整數度角的尺規作圖

黃正洪

【摘要】在平面幾何學中，人們不能用尺規作圖的方法畫出一個1°的角來，這似乎成了常理，但如果能用非尋常的手段來解決這個問題，則很多與此有關的問題都將迎刃而解.本文敘述了整數度角的尺規作圖，過去在平面上無法解決的尺規作圖問題，也許大都可以從多一個維度的探索里得到解決.

【關鍵詞】整數度角；尺規；作圖

在平面幾何學中，人們不能用尺規作圖的方法畫出一個1°的角來，這似乎成了常理，但如果能用非尋常的手段來解決這個問題，則很多與此有關的問題都將迎刃而解，因此，對這個方向的探索有一定意義.為了實現心中的理想，在避開先賢們走過的彎路的同時，我們考慮到了必須從特殊角的特殊性中來尋找畫作的契機，故在這里有必要對特殊角在平面幾何學中的重要地位作一梳理.首先，要確認的是：常見的特殊角有30°，45°，60°，90°，120°等等，后來人們又在尺規五等分圓周的過程中認知了18°，36°，54°，72°等等也都是特殊角.以上角度其所以被認為特殊，是因為它們都是能用尺規作圖的方法畫得出來，并且與其有關的函數值也都有其特殊性.前面列舉的那些特殊角，在常見常用的一對三角板或其板角的拼湊上幽然傲立，盡享美譽，后面列舉的這些特殊角，也只需借助一個黃金分割的特定方程即x2+x-1=0的功力就可以達到畫出的目的，此言下之意即為，以特定方程的有用根x1=5-12為底，以1個單位之長為腰，便可以在平面上畫出一個等腰三角形，而此等腰三角形的頂角即為36°，兩底角即為72°.反其序而為之，則知頂角為36°的等腰三角形與自身底角平分線所形成的相似三角形的邊長之比即能造就上述獨一無二的一元二次方程.五等分圓周中的尺規之趣正是由此而生，這二者相輔相成，為數學王國的畫法樂園增添光鮮的一筆.說到這里，我相信大家對特殊角的存在有了更為深刻的印象，現在我要說的是：對以上兩組特殊角進行簡單的加減，并從小到大安排好先后次序就會出現如下既具體又有規律的角度：3°，6°，9°，12°，15°，18°，21°，…無須仔細推敲，便可認定這組特殊角的通項表達式為n×3°（n=1，2，3，…）.由于特殊角同任意角一樣可以不斷二分，因而，我們又認知了更特殊的角有這些特殊角的2n等分角，更更特殊的角還有這些被等分角的和差及其倍角.寫到這里，我們相信大家對特殊角處世的秘密有了更多的了解.值得注意的是：特殊角的通項表達式從未在已問世的資料或期刊中有過露面，故我們可以認定這是一種新的總結和歸納，這種新的總結和歸納的意義在于人們從數學的角度統一了所有特殊角存在的理義.也只有有了這樣一種有點別開生面的理義，我們探索整數度角的尺規作圖的思緒才得以霧散云開.

前面提到的那個“非尋常手段”并不是建立在二維的平面上，而是建立在三維的空間中，在多一個維度的助力下，艱難的探索工作又展現了“風正一帆懸”的美好景象，由于引導苦舟航進的燈塔仍然是無涯學海中的尺和規，故這個空間作圖的過程沒有超出尺和規的范疇，現在讓我們在此共識下來確診這個1°角的畫作方案，看看是否能經得起理論和實踐的考驗.因其過程的表述還算清晰，空間的想象亦并不為難，那么如圖所示的內容就留給有緣諸君自行畫出.

（一）從特殊角中選取適當大小的一個角度，本文選取45°作為頂角，選取適當長的AB作為底邊，畫作等腰三角形ABO.

（二）把等腰三角形ABO放進空間直角坐標系中，使其頂點O與原點O重合，使其腰OA與OY軸重合，使其底邊AB落在水平面上，此說即為把等腰三角形ABO放置在規定位置的水平面上.定義：如此放置的這個等腰三角形為本文的基礎三角形，定義：過該三角形頂點O的垂直于水平面的OZ軸叫立軸.定義：OX軸叫水平軸.如此為之，我們研究的對象便在空間直角坐標系中安了一個特殊的家.

