小波分析在GPS衛星故障檢測中的應用

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1. 西北工業大學 航天學院，西安 710072 2. 陜西省空天飛行設計重點實驗室，西安 710072

全球定位系統(Global Positioning System，GPS)自主完整性檢測(Receiver Autonomous Integrity Monitoring,RAIM)技術已成為航空航天導航系統中的研究熱點，其目的是在導航過程中檢測出發生故障的衛星，并保障導航定位精度。實現RAIM主要有基于快照(Snapshot)和基于時間冗余兩種方法。 Snapshot法利用冗余觀測量進行集合一致性檢驗，從而實現對故障的檢測和隔離，主要有奇偶空間法(Parity)和最小二乘殘差法(SSE)[1]。這兩種方法都要求可見星數量大于4顆才能進行衛星故障檢測，已有文獻證明這兩種方法在故障檢測方面等價[2]。基于卡爾曼濾波的故障檢測法已得到廣泛研究[3]，該方法利用時間冗余去除對瞬時可見星數目要求較多的限制，卻存在依賴準確系統模型、對微小故障漏檢誤檢、檢驗延遲等問題。

小波分析(Wavelet Analysis)是近20年來發展起來的數學分支。在航空航天領域里，對航空發動機、衛星姿控、組合導航等系統的信息處理與分析中也都少量應用到了小波分析。值得注意的是小波分析非常適合于分析非平穩信號，是故障診斷中處理信號較為理想的工具，通過小波分析可以構造故障診斷所需的特征或直接提取對診斷有用的信息[4]。

本文重點針對基于卡爾曼濾波的故障檢測法所存在的問題，將小波分析理論應用到GPS衛星故障檢測中，對GPS接收機的偽距觀測信息和位置定位信息進行數據處理，通過在不同尺度下的奇異性變化找到信號突變點來進行故障檢測。與基于卡爾曼濾波的故障檢測法相比，本文提出的故障檢測法不僅可以實現接收機自主快速、及時、準確檢測出多種模式的衛星故障，沒有可見星數量限制，而且該檢測方法簡潔直觀，具有較強的實用性。

1 基于卡爾曼濾波的衛星故障檢 測法

1.1 GPS系統模型

tk觀測歷元時，GPS系統狀態方程為：

式中：Xk=[x,y,z,Δt]是k時刻的狀態矢量，包括接收機位置矢量和時鐘誤差；Φk,k-1為狀態方程的一步狀態轉移矩陣；Wk-1為系統噪聲矢量。

偽距觀測方程為：

式中:ρi為觀測偽距，下標i表示第i顆衛星；Ri=[(x-xsi)2+(y-ysi)2+(z-zsi)2]1/2為用戶到衛星的位置；x,y,z和xsi,ysi,zsi分別為用戶和第i顆衛星在地球坐標系中的位置；lu為用戶時鐘誤差對應的距離。將式(2)線性化可得測量方程為：

式中:Zk為m維觀測矢量即偽距觀測量；Vk為觀測噪聲矢量。Vk和Wk-1為互不相關的高斯白噪聲序列。

1.2 殘差χ2故障檢測方法

系統無故障時，殘差rk是零均值高斯白噪聲；反之存在故障時，殘差rk均值發生偏移不再為零。對殘差rk作二元假設，即：

式中:μ為殘差rk的均值；Ak為殘差rk的方差。檢測統計量構造為：

根據統計分布理論，當無故障時，λm服從自由度為m的χ2分布，m為觀測量維數。設允許的虛預警率α，根據奈曼-皮爾遜準則，可由χ2分布求出閾值TD。當λm

2 基于小波分析的衛星故障檢測法

2.1 小波分析基本理論

“小波”指的均值為零且在頻域內能量局部化的函數，其波形表現為兩端衰減為零的小波形。小波分析的基本思想是用一族小波函數系表示(逼近)函數，小波函數系是通過基本小波Ψ(t)進過平移和伸縮得到的，用其變換系數即可描述原來的函數[4]。基本小波Ψ(t)∈L1(R)∩L2(R) 的小波變換定義為：

式中:a為尺度變換參數，決定小波變換的頻率信息；b為平移變換參數，決定小波變換的時域信息。可以看出小波分析兼具時頻域的特征。對于信號f(t)∈L2(R)，其連續小波變換是將Ψ(t)做平移后，在不同尺度(頻率)下和信號f(t)作內積：

相應的重構公式為：

2.2 故障判定準則

GPS衛星發生故障時往往會表現為接收機可測數據即偽距觀測數據和位置定位數據出現局部突變，因此可以將這兩個數據作為被處理信號，利用小波變換理論處理量測序列，識別異常點進而判斷是否發生故障。只需對一個方向的定位數據進行一次小波分析便可實現對故障的檢測；故障隔離則需要對多顆衛星的偽距觀測數據進行處理。

按照Mallat算法所述，待處理信號被分解之后，實質上是被分解為一個低頻分量CM和多尺度下的高頻分量D，這些高頻分量中就包含有信號局部突變的信息特征即代表故障的發生，表達公式如下：

