,記為FMxx相.此時系統的Ising相變仍然存在,各向異性相變消失.

為了了解FMxx相出現的原因,我們分析了系統的對稱性,發現當α=?1時模型的哈密頓量在經過變換之后保持不變.為此我們計算了最相鄰格點的關聯函數隨外場h的變化曲線,如圖3所示.結果顯示第2i?1和2i格點間沿x(y)方向的關聯函數等于第2i和2i+1格點間沿y(x)方向的關聯函數,因而導致了不同方向的長程關聯函數相等.正是存在這樣的對稱性,系統在hhc2區域表現為PM相.

在參數α不同的情況下,通過研究Cx,Cy關于h和γ的函數行為,發現數值結果與前文中求出的解析式(11)和(13)相一致.于是,我們得到了系統在不同α取值情況下參數空間(h,γ)中的相圖,如圖4所示.

圖3 (網刊彩色)α=?1時,橫場中各向異性參數周期為二的一維XY模型最近鄰格點關聯函數隨外場h的變化(a)實線、短劃線分別對應(b)實線、短劃線分別對應γ =0.5,N=500Fig.3.(color line)The short-range correlations of the period-two anisotropic XY spin models in a transverse field with α = ?1 as functions of h for:(a)The solid and dashed lines correspond to (b)the solid and dashed lines correspond to γ =0.5,N=500.

圖4 (網刊彩色)橫場中各向異性參數周期為二的一維XY模型的相圖 (a)α=1,0;(b)α=?1Fig.4.(color line)Phase diagram of the period-two anisotropic XY chains in a transverse field for:(a)α=1,α=0;(b)α=?1.

3.2 馮·諾依曼熵

對于橫場中均勻XY模型,系統的馮·諾依曼熵在Ising相變和各向異性相變處與子鏈長的對數存在線性關系[15],但是在沿x(y)方向的各向異性鐵磁(FMx,FMy)相和PM相內會很快收斂到一個常數值.這三個相都是有能隙的,而當α=?1時系統出現了一個無能隙的鐵磁(FMxx)相.因此,我們借助馮·諾依曼熵進一步數值研究了不同α情形下系統的量子糾纏行為.

我們發現當α≠1(圖5(a))時系統在相變點h=hc1附近的SL變化曲線和橫場中均勻XY模型(α=1)在Ising相變點處的糾纏行為相似,即與子鏈長L的對數呈線性關系,對數前系數為1/6.圖5(b)顯示的是當α=?1時系統在FMxx相內某點(不失一般性取h=0.55;γ=0.7,0.3,0)的馮·諾依曼熵SL隨log2L變化的曲線圖.與均勻XY模型的糾纏行為不同,結果表明在FMxx相內SL也隨著子鏈長的對數log2L的增加而線性增長,且對數前系數c=1/3,這與橫場中均勻XY模型在各向異性相變點處的糾纏行為(圖中上三角曲線)相似.通過之前的分析可知,橫場中處在FMxx相上的XY模型和均勻XY模型在各向異性相變點處的單粒子能譜都有兩個取值不為零和±π/2的k0使?=0,因此FMxx相內系統的馮·諾依曼熵與均勻XY模型在各向異性相變點處的糾纏行為相似.

圖5 (網刊彩色)橫場中各向異性參數周期為二的一維XY模型的馮·諾依曼熵隨子鏈長L的變化 (a)h=1,γ=0.5,α=1;h=0.968246,γ =0.5,α =0;(b)α = ?1,h=0.55,γ =0.7,0.3,0Fig.5.(color line)SLof the period-two anisotropic XY chains in a transverse field of the system in the FMxx phase as functions of L(the size of the subsystem)for:(a)h=1,γ =0.5,α =1;h=0.968246,γ =0.5,α =0;(b)α=?1,h=0.55,γ=0.7,0.3,0.

4 結 論

本文討論了橫場中具有周期性各向異性參數的一維XY模型的量子相變和量子糾纏.數值計算了兩格點長程關聯函數Cx,Cy,發現當α≠1時,系統的相變行為與橫場中均勻XY模型的相似;而當α=?1時系統在h0,我們把這樣的相叫做各向同性鐵磁(FMxx)相.考慮系統的對稱性,我們發現α=?1所對應的XY模型在經過變換后,哈密頓量不變,導致了FMxx相的出現.這樣就得到了系統在參數空間中的相圖.最后,采用馮·諾依曼熵研究了系統在FMxx相內的糾纏行為.發現其與子鏈長L的對數呈線性關系,對數前系數c=1/3,這與橫場中均勻XY模型在各向異性相變點處的糾纏行為相似.

