考慮剪切變形影響的樁基m法計算理論

楊美良　羅婉慶　張建仁

摘要：

考慮樁基的剪切變形影響，利用單廣義位移深梁理論，建立了樁基m法的計算方法，導出了水平位移、轉角、彎矩和剪力的初參數表達式和無量綱參數函數的統一表達式，根據樁底邊界條件建立了初參數解的計算公式；給出了無量綱參數函數隨換算深度和彎剪剛度比的變化圖形。研究表明，換算深度小于3.0時，彎剪剛度比對無量綱參數函數影響較小，換算深度大于4.0時，彎剪剛度比對無量綱參數函數影響的趨勢非常明顯，樁基剪切變形的影響程度與樁的邊界條件有關。算例結果表明，樁身的剪切變形有增大樁頂水平位移、提高彎矩零點位置、改變彎矩分布特征、擴大樁側土壓力大小等影響。

關鍵詞：

樁；單廣義位移梁理論；剪切變形；初參數； m法

中圖分類號：TU473

文獻標志碼：A文章編號：16744764（2016）06005408

Abstract：

Considering the shear deformation effect of piles， the calculating theory of m method assumption for piles was presented by using the single generalized displacement theory of deep beam. The initial parameter formulae to horizontal displacement， slope， moment and shear force were derived. The unified nondimensional functions were also put forward. According to the boundary conditions， the initial parameters solutions were determined. The changing figures of nondimensional functions with converting length and ratio of bend stiffness to shear stiffness were plotted. Some conclusions were summarized that when the converting length was less than 3.0， there was little influence of the ratio of bending stiffness to shear stiffness on the nondimensional functions ， while the converting length was greater than 3.0， the influence of the ratio of bending stiffness to shear stiffness on the nondimensional functions became obvious； the influencing degree of the shear deformation effect was related to the boundary conditions. Example results showed that shear deformation can enlarge the horizontal displacement at the top， lift the position of zero moment， change moment distribution and magnify the soil pressure on pile.

Keywords：

pile； single generalized displacement beam theory； shear deformation； initial parameter； m method

樁基礎是橋梁、建筑等工程中常用的基礎形式，并有日益推廣使用的趨勢[1]，其水平樁的計算理論主要有m法、K法、C值法、雙參數法等[12]。目前，規范推薦采用基于Euler梁理論的m法，并編制了大量計算表格，相應的有限元法[34]、有限差分法[4]和瑞利里茲法[3]等?；谏盍豪碚摚紤]樁身剪切變形影響的研究也取得積極進展，肖世衛[5]考慮樁身剪切變形影響，利用深梁單元分析了樁橫向受力問題，并以此分析樁身剪切變形對樁頂位移和樁身內力的影響，得到了剪切變形影響極小的結論。該文不足之處是采用有限元法進行數值研究，沒有推導理論解析解；樁身抗彎剛度矩陣采用Timoshenko梁單元位移函數、但樁側土抗力剛度卻采用Euler梁單元位移函數，兩者不統一。

目前，考慮剪切變形影響的深梁有0～3階剪切變形理論，被廣泛認同的理論有Timoshenko理論[6]、Jemielita理論[7]、Levinson理論[8]、Bickford理論[9]、Reddy理論[10]等，這些理論都有2個或以上的位移，計算上不方便。2000年，龔克提出了單廣義位移深梁理論[11]，該理論能用單一的廣義撓度表出轉角、彎矩和剪力，計算上非常方便，本文選擇該理論來建立樁基m法分析方法，以考慮基樁的剪切變形影響，推動樁基計算理論的發展。

1單廣義位移深梁理論

2000年龔克提出單廣義位移深梁理論，建立理論模型時取梁的中心線為 x 軸，梁的撓曲面為xy 平面， 對梁的變形作如下假設[11]：1）梁的中性軸的軸向位移不計，y 方向的擠壓變形不計；2）變形前垂直于中心線的平面在變形后仍保持為平面（不一定垂直于撓曲線） ；3）剪切轉角隨x 二階變化率不計。相應的平衡方程、轉角ψ、彎矩M和剪力Q表達式如下[13]見式（1）。endprint

D·4wx4=qψ=wx+DC3wx3M=D·2wx2+DC4wx4Q=D·3wx3 （1）

式中：D（=EI）為樁身的抗彎勁度、C（=kGA）為樁身的抗剪勁度、k為樁身截面的剪切修正系數，圓形截面取9/10、矩形截面取5/6。

從以上計算公式可以看出，單廣義位移深梁理論的平衡方程與Euler梁理論一致，轉角、彎矩和剪力用廣義位移撓度表示，該理論的正確性和推廣應用已在文獻[11]中有充分論證。