通過小波多尺度分解所得的高頻信號，實質上可以看成一個矩陣，其模值為：

這里定義：設對任意x∈[x0-h,x0+h]有

|Wf(s,x)|≤|Wf(s,x0)|，s=1,2,…,M， 則稱x0為小波變換在尺度s下的局部極值點。

GPS衛星故障發生時，表現為被處理信號的小波變換的模在奇異點出現局部極值。通過正常無故障情況下的局部極值變化范圍可以確定一個閾值TD，則故障判定準則為：

式中：k=1,2,…,M;j=0,1,2,…,N-1。

根據理論分析，可以在高頻分量中確定出現故障時間段，并利用小波信號奇異性確定準確的時間點[7]。對于多尺度小波分析，當分解尺度增加時，由于噪聲而引起的小波變換的模極值點迅速減小，信號自身奇異點的變換模的極大值點得以顯露，因此能夠更加明顯地檢測出故障的發生。

3 仿真分析

為了更加真實仿真GPS導航定位全過程，本文建立了GPS衛星星座的全部24顆衛星模型，各顆衛星軌道參數已有文獻給出[8]。無論是基于EKF的故障檢測方法還是基于小波分析的故障檢測方法都沒有可見星數目的限制，故本文為保證定位精度采用最佳幾何精度衰減因子(GDOP)方法在多顆可見星中找到4顆最佳星座進行導航解算，并在其中一顆星上設置故障。

設仿真時長為1 000 s，單位步長為1 s，用戶接收機安裝于一個向東作勻速直線運動的飛行器上，起始經度為34.24°，緯度為108.9°，高度為10 000 m，飛行速度為300 m/s。在不同觀測點上設置3種故障模式：1)慢變模式，故障發生時間為100 s，大小為200×(t-100)m；2)階躍模式，故障發生時間為40 s，大小為200 m；3)突變模式，故障發生時間為700 s，大小為200 m。圖2給出了故障設置前后x位置定位誤差的對比。從圖中可以看出，在未加入故障的情況下，x位置定位誤差穩定在20 m范圍內,沒有波動；加入3種故障模式之后，從故障設置開始點起，定位誤差開始增大，由此可見GPS衛星發生故障時會導致接收機位置定位數據出現局部突變。

首先，基于EKF的GPS衛星故障檢測進行了仿真。設虛預警率α=0.01，根據奈曼-皮爾遜準則得故障檢測閾值TD=14.9。設觀測噪聲均值為0，標準差為30 m。圖3為引入故障后的偽距殘差卡方檢測量示意。從圖中可以發現當衛星發生故障時，偽距殘差卡方檢測量有大幅度的增加，可以檢測出故障的發生；但是，當慢變故障發生時(100 s),出現了嚴重的檢測延遲現象，這是因為慢變故障對于系統的影響需要隨著故障量的累積才能顯現出來；故障結束時報警會持續一段時間，這是由于較大的故障使得濾波器估計值偏離真實值較大，需要一定的時間去恢復精度。

然后，利用Daubechies小波系選取不同的分解層數將待檢測的采樣信號f(n)分解為高頻分量和低頻分量，圖4為以故障衛星偽距測量數據為被處理信號的仿真結果，圖5為3種故障模式發生時偽距測量信號高頻d1層的局部放大，圖6為以x位置定位信息為被處理信號的仿真結果。從圖4中偽距測量信號的小波分解細節和圖6中x位置定位信息的小波分解細節都可以清楚地看出：1)低頻分量包含了信號的基本趨勢，而高頻分量則在細節上顯示出信號的具體信息特征，更為有效地顯示了信號的突變情況。2)高頻分量第一層d1及第二層d2數據在100 s，400 s，700 s時發生了明顯的突變，因此可以及時準確地判定故障發生。3)檢測延遲現象得到有效改善。4)當階躍故障(400 s)和突變故障(700 s)發生時，高頻信號迅速突變；當慢變故障發生時(100 s)高頻信號也在緩慢增加，可見通過基于小波分析的故障檢測法可以及時、準確、直觀地檢測出突變及慢變故障信息。

最后，為了研究不同基本小波對衛星故障檢測的效果，以重構誤差為衡量標準，通過仿真可以得到以兩種基礎小波(Daubechies小波和Symlets小波)對偽距觀測數據進行小波分解重構之后得到的重構誤差。使用Symlets小波為基本小波進行小波分解與重構，得到其分解重構誤差大小為2.855×10-8，該誤差遠遠大于使用Daubechies小波為基本小波得到的重構誤差1.874 5×10-11。因此，單從重構誤差角度來說，采用以Daubechies小波為基本小波的小波分解更適合于GPS衛星故障檢測。

4 結束語

針對基于卡爾曼濾波的故障檢測法所存在的問題，本文提出一種基于小波分析的GPS衛星故障檢測法，通過仿真結果可以得出以下結論：

1)使用該方法可以實現接收機自主地進行多種GPS衛星故障檢測，對可見星數量沒有限制。檢測效果明顯，檢測方法簡潔直觀，易于工程實現；

2)與基于EKF的GPS衛星故障檢測方法相比，該方法不依賴數學模型，且具有更高的檢驗靈敏度，檢驗延遲現象得到有效改善，能夠及時發現信號突變以檢測出故障的發生；

3)該方法不僅對突變的硬故障有非常好的檢測效果，對慢變的軟故障也具有較好的檢測效果；

4)驗證了小波分析在GPS衛星故障檢測中應用的可行性，說明完全可將小波分析應用到導航系統的自主完整性檢測中。為了進一步提升導航系統的安全穩定性，今后需要繼續研究如何更為科學合理地選取基本小波和如何劃定分解層這兩個問題。

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