淺談反證法的原理及應用

張雙紅+李犀子

【摘要】反證法之妙用，使其被譽為“數學家最精當的武器之一”.在數學解題中，會有一些用直接證明方法仍然無從下手和突破的命題，此時如果我們運用反證法這種間接方法來證明，效果往往出人意料.本文深入淺出，開篇簡單介紹反證法由來、概念、原理、分類和作用；重點論述反證法的應用，其中包括反證法在高等數學中的使用和實踐，并提出應用反證法應該注意的問題和方法.

【關鍵詞】反證法；原理；應用

反證法作為一種證明方法是重要的，而教材中忽略了對反證法的詳細介紹，導致反證法在培養學生邏輯思維方面的作用往往也被忽略.反證法雖然巧妙，但對于初學者來說，應該在什么情況下使用是不容易判斷的，所以本文旨在從反證法的精神實質、論證步驟、具體方法等詳解反證法.

一、反證法簡介

對于反證法的來源并沒有準確的文獻記載.嚴格推理的起源和誕生是古典邏輯與歐幾里得幾何學，此時西方數學開始轉變，逐漸推崇以證明為主，強調數學的精確性.希臘人由此重視邏輯的證明，同時反證法的舉例和類型也出現在歐幾里得編寫的《幾何原本》中.

反證法有諸多不同版本的定義以及描述，但其本質都是大同小異的.反證法可分為歸謬法和窮舉法，分類的依據是命題否定形式的多少.所謂歸謬法，即：若原命題只有一種否定形式，只需要證明這一種情形不成立，便可證明出原命題是正確的.而窮舉法則指的是若原命題的否定形式不單單只有一種，則必須逐個證明其不成立，得出原命題結論正確的方法.

反證法是數學中既常用又重要的一種間接證明方法，在數學中有著舉足輕重的地位，應用也是相當廣泛.在數學證明中，會遇到一些通過直接證明證明極其煩瑣的命題，經常可用反證法進行間接證明.反證法包含了較豐富的辯證思維原理，從反證法觀點出發，運用反向思維，可以克服思維定式，因此，對培養學生的發散思維，拓展學生的解題思路都很有幫助，并且在解題中也有重要的作用.

與直接證明法相同，反證法的推理過程也嚴格按照形式邏輯，遵循其基本規則.它能概括為“先否定，繼而得出矛盾后再次否定”，即從否定結論開始，歸納出矛盾，從而形成新的否定.

通過證明命題的否定形式是假命題，再根據排中律證明已知命題成立的一種間接證法即是反證法，其通常包含反證假設、反正推理及反證結論三個步驟.如果命題結論的反面情況多種多樣或隱晦不容易判斷時，往往不容易做出假設，所以可以適當對命題變形后做出精準的假設.

二、反證法在高等數學中的應用

高等數學命題難度加深，更具復雜性，人為判斷反證法適用于哪些命題是困難的.下面分別抓住數學分析及高等代數命題結論的特點，配合上相應例題，介紹幾種可行性強的應用方法.

（一）反證法在數學分析中的應用

命題的結論中含有“唯一”形式，采用反證法比較簡單.endprint