剪切變形對基樁PΔ效應的影響

李微哲　婁平

摘要：

給出了小剪切變形下的基樁PΔ效應和大剪切變形下支座PΔ效應計算的桿單元剛度矩陣方程。假定桿單元彎曲變形位移函數為三次冪函數，剪切變形函數為線性函數，根據有限元法一般原理，推導了一種同時計入豎向力徑向剪切分力剪切變形和水平力剪切變形的PΔ效應桿單元剛度方程，推導了一種僅計入豎向力徑向剪切分力剪切變形而忽略水平力剪切變形的PΔ效應桿單元剛度方程，推導了一種僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形的PΔ效應桿單元剛度方程。計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形的PΔ效應桿單元可良好的模擬支座在大剪切變形下的偏心工作特性，能實時計入其偏心彎矩影響，為實時計入支座偏心特性的結構動靜力分析提供了理論支撐。最后通過自編MATLAB程序進行算例分析，結果表明，計入支座大剪切變下的PΔ效應后，基樁內力位移和地基土壓力均顯著增大。基樁自身剪切變形對樁身內力位移和地基土壓力影響較小，可以忽略。

關鍵詞：基樁；支座；水平力剪切變形；豎向力徑向剪切分力；PΔ效應；有限桿單元法

中圖分類號：TU470

文獻標志碼：A文章編號：16744764（2016）06006210

Abstract：Finite pole element method is presented for PΔ effect analysis of pile and bearing while shear deformation is well considered. It is assumed that horizontal displacement of the pole element has a longitudinally cubic power function and the shear displacement has a longitudinally linear function， the PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation produced by lateral load and the radial component of vertical load， is derived. The PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by lateral load is derived in the paper. The PΔ effect pole element rigid equation considering the shear deformation only produced by the radial component of vertical load， is derived in the paper. And the PΔ effect pole element considering the shear deformation only produced by lateral load can simulate the bearing working eccentrically well in realtime. Matlab process of finite pole element method for PΔ effect analysis of pile and bearing is edited， and case analysis is done， and the theory and the method is proved good. Finally conclusions are drawn as follows： （i） the PΔ effect analysis result of pile will increase obviously while the eccentric bending moment of the bearing is well considered； （ii） the deformation has little effect on the PΔ effect analysis result of the pile and bearing.

Keywords：

pile； bearing； lateral shear deformation； radial component of vertical load； PΔ effect； finite pole element method

傾斜荷載下的基樁，不僅水平力產生剪切變形，豎向力因轉角產生徑向剪切分力也將產生剪切變形。樁頂支座大剪切變形下的PΔ效應極顯著，不容忽略。目前，計入剪切變形的基樁PΔ效應計算的有桿單元法尚似未見報道。而彈簧、剛臂或等效偏心彎矩均難實時模擬支座大剪切變形下的PΔ效應。因此研究計入小剪切變形下的基樁PΔ效應和大剪切變形下支座PΔ效應計算方法具有實際意義。

目前基樁PΔ效應計算分析方法較多，可分為解析解法和有限元法兩大類。線彈性土中基樁PΔ效應靜力計算解析解，主要有m法假定的冪級數解[1]，C法（張氏法）假定的解析解[23]，以及 （mz+C）法假定的冪級數解[4]。隨后欒魯寶等[5]給出了粘彈性土中考慮PΔ效應時基樁水平振動的解析解答。趙明華等[6]提出應用有限元-有限層法進行基樁PΔ效應計算。在有限桿元法中，通過附加幾何剛度矩陣來考慮PΔ效應。常用的桿單元幾何剛度矩陣為線性近似的幾何剛度矩陣或一致幾何剛度矩陣。但因假定和推導過程差異，幾何剛度矩陣形式較多。王用中等 [7]、趙明華等[8，10]、夏擁軍等[9]均給出了不同形式的PΔ效應桿單元剛度矩陣方程。梁仁杰等[11]提出用白噪聲掃描的手段，結合數值計算的方法，求解結構考慮 PΔ 效應時的模態參數，并研究了PΔ 效應對結構動力特性影響。李剛等[12]應用有限桿單元法對結構PΔ效應動力分析，認為PΔ效應將降低結構抗震能力。耿江瑋等[13]對考慮材料非線性和PΔ效應的非規則連續梁橋進行地震反應分析，魏標等[14]重點研究了支座布置對不等高墩非規則連續梁橋地震響應的影響，張志俊等[15]進行了彈性支座對橋梁車致振動的隔振效果研究，以上學者均用彈簧或彈簧阻尼單元模擬橋梁支座，忽略了支座的偏心彎矩效應。馬長飛等[16]、劉彥輝等[17]通過構造水平力偶代替支座偏心彎矩，應用有限桿單元法對上下部結構和隔震支座進行了地震反應分析，雖考了了支座偏心彎矩效應，但求解較復雜，通用性不足。孟凡濤等[18]綜合考慮剪切變形和梁柱節點連接半剛性影響的基礎上，給出了框架柱的抗側移剛度公式，認為剪切變形對框架結構的 PΔ 效應影響顯著，已超出工程上可接受的 5%的誤差范圍。endprint