2彈性樁的m法計算理論

采用彈性樁m法的計算假定，彈性樁側受水平分布力的平衡條件為

從圖4和表1的樁頂水平位移數據欄可以看出，隨著R的加大，樁的抗剪剛度減小，樁頂水平位移加大。當R=0.15時，樁頂水平位移與不考慮剪切變形的位移大5.51%。

從圖4和表2的正側最大彎矩、負側最大彎矩數據欄可以看出，考慮剪切變形影響時，樁側最大正彎矩減小、負側最大彎矩增大。本算例中，不考慮剪切變形時，樁身長度范圍內不出現負彎矩，但考慮剪切變形后，由于樁身的彎曲剛度減小，樁身變形加大，正側彎矩與不考慮剪切變形影響時的結果減小0.37%，同時，在另一側出現負彎矩現象，不考慮剪切變形影響時則無負彎矩出現。因此，剪切變形對樁身的彎矩分布有一定影響，并有提高彎矩0點位置的作用。

從圖5和表2的正側最大壓應力和負側的最大壓應力數據欄可以看出，考慮剪切變形的影響后，正、負側的最大壓應力都有所擴大，其中，正側正應力與不考慮剪切變形時的結果擴大15.20%、負側正應力擴大94.55%。

7結論

從以上的分析、公式推導和算例分析可以看出：

1）本文精心選擇單廣義位移深梁理論，建立樁基m法分析方法，可以考慮樁身剪切變形影響，當彎剪剛度比為0時可退化成不考慮剪切變形影響的形式，因此，所導出計算公式的適應性比目前基于Euler梁理論的常用m法更好。

2）不考慮邊界條件時，樁身位移、內力計算的無量綱參數函數有統一表達式，計算時取級數的前10項就有非常高的精度。

3）當換算深度αh>3.0時，剪切變形對位移、內力計算的無量綱參數函數的影響才開始顯示出來，當換算深度αh<3.0時剪切變形影響甚小。

4）隨著彎剪剛度比的增大，剪切變形有擴大樁頂位移、減小樁身正彎矩、改變樁身兩側彎矩的分布特征、提高彎矩0點位置等作用。

參考文獻：

[1]

吳恒立.計算推力樁的綜合剛度原理和雙參數法[M].北京：人民交通出版社，2000：138.

WU H L. Synthetical stiffness principle and biparameter method for lateral loaded piles[M].Beijing： China Communications Press，2000：138.（in Chinese）

[2] 凌治平.基礎工程[M].北京：人民交通出版社，1986：96114.

LIN Z P. Foundation engineering[M]. Beijing： China Communications Press，1986：96114.（in Chinese）

[3] 夏桂云.嵌巖彈性樁的穩定分析[J].重慶交通學院學報，2001，20（1）：7982.

XIA G Y. Stability analysis of socketed poles[J]. Journal of Chongqing Communications University，2001，20（1）：7982.（in Chinese）

[4] 戴自航，陳林靖.多層地基中水平荷載樁計算m法的兩種數值解析[J].巖土工程學報，2007，29（5）：690696.

DAI Z H，CHEN L J. Two numerical solutions of laterally loaded piles installed in multilayered soils by m method[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2007， 29（5）：690696.（in Chinese）

[5] 肖世衛.橫向受力樁中剪切變形影響的分析[J].西南交通大學學報，1992（1）：2831.

XIA S W. Analysis of the influence of shear deformation on laterally loaded piles[J]. Journal of Southwest Jiaotong University，1992（1）：2831.（in Chinese）

[6] 夏桂云，李傳習.考慮剪切變形影響的桿系結構理論與應用[M].北京：人民交通出版社，2008.

XIA G Y，LI C X. Calculating theory and its applications of frame structures with shear deformation effects[M].Beijing：China Communications Press，2008.（in Chinese）

[7] WANG C M， REDDY J N， LEE K H. Shear deformable beams and plates[M]. Amsterdam：Elsevier， 2000.

[8] LEVINSON M. A new rectangular beam theory [J]. Journal of Sound and Vibration，1981（74）：8187.

[9] BRICKFORD W B. A consistent higher order beam theory [J]. Developments in Theoretical and Applied Mechanics，1982（11）：137150.

[10] REDDY J N. A simple higher order theory for laminated composite plates[J]. Journal of Applied Mechanics，1984（51）：745752.

[11] 龔克.單廣義位移的深梁理論與中厚板理論[J].應用數學和力學，2000，21（9）：984990.

GONG K. Bending Theories for beams and plates with single generalized displacement[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2000， 21（9）：984990.（in Chinese）

[12] 周相略.樁基礎m法計算系數的統一表達式[J].公路，1993（6）：1822.

ZHOU X N. Uniform expressions for calculating parameters of piles by m method[J]. Highway，1993（6）：1822.（in Chinese）

（編輯胡玲）endprint