（三）根據特殊角的通項表達式而知42°角是特殊角，我們要用尺規作圖的方法畫出這個頂角為C，C為42°，底邊之長為AB的等腰三角形.此等腰三角形的畫法是在平面上預先畫作42°角，次畫與該角的角平分線平行且兩邊相距都為12AB的平行線，然后，連接兩條平行線與42°角的兩條射線的交點，則所形成的等腰三角形ABC即為所求.現在我們要將此等腰三角形移進空間的特殊的家，其移進的方法是：以基礎三角形的底邊AB不動作為三角形ABC的底邊，以A為圓心，以預先畫作的頂角為42°的等腰三角形的腰為半徑，畫弧交立軸于C，連接AC和BC，則等腰三角形ABC已移進了空間的特殊的家（由于證明CA與CB相等的過程并不為難，這里省筆且加以認定）.此言下之意為，基礎三角形與頂角為42°的等腰三角形在水平面上同底為AB而其頂角點O與C則在立軸上進入了攀升排隊.

（四）與以上之（三）的操作過程完全相同.因39°角也是特殊角，用尺規作圖的方法在平面上預先畫作一個等腰三角形，使其頂角D為39°，使其底邊之長為AB.我們要將這個等腰三角形移進空間的特殊的家，此言下之意為，以上三個等腰三角形在水平面上同底為AB而頂角點D則與前面的兩個頂點一樣在立軸上進入了攀升排隊.

（五）與以上之（四）的操作過程完全相同.因36°角也是特殊角，用尺規作圖的方法在平面上預先畫作一個等腰三角形，使其頂角E為36°，使其底邊之長為AB.我們要將這個等腰三角形移進空間的特殊的家，此言下之意為，以上四個等腰三角形在水平面上同底為AB而頂角點E則與前面的幾個頂點一樣在立軸上進入了攀升排隊.

（六）由于底邊相等的等腰三角形頂角越小的其高越長，于是我們看到O，C，D，E在立軸上的位置一個比一個高.面對立軸上頂點之攀升，我們的思緒進入了一種特殊的數學想象，這種想象與攝像的原理不完全相同，其操作方法是：我們要把E到O之間的距離向下壓縮，且要壓縮到與C到O之間的距離一樣長為止.在此一向下壓縮的過程中，要理解自E以下的所有角點都在隨勢而下壓，還要進一步理解所有下壓的頂角點所對應的等腰三角形的腰也是在隨勢而縮短，且要縮短到符合于新位置的等腰三角形的腰長為止.在這種特別攝像的操控下，以36°為頂角的E點便壓縮到了以42°為頂角的C點的位置.這句話的同義語就是通過特殊數學想象而壓縮了的頂角E已變成了42°的頂角點.由于D和C的位置是處在E到O之間，知這二者都是隨勢而下壓的頂角點，那么我們要問，經如此壓縮后的D和C所對應的角度變為了多少呢？下面是本文的求解過程.endprint

（七）欲求D和C壓縮后的頂角點變為了多少度，就必須求出D和C對應于壓縮段的位置.為此我們要在水平軸上找一點F，使OF=OC，此找點使得本來在立軸上的OE在壓縮之后成為水平軸上的O到F之間的一段距離.由之前的操作而知這段距離的端點F相當于原立軸上的42°角的頂點.由于O點是基礎三角形的頂角點，于是知其對應于45°，由于在45°到42°的角頂點之間（即從O到F點之間）還有44°和43°這樣的整數度頂角點存在，對此我們心中的數理共識是：既然水平軸上的段段及點點都是由壓縮而來，那么它們與立軸上的三個攀升段即OC，CD，DE的段段和點點就一定是保持著對應的關系，由于三個攀升段的分界點都是整數度點，于是由對應關系知整數度點44°和43°是壓縮后的三段未明位置的分界點.我們強調這結論是據不斷二分法而知近旁的無窮2n等分角均為非整數度點而使然.為了簡化整體敘述的繁雜，設第一、第二段的未明位置分界點為G，而對第二、第三段的設定和操作，則放在其后用同理的方式簡述.為承接下文，特擬定如下用語：立軸上的OE是壓縮前的全長，OC是壓縮前的局部，水平軸上的OF是壓縮后的全長，OG是壓縮后的對應于OC的局部.根據影像縮放理念知：壓縮前的局部/壓縮前的全長=壓縮后的對應局部/壓縮后的全長.于是可得如下比例式：