本文將假定桿單元剪切變形和彎曲變形的位移模式，推導小剪切變形下的PΔ效應桿單元剛度方程，用以計算樁身剪切變形影響；推導大剪切變形下的PΔ效應的桿單元剛度方程，用以計算支座大剪切變形下的PΔ效應。

1計入剪切變形的PΔ效應桿單元

為推導計入了剪切變形和PΔ效應的桿單元剛度方程，假定彎曲變形產生的水平位移為三次冪函數，剪切變形產生的水平位移為線性函數。

1.1PΔ效應桿單元受力平衡微分方程

假定PΔ效應桿單元為彈性體，單元受力如圖1所示。

式（43）～（45）分別由式（35）～（37）演化而來，主要是在反算單元節點剪力時已計入了小變形情況下豎向力因傾角而產生的徑向剪切分力。式（43）～（45）的剪力項分別減去式（35）～（37）對應的剪力項即可得豎向力因傾角而產生的徑向剪切分力。

1.7支座等大剪切變形構件PΔ效應計算

工程中大部分構件剪切變形影響很小而可以忽略。但如支座等大剪切變形構件，豎向力產生的偏心彎矩十分顯著，而剛臂或彈簧均不能實時模擬支座的偏心彎矩效應。支座發生大剪切變形時，本文豎向力徑向剪切分力近似計算公式不再適用。但是僅計入水平力剪切變形時的PΔ效應桿單元剛度方程式（36）卻能很好地反映支座的工作性能，可以很好地計入豎向力在因支座大剪切變形而產生的偏心彎矩影響，即支座的PΔ效應。

2支座PΔ效應算例一

某支座高h=0.3 m，直徑d=850 mm，剪切模量G=2 MPa，抗壓彈性模量E=5 000 MPa，豎向力FN= 15 000 kN，水平力FH=180 kN。

支座受力如圖2，支座頂水平位移由剪切變形Vs和彎曲變形Vm組成，但剪切變形遠大于彎曲變形，且與支座高度h同數量級，為典型的大剪切變形構件；支座底部總彎矩由豎向力偏心彎矩和水平力矩組成，豎向力偏心彎矩往往極顯著，且遠大于水平力矩。支座偏心受壓后其豎向抗壓剛度會隨之變化，其彎曲變形會出現一定的非線性，本文暫時忽略此影響，并假定其抗壓彈模不變。

因此，支座PΔ效應對基樁內力位移影響顯著，應該考慮；而剪切變形對樁身內力位移影響極小，則可忽略。

支座偏心彎矩效應也可以通過水平力作用在支座的剪切變形乘以豎向力近似求得，并將此偏心彎矩加載至基樁頂，即可在基樁PΔ效應計算時等效考慮支座的影響。但在上下部結構、支座和地基共同作用時，支座的偏心彎矩效應很難用等效彎矩進行實時模擬。因此，提出的計入水平力剪切變形時的PΔ效應桿單元剛度方程式（35）能很好地反映支座的偏心工作特性，為上下部結構共同作用的關鍵銜接構件——支座提供了理論支撐。

4結論

假定桿單元位彎曲變形移函數為三次冪函數，剪切變形位移函數為線性函數，根據有限元一般原理，導出了考慮了PΔ效應、水平力剪切變形、豎向力徑向剪切分力剪切變形的桿單元的剛度方程，通過算例分析，主要結論如下：

1）推導了同時考慮水平力剪切變形、豎向力徑向剪切分力剪切變形和PΔ效應的桿單元剛度矩陣方程；推導了僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形時的PΔ效應桿單元剛度矩陣方程；推導了僅計入豎向力徑向剪切分力剪切變形而忽略水平力剪切變形時的PΔ效應桿單元剛度矩陣方程，進一步完善了PΔ效應桿單元理論。

2）僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形時的PΔ效應桿單元能很好地反映支座大剪切變形的偏心工作特性，為上下部結構共同作用動靜力分析的關鍵銜接構件——支座提供了理論支撐。

3）支座和基樁共同作用的PΔ效應分析表明，在水平力作用下，支座大剪切變形下的PΔ效應將使基樁內力位移和樁側土壓力顯著增大，并進一步削弱支座和墩臺綜合水平剛度，基樁PΔ效應分析、墩臺水平力分配時應予以考慮。

4）基樁自身剪切變形對基樁PΔ效應影響極小，可以忽略。

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（編輯胡玲）endprint