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Quantum phase transitions of one-dimensional period-two anisotropicXYmodels in a transverse field?

Song Jia-Li1)Zhong Ming1)?Tong Pei-Qing1)2)?

1)(Department of Physics and Institute of Theoretical Physics,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China)

2)(Jiangsu Key Laboratory for Numerical Simulation of Large Scale Complex Systems,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China)

18 February 2017;revised manuscript

18 May 2017)

The quantum phase transitions of one-dimensional period-two anisotropicXYmodels in a transverse field with the Hamiltonian

where the anisotropy parametersγitakeγandαγalternately,are studied.The Hamiltonian can be reduced to the diagonal form by Jordan-Wigner and Bogoliubov transformations.The long-range correlationsCxandCyare calculated numerically.The phase withCx>Cy?=0(orCy>Cx?=0)is referred to as the ferromagnetic(FM)phase along thex(ory)direction,while the phase withCx=Cy=0 is the paramagnetic(PM)phase.It is found that the phase diagrams with the ratioα≠1 andα=?1 are different obviously.

For the case withα≠1,the lineseparates an FM phase from a PM phase,while the lineγ=0 is the boundary between a ferromagnetic phase along thexdirection(FMx)and a ferromagnetic phase along theydirection(FMy).These are similar to those of the uniformXYchains in a transverse field(i.e.,√α=1).Whenα=?1,the FMxand FMyphases disappear and there appears a new FM phase.The lineh=hc2= 1? γ2separates this new FM phase from the PM phase.The new phase is gapless with two zeros in single particle energy spectrum.This is due to the new symmetry in the system withα=?1,i.e.,the Hamiltonian is invariant under the transformationσ2xi→σ2yi+1,σ2yi→σ2xi+1.The correlation function between the 2i?1 and 2ilattice points along thex(y)direction is equal to that between the 2iand 2i+1 lattice points along they(x)direction.As a result,the long-range correlation functions along two directions are equivalent.In order to facilitate the description,we call this gapless phase the isotropic ferromagnetic(FMxx)phase.

Finally,the relationship between quantum entanglement and quantum phase transitions of 1 the system is studied.The scaling behaviour of the von Neumann entropy at each point in the FMxxphase isSL～3log2L+Const,which is similar to that at the anisotropic phase transition point of the uniformXYmodel in a transverse field,and different from those in the FMxand FMyphases.

period-two anisotropicXYmodel,quantum phase transition,isotropic ferromagnetic phase,von Neumann entropy

PACS:03.65.–w,75.10.Pq,75.50.Gg,68.65.–kDOI:10.7498/aps.66.180302

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11575087).

?Corresponding author.E-mail:mzhong@njnu.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:pqtong@njnu.edu.cn

(2017年2月18日收到;2017年5月18日收到修改稿)

通過解析和數值計算的方法研究了橫場中具有周期性各向異性的一維XY自旋模型的量子相變和量子糾纏.主要討論了周期為二的情況,即各向異性參數交替地取比值為α的兩個值.結果表明,與橫場中均勻XY模型相比,α=?1所對應的模型在參數空間的相圖存在著明顯的不同.原來的Ising相變仍然存在,沒有了沿x和y方向的各向異性鐵磁(FMx,FMy)相,即各向異性相變消失,出現了一個新的相,并且該相內沿x和y方向的長程關聯函數相等且大于零,我們稱新相為各向同性鐵磁(FMxx)相.這是由于系統新的對稱性所導致的.解析結果還說明系統在FMxx相中的單粒子能譜有兩個零點,是一個無能隙的相.最后,利用馮·諾依曼熵數值地研究了系統在新相內各點的量子糾纏,發現該相內每一點的馮·諾依曼熵的標度行為與均勻XY模型在各向異性相變處的相似,即

10.7498/aps.66.180302

?國家自然科學基金(批準號:11575087)資助的課題.

?通信作者.E-mail:mzhong@njnu.edu.cn

?通信作者.E-mail:pqtong@njnu.edu.cn