數學上的縮放功能其實就是幾何學中的比例，本文進行的這種特殊的影像壓縮的操作正是基于此一數學理念而設計.在影像壓縮的過程中，雖然已設定G是水平軸上的對應于44°的頂角點，但不知其具體位置之所在，而這是本文急于想要解決的問題.由于空間的相交兩軸已夾出了一個平面，這使我們想到要在空間的這個平面上去構造出一個三角形，于是以被壓縮段和壓縮段為邊的空間三角形OEF飄然而出，有此三角形存在，本文就有充分的條件來完成剩余的作圖.

（八）在三角形OEF中，過OE邊上的D點作EF的平行線交OF于H（即有DH∥EF），于是由平行線分線段成比例定理可得

由（4）而知H與G重合，此言下之意即為，我們已由平行線的畫作而證得了H就是44°的頂角點.在同一操作理念下：過C作EF的平行線，設其交OF于I，則知I即為43°的頂角點（其證明過程與前相同而略）.在以上兩頂角點的位置明了之后，我們的心中又在想著H和I對應于立軸的情形.現將釋疑手段謹呈如下：以O為圓心，分別以OH和OI為半徑畫弧，設其分別交立軸于J和K，則知J和K即為H和I在立軸上的對應點，實際上這就是將水平軸按逆時針方向旋轉90°而使F與C重合的情形.于是知夾在其間的兩組對應點一一重合，此意即為J是頂角為44°的等腰三角形的頂角點、K是頂角為43°的等腰三角形的頂角點.如果我們不旋轉水平軸，而是將基礎三角形繞OA也按逆時鐘方向旋轉90°，那么此時的水平軸就成了新位置下的立軸，因新立軸上包涵了我們希望的所有解題的信息，知其已是身價百倍.由于這種新關系與前文的構思一脈相承，在我們設計思維里留下了相同的視覺，我感覺此變換角度看攀升的方案比“重合一說”更容易被人們理解和接受.總之，以上兩方案都能達我們最終之目的.為習慣起見還是以有過信息補充的原立軸為準來完成畫作.

（九）現在宣布頂角為44°和43°的兩等腰三角形已名正言順地在空間直角坐標系中安了家，其頂角點亦理所當然地在立軸上適應著攀升排隊.選定以空間等腰三角形JAB的腰為腰，以AB為底，在水平面上單獨畫作一個等腰三角形，則此等腰三角形的頂角即為44°.

（十）從水平面上的45°的角中用尺規作圖的方法減去這個44°的角，則人們考慮了幾個世紀的“1°”角便躍入眼簾.

有了眼前這個1°角的尺規作圖，尺規作圖的領域便開啟了一片新的天地，此前很多無法攻克的尺規作圖難題，在1°角的推出之下已不成問題.譬如尺規九等分圓周，我們只需將39°的角加上1°的角就得到40°的角，由于有9×40°=360°周角，這意味著尺規九等分圓周已得到解決.由此而知，但凡與1°角有關的圓周的等分，人們都可從此范例之中獲得靈感，也正是由于1°角的尺規作圖已擺在了我們的面前，進而知1°角的累加可以形成任意整數度角，于是本文就以此為題了.在撰寫本文之后，我們的心得是：過去在平面上無法解決的尺規作圖問題，也許大都可以從多一個維度的探索里得到解決.巧的是在本文之前我有一篇《圓周及弧的實用精確等分》的小論文就是基于此思考而偶得.因此，在尺規作圖的領域里，我們有興趣的朋友亦可多在三維空間進行詳盡地觀察，說不定哪天就會收獲意外的驚喜.事實上我正在對一個也許是“真正的大課題”在用本文的這種思考方法打著腹稿，您要是能成功登上彼岸，且將您的思緒化成文字，我們則預先在此為您恭賀，努力吧！機遇在等待著有心參與的有緣人！